解幾未必難 難在覓佳徑

張志華 武曉

[摘? 要] 解析幾何是高考的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，學(xué)生對(duì)解析幾何望而生畏，覺(jué)得“解幾難，難于上青天”. 那么，解析幾何真是那么遙不可及了嗎？文章借助一道范例，多角度審視，給出了克服解析幾何的“四大法寶”：一是“萬(wàn)變不離宗”，二是“乾坤大挪移”，三是“胸中有丘壑”，四是“一覽眾山小”.只要掌握好了這四招，解析幾何的問(wèn)題也變得溫馴且可控了，真乃“解幾未必難，難在覓佳徑”.

[關(guān)鍵詞] 三點(diǎn)共線;多維度審視;“四大法寶”

很多學(xué)生對(duì)解析幾何望而生畏，覺(jué)得“解幾難，難于上青天”，但解析幾何又是高考的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，所以要必須設(shè)法突破.在日常教學(xué)中應(yīng)堅(jiān)持“學(xué)生的精彩才是教師的出彩”的原則，鍛煉和啟發(fā)學(xué)生的思維，提升學(xué)生對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的探究能力，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的鉆研精神，使學(xué)生在問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、假設(shè)、優(yōu)化、解決、推廣、總結(jié)等過(guò)程中不斷提升自身數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng). 只有學(xué)生的思維水平和核心素養(yǎng)提高了，問(wèn)題才能得到根本的突破.那么，解析幾何真是那么遙不可及了嗎？下面借助一道解析幾何問(wèn)題的范例，筆者從多個(gè)角度進(jìn)行審視，以期對(duì)大家提供一定的啟示.

評(píng)注：此解法由學(xué)生給出，思路是利用三點(diǎn)共線的向量形式，轉(zhuǎn)化為“系數(shù)和為1”的結(jié)論，從而得到λ，μ的整體和. 看似簡(jiǎn)潔明了，似是而非，實(shí)則蘊(yùn)含了一個(gè)基本的邏輯錯(cuò)誤，三點(diǎn)共線的系數(shù)和為1的結(jié)論是由平面向量基本定理導(dǎo)出的，而平面向量基本定理的前提是要選擇一組基底（要求兩向量不共線），而這里的“P，N，E，M四點(diǎn)共線”，不存在充當(dāng)基底的基向量，所以這種解法是有問(wèn)題的. 但也正好澄清了一個(gè)結(jié)論：“三點(diǎn)共線”是“系數(shù)和為1”的必要不充分條件，使我們能夠更加深刻理解平面向量基本定理的本質(zhì).

5. 問(wèn)渠那得清如許？為有源頭活水來(lái)

評(píng)注：調(diào)和點(diǎn)列是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的內(nèi)容，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生情況適度介紹. 作為教師還是應(yīng)該遵循“一桶水和一瓢水”的原則，數(shù)學(xué)基本功扎實(shí)，這樣才能具備“千里眼順風(fēng)耳”的功力.

教學(xué)啟發(fā)

通過(guò)對(duì)這道三點(diǎn)共線模型的解析幾何問(wèn)題的深入研究，給我們頗多啟發(fā).要真正解決好解析幾何問(wèn)題，必須要手握“四大法寶”：一是“萬(wàn)變不離宗”，解析幾何的本質(zhì)依然是幾何，平面圖形的一些性質(zhì)要用好，這樣才能做到事半功倍;二是“乾坤大挪移”，不要蠻干苦算，要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸，將復(fù)雜的等價(jià)轉(zhuǎn)化為算法更優(yōu)化的、程序化的熟悉問(wèn)題;三是“胸中有丘壑”，樹(shù)立戰(zhàn)勝解析幾何的信心，熟練字符化簡(jiǎn)的技巧，歸納解幾問(wèn)題的模型;四是“一覽眾山小”，要徹底洞察問(wèn)題的本質(zhì)，必須具備深厚的數(shù)學(xué)功底，要有“清澈的源頭”，才能做到高屋建瓴，一語(yǔ)中的.只要掌握好了這四招，解析幾何的問(wèn)題也變得溫馴且可控了，真乃“解幾未必難，難在覓捷徑”.

課后練習(xí)

以下是一道高考真題，請(qǐng)讀者下來(lái)利用本文中的“四大法寶”，仔細(xì)揣摩，作為練習(xí)，“熟能生巧是良訓(xùn)，一分辛勞一分才”.