基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解析幾何復(fù)習(xí)課

葉欣

[摘? 要] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體. 高三復(fù)習(xí)課要通過(guò)設(shè)計(jì)合理問(wèn)題，讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，掌握知識(shí)、技能，感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);解析幾何;復(fù)習(xí)課

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中提出：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體. 在高三復(fù)習(xí)課中如何落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是悟出來(lái)的不是教出來(lái)的，因此教學(xué)中要以“四基”為載體，把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，通過(guò)提出合理的問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，鼓勵(lì)學(xué)生與他人交流（自己“悟”），讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，掌握知識(shí)、技能，感悟知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，在這個(gè)基礎(chǔ)上促使學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 實(shí)際上就是養(yǎng)成一種習(xí)慣、一種思維方式. 本文中筆者以高三解析幾何的復(fù)習(xí)為例談?wù)劰P者對(duì)在復(fù)習(xí)課中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思考.

問(wèn)題的提出

解析幾何的教學(xué)內(nèi)容、知識(shí)內(nèi)容豐富，其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，同時(shí)也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中感到十分困難不易把握的內(nèi)容. 在對(duì)學(xué)生訪談的過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍認(rèn)為解析幾何就是大量煩瑣的計(jì)算，由此可見(jiàn)經(jīng)過(guò)高二年級(jí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生并沒(méi)有認(rèn)清解析幾何的本質(zhì)，說(shuō)明我們的教學(xué)還不到位. 實(shí)際上，解析幾何研究的是幾何問(wèn)題，是用代數(shù)方法研究幾何圖形的幾何性質(zhì). 教師在教學(xué)中有義務(wù)讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)清晰的研究過(guò)程，感受解析幾何的本質(zhì)：要解決怎樣的幾何問(wèn)題——結(jié)合條件及圖形分析幾何對(duì)象的幾何特征——將幾何特征代數(shù)化（用代數(shù)語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系）——通過(guò)運(yùn)算解決代數(shù)問(wèn)題——分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義——最終解決幾何問(wèn)題. 為實(shí)現(xiàn)這一教學(xué)目標(biāo)，筆者對(duì)解析幾何的復(fù)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行了系列設(shè)計(jì)，在整理知識(shí)的過(guò)程中，讓學(xué)生從知識(shí)、思想、方法等層面進(jìn)行認(rèn)識(shí);在解決問(wèn)題的過(guò)程中，采用“以‘形定向，以‘?dāng)?shù)定論”的教學(xué)策略.

整體把握教學(xué)內(nèi)容，架構(gòu)知識(shí)體系

學(xué)生經(jīng)過(guò)高一、高二的學(xué)習(xí)后，進(jìn)入高三年級(jí)時(shí)很多基本知識(shí)已經(jīng)淡忘了，因此重新梳理知識(shí)是高三復(fù)習(xí)必須要做的一件事.以什么樣的方式完成這件事？常見(jiàn)的方式有：教師在課上一條條羅列知識(shí)，讓學(xué)生自己看書回顧知識(shí)，先進(jìn)行課堂前測(cè)再針對(duì)學(xué)生的薄弱點(diǎn)有重點(diǎn)的梳理知識(shí)……筆者在多年的高三教學(xué)中，這些方式都嘗試過(guò)，但總感覺(jué)效果不明顯.究其原因，筆者認(rèn)為學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的時(shí)候是一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行學(xué)習(xí)的，高三復(fù)習(xí)如果仍是以點(diǎn)呈現(xiàn)，這些知識(shí)在學(xué)生頭腦中仍是散點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)想起來(lái)了，過(guò)后就又忘了.高三復(fù)習(xí)絕不能是知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)，要引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)、思想、方法的網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生能站在高處俯瞰高中學(xué)習(xí)內(nèi)容的體系.因此筆者在高三復(fù)習(xí)時(shí)采用了以思維導(dǎo)圖統(tǒng)領(lǐng)全局，以閱讀自學(xué)細(xì)化知識(shí)的方式引領(lǐng)學(xué)生梳理知識(shí).

？搖在梳理整個(gè)解析幾何專題知識(shí)時(shí)，首先引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)整體框架，從研究對(duì)象、研究方法、研究本質(zhì)、研究核心等方面讓學(xué)生在整體上對(duì)將要復(fù)習(xí)的解析幾何有整體把握.在這樣一幅統(tǒng)領(lǐng)全局的思維導(dǎo)圖引領(lǐng)下（如圖1），再進(jìn)入具體知識(shí)的復(fù)習(xí)，細(xì)化其中的內(nèi)容，同時(shí)每一個(gè)章節(jié)的內(nèi)容都力爭(zhēng)讓學(xué)生以思維導(dǎo)圖的方式呈現(xiàn).這樣的方式讓學(xué)生頭腦中的“散點(diǎn)圖”串起來(lái)，讓學(xué)生頭腦中模糊不清的知識(shí)建立起相關(guān)的聯(lián)系. 在這個(gè)過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

？搖在梳理具體知識(shí)時(shí)，盡量建立知識(shí)間的聯(lián)系. 比如橢圓和雙曲線有很多類似之處，一方面，從知識(shí)結(jié)構(gòu)上非常類似，它們都是通過(guò)分析幾何條件得到相關(guān)定義，再依據(jù)定義在平面直角坐標(biāo)系中將幾何條件代數(shù)化得到標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而利用定義研究其幾何性質(zhì);另一方面，依據(jù)定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)解決的問(wèn)題和解決問(wèn)題的基本方法也比較相似. 學(xué)生在學(xué)習(xí)新課的時(shí)候就經(jīng)常把它們弄混，在高三復(fù)習(xí)中，筆者嘗試將二者放在一起采用類比的方法進(jìn)行復(fù)習(xí)（如圖2），通過(guò)不斷比較它們基本知識(shí)的相同與不同之處，不斷比較解決的問(wèn)題及基本方法的異同，讓學(xué)生在類比中將二者分辨清楚，更加深入理解這兩種圓錐曲線.

以“形”定向，以“數(shù)”定論

在有關(guān)“直線與圓的位置關(guān)系”“圓錐曲線的幾何性質(zhì)”“直線與圓錐曲線位置關(guān)系”幾個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容復(fù)習(xí)的過(guò)程中，均采用“以‘形定向，以‘?dāng)?shù)定論”的教學(xué)策略，即通過(guò)對(duì)幾何對(duì)象的分析，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的不斷轉(zhuǎn)化，確定解題方向，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，通過(guò)代數(shù)計(jì)算得到最終結(jié)論. 在“以‘形定向”的過(guò)程中，重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);在“以‘?dāng)?shù)定論” 的過(guò)程中，重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 通過(guò)對(duì)典型題目的分析、討論，讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，感悟基本思想，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在不斷解決問(wèn)題的過(guò)程中，建構(gòu)于反思，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

1. 直線與圓的位置關(guān)系復(fù)習(xí)突出幾何法

在直線與圓的教學(xué)單元，重點(diǎn)內(nèi)容就是直線與圓的位置關(guān)系，解決問(wèn)題的方法是幾何法和代數(shù)法，幾何法突出的是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，代數(shù)法則突出代數(shù)運(yùn)算，從培養(yǎng)學(xué)生思維的角度而言，此處的教學(xué)重點(diǎn)放在幾何法. 從知識(shí)梳理部分入手，以圖形的方式加以呈現(xiàn)，分析圖中的幾何對(duì)象的幾何特征，梳理幾何法. 然后精選例題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)圖形的分析，尋找圖形的幾何特征或是圖形間的位置關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決問(wèn)題，這也正是解析幾何的本質(zhì)所在.

通過(guò)對(duì)這類問(wèn)題的分析，重點(diǎn)在于對(duì)圖形中幾何對(duì)象的幾何特征的分析，并將幾何特征代數(shù)化，由此最終解決問(wèn)題，這個(gè)過(guò)程中對(duì)幾何對(duì)象的幾何特征的分析同時(shí)發(fā)展了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，將幾何特征代數(shù)化，并最終解決問(wèn)題著重發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2. 橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)突出幾何直觀

在復(fù)習(xí)有關(guān)離心率的內(nèi)容時(shí)，首先引導(dǎo)學(xué)生回顧離心率的定義和其幾何意義，同時(shí)明確求解離心率關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，可以充分利用已知條件挖掘題目信息，借助圖形的直觀性，由平面幾何的知識(shí)尋求等量關(guān)系，即根據(jù)題設(shè)條件關(guān)系式，借助a，b，c之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化a，c的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于e的方程，從而解方程得出離心率e. 在教學(xué)中安排了以下系列問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生不斷深入分析理解：

本題從幾何角度分析圖形特征，可以利用等邊三角形中點(diǎn)的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形直接求解;也可以利用等邊三角形邊角的性質(zhì)或者等邊三角形中位線的性質(zhì)，得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用橢圓方程得到關(guān)于e的方程求解;也可以利用等邊三角形中點(diǎn)的性質(zhì)及圓的相關(guān)知識(shí)，將點(diǎn)B看作是以（0，0）為圓心，以c為半徑的圓與該橢圓的交點(diǎn)，進(jìn)而得到關(guān)于e的方程求解.以上各種方法都建立在對(duì)于圖形幾何性質(zhì)的分析，對(duì)于幾何條件分析越透徹解法越簡(jiǎn)單，充分體現(xiàn)了“以‘形定向，以‘?dāng)?shù)定論”.

在對(duì)本題的深入分析的基礎(chǔ)上，安排如下三個(gè)變式，讓學(xué)生在運(yùn)動(dòng)變化中或圖形載體變化后，進(jìn)一步感受“以‘形定向，以‘?dāng)?shù)定論”.

為突破教學(xué)難點(diǎn)，提升學(xué)生的思維能力，教學(xué)中始終堅(jiān)持“以‘形定向，以‘?dāng)?shù)定論”的教學(xué)策略，強(qiáng)化圖形意識(shí)，抓住幾何對(duì)象的幾何特征，并將其代數(shù)化，通過(guò)代數(shù)計(jì)算解決問(wèn)題. 通過(guò)巧妙利用圖形特征，優(yōu)化解題過(guò)程，力爭(zhēng)減少計(jì)算量.

3. 直線與圓錐曲線位置關(guān)系突出數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是解析幾何內(nèi)容的重頭戲，在長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)由于學(xué)生不理解解析幾何的本質(zhì)，只是按照套路做題，有些學(xué)生甚至連圖都不畫，上來(lái)就是設(shè)直線方程與圓錐曲線聯(lián)立，消元得到一元二次方程后，利用“韋達(dá)定理”列出根與系數(shù)的關(guān)系，然后再尋找有用條件進(jìn)行分析，遇到稍微復(fù)雜的題目就只能碰運(yùn)氣. 高三的復(fù)習(xí)需要改變這種現(xiàn)狀. 在這部分復(fù)習(xí)時(shí)，仍堅(jiān)持“以‘形定向，以‘?dāng)?shù)定論”的教學(xué)策略，通過(guò)精選例題，并對(duì)題目的解題過(guò)程進(jìn)行拆解，分項(xiàng)攻破各難點(diǎn). 第一步，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型題目的條件、對(duì)圖形中幾何對(duì)象的幾何特征進(jìn)行分析，合理設(shè)計(jì)解題思路，讓學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，發(fā)展學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng);第二步，依據(jù)解題思路選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，讓學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中體會(huì)分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸思想，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng);第三步，讓學(xué)生對(duì)解決的典型問(wèn)題進(jìn)行反思總結(jié)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的回顧總結(jié)提高學(xué)生整體認(rèn)識(shí). 在這一系列過(guò)程中，讓學(xué)生真正經(jīng)歷解決解析幾何問(wèn)題的一般過(guò)程：要解決怎樣的幾何問(wèn)題——結(jié)合條件及圖形分析幾何對(duì)象的幾何特征——將幾何特征代數(shù)化（用代數(shù)語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系）——通過(guò)運(yùn)算解決代數(shù)問(wèn)題——分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義——最終解決幾何問(wèn)題.

例如，筆者在教學(xué)中設(shè)計(jì)如下問(wèn)題，幫助學(xué)生理解解析幾何的本質(zhì)和核心思想.

本問(wèn)題的難點(diǎn)在于如何處理各問(wèn)中的幾何條件，要突破難點(diǎn)就要依據(jù)圖形精準(zhǔn)分析幾何對(duì)象的幾何特征，合理將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

第一問(wèn)，轉(zhuǎn)化策略是利用菱形的定義、中垂線的定義及判定：以CA，CB為鄰邊的平行四邊形是菱形？圯CA=CB？圯C在線段AB的中垂線上？圯CD⊥AB（點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)），由此可以設(shè)直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立得中點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而利用斜率乘積為-1建立關(guān)于k（直線AB的斜率）的方程的解題策略.

第三問(wèn)，涉及兩個(gè)三角形的面積，如何求三角形面積是本題的突破口：以O(shè)M為底，面積比可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)的比;以AM，BM為底，利用三角形相似可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的比. 由此可以確定與第二問(wèn)相同的解題策略.

第四問(wèn)，轉(zhuǎn)化策略是利用等腰三角形的性質(zhì)，將PM平分∠APB轉(zhuǎn)化為直線AP的斜率與直線BP的斜率互為相反數(shù). 由此可以確定設(shè)直線AB的方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與由條件轉(zhuǎn)化而得的等式建立關(guān)于k（直線l的斜率）的方程的解題策略.

本問(wèn)題以橢圓為載體，不斷將圖形和條件進(jìn)行變化，引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)依據(jù)圖形，對(duì)其中的幾何對(duì)象的幾何特征不斷分析和轉(zhuǎn)化，最終形成清晰的解題策略，而后再由學(xué)生進(jìn)行實(shí)際運(yùn)算操作，通過(guò)代數(shù)計(jì)算解決問(wèn)題，題目完成后對(duì)解決問(wèn)題的反思是必需的，經(jīng)過(guò)反思對(duì)解決問(wèn)題的基本思想方法有明確認(rèn)知.

解析幾何復(fù)習(xí)課中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)的高三解析幾何復(fù)習(xí)課的整體架構(gòu)，就是從知識(shí)的整體架構(gòu)開(kāi)始，讓學(xué)生從研究對(duì)象、基本思想和方法到解析幾何的本質(zhì)形成立體認(rèn)知;進(jìn)而細(xì)化到各知識(shí)點(diǎn)和思維方法，讓學(xué)生在整體架構(gòu)的基礎(chǔ)上對(duì)知識(shí)本身和其應(yīng)用方法有明確認(rèn)知;最終在知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程中，始終堅(jiān)持解析幾何的本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷解決問(wèn)題的基本過(guò)程，在各環(huán)節(jié)中著力發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，幫助學(xué)生深刻感知解析幾何本質(zhì)，養(yǎng)成一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣，能用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá).