數(shù)形結合方法的解題探究與教學實踐

李立松

[摘? 要] 數(shù)形結合思想將數(shù)學中的“數(shù)”與“形”有機地結合在一起，對于知識的理解和問題的解答十分有利. 初中階段正是學生掌握數(shù)形結合思想方法的關鍵時期，對于該方法的教學不僅應滲透于具體的概念定理中，還應該結合具體的考題使學生掌握該方法的使用策略和精髓. 文章將分析數(shù)形結合方法在教學中存在的問題，并結合具體考題進行剖析，開展教學微設計，與讀者交流學習.

[關鍵詞] 二次函數(shù);數(shù)形結合;教學;思考;實踐

問題的提出

在九年級“二次函數(shù)”的章節(jié)教學中，需要讓學生掌握二次函數(shù)的表達式，并能根據(jù)表達式繪制對應的函數(shù)圖像，掌握函數(shù)的圖像特點和對應的性質，其中隱含了數(shù)形結合的思想方法，即根據(jù)代數(shù)式聯(lián)想函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像的特點助力表達式的分析，從而實現(xiàn)二次函數(shù)的數(shù)與形的多角度研究. 同時該思想方法也是突破中考二次函數(shù)壓軸題的重要解題方法，對透視考題結構，挖掘考題隱含條件，構建解題思路起著十分重要的作用. 但僅僅依靠教材概念講解難以使學生充分掌握數(shù)形結合方法解題的具體策略，因此十分有必要結合考題使學生明晰方法的思想核心和內(nèi)涵.

考題的例析

數(shù)形結合方法作為突破函數(shù)問題的重要方法，表面上是“數(shù)”與“形”相互結合來分析問題，但細致剖析其核心內(nèi)容可概括為兩點：一是以“數(shù)”思“形”，即根據(jù)函數(shù)表達式聯(lián)想具體的函數(shù)圖像;二是以“形”助“數(shù)”，即利用函數(shù)直觀圖像來分析表達式，確定問題的破解思路. 實際用于解題時就可以根據(jù)這兩點進行研究，首先根據(jù)題干關于函數(shù)圖像的信息繪制二次函數(shù)的圖像，然后通過函數(shù)圖像的特點來確定函數(shù)的性質，進而突破考題，以下面這道二次函數(shù)考題為例.

考題? 在直角坐標系xOy中，拋物線L的解析式為y1=ax2+bx+c（a≠0），L與坐標系的x軸相交于點A（x1，0），B（x2，0），與y軸相交于點C，且O和C兩點之間的距離為3，x1·x2<0，x1+x2=4，而點A和C位于直線y2=-3x+t上.

（1）試求點C的坐標;

（2）若y1隨著自變量x的增大而增大，試求x的取值范圍;

（3）現(xiàn)將拋物線y1向左平移n（n>0）個單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，再將直線y2向下平移n（n>0）個單位，若平移后直線與P存在公共點，試求2n2-5n的最小值.

突破解析：

（1）第一問求點C的坐標，題干中有兩個條件，一是點C是拋物線與y軸的交點，二是“O和C兩點之間的距離為3”，即OC=3，則OC=3或-3. 以“數(shù)”思“形”，可以此為條件繪制圖1所示的圖像，則可以確定拋物線有兩種情形：開口向上或開口向下;以“形”助“數(shù)”，可確定點C的坐標為（0，3）或（0，-3）.

（2）研究x的取值范圍，同樣可以采用以“數(shù)”思“形”到以“形”助“數(shù)”的策略，即首先結合C的分類情況確定拋物線的表達式，然后根據(jù)表達式繪制對應的函數(shù)圖像，最后根據(jù)圖像的單調性確定x的取值范圍. 考慮點C的坐標，分如下兩種情形進行討論：

①當點C的坐標為（0，3）時，點A和C均位于直線y2=-3x+t上，分別代入可得0=-3x1+t，

3=t，解得x1=1，

t=3，則點A（1，0）. 結合條件“x1·x2<0，x1+x2=4”可得x2= -3，進一步可確定點B（-3，0），從而可確定拋物線的解析式為y1=a（x-1）（x+3），最后將點C的坐標代入上式，可以確定拋物線的表達式y(tǒng)1=-x2-2x+3，可計算出對稱軸為x=-1. 根據(jù)其表達式可以繪制如圖2所示的圖像，圖像開口向下. 由圖像可知：當x<-1時，y1隨著自變量x的增大而增大，故x的取值范圍為x<-1.

②當點C的坐標為（0，-3）時，同理可確定拋物線的表達式y(tǒng)1=x2-2x-3，圖像的對稱軸為x=1，根據(jù)其表達式可以繪制如圖3所示的圖像，圖像開口向上. 由圖像可知：當x>1時，y1隨著自變量x的增大而增大，故x的取值范圍為x>1.

綜合上述情形的①和②，可知：當點C為（0，3）時，拋物線表達式的a=-1，x<-1;當點C為（0，-3）時，拋物線表達式的a=1，x>1.

（3）對于該問同樣需要考慮點C的坐標，通過分類討論確定拋物線的圖像，借助圖像確定最值.

①當點C為（0，3）時，a=-1，則y1= -（x+1）2+4，y2=-3x+3，y1向左平移n個單位，可得y3=-（x+1+n）2+4，y2向下平移n個單位，可得y4=-3x+3-n. 在圖4中分別繪制y1和y2的圖像，然后在圖5中繪制平移后的圖像，則區(qū)域P就是拋物線對稱軸左側的部分，要使直線與區(qū)域P存在公共點，則需滿足拋物線頂點P位于點Q之上，即x=1-n時，y3≥y4，代入可解得n≥1.

②當點C為（0，-3）時，a=1，則y1=（x-1）2-4，y2=-3x-3，對應可得平移后的表達式為y3=-（x-1+n）2-4，y4=-3x-3-n. 同樣繪制平移前后的圖像，如圖6和圖7，同理可確定區(qū)域P（對稱軸右側），存在公共點的條件為拋物線頂點P位于點Q的下方，即x=1-n時，y3≤y4，代入可解得n≤-1. 考慮到n>0，將其舍去.

綜上可知，n≥1，2n2-5n=2n-2-，定義域為n≥1，則n=時2n2-5n可取得最小值-.

在考題教學中可以進行對應的微設計，逐步引導學生掌握數(shù)形結合的解題策略，以上述考題的第（1）、（2）問為例：

1. 教學環(huán)節(jié)一：呈現(xiàn)題干，基礎分析

已知拋物線L：y1=ax2+bx+c（a≠0），與x軸的交點為A（x1，0），B（x2，0），與y軸的交點為C，若點C到點O的距離為3，試求點C的坐標.

引導：利用代數(shù)式表示“點C到點O的距離為3”.

2. 教學環(huán)節(jié)二：深入研究，探究解析式

題干信息同上，若x1·x2<0，x1+x2=4，點A和C位于直線y2=-3x+t上，試求二次函數(shù)的解析式.

引導：①利用上述點C的坐標，結合條件“A和C位于直線y2=-3x+t上”求對應點A的坐標.

②結合條件“x1·x2<0，x1+x2=4”確定對應點B的坐標.

③利用點A，B，C的坐標求解拋物線的解析式.

3. 教學環(huán)節(jié)三：以“數(shù)”思“形”，構建函數(shù)圖像

利用上述拋物線的解析式，結合關鍵點繪制拋物線的圖像.

引導：根據(jù)拋物線的解析式，確定函數(shù)的對稱軸，然后分別標出圖像的頂點、與x軸的交點和對稱軸，進而繪制圖像.

4. 教學環(huán)節(jié)四：以“形”助“數(shù)”，研究取值問題

在上述條件成立的情況下，如果 y1隨著自變量x的增大而增大，則x的取值范圍為多少？

引導：根據(jù)具體的拋物線圖像進行研究，y1隨著自變量x的增大而增大，則表示需要取圖像上的單調遞增區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的遞增區(qū)段來分析對應的自變量取值.

教學的思考

1. 立足考題教學，探尋著力點

數(shù)形結合思想是初中數(shù)學最為重要的思想方法之一，許多教師在教學中僅在函數(shù)的性質教學中進行了簡單的滲透，偏重于利用數(shù)形結合思想使學生理解具體的概念，但數(shù)形結合同樣是一種重要的解題方法和策略，掌握數(shù)形結合的方法對于提高學生的解題效率是十分有利的. 因此應該從方法的“概念教學”走向方法的“解題教學”，即結合具體的考題，通過對考題的細致剖析使學生充分體會數(shù)形結合思想的應用內(nèi)涵，形成數(shù)形結合分析問題的意識. 將考題作為方法學習的著力點，不僅是提升學生綜合解題能力的應用要求，同時也是當下素質教育的發(fā)展要求，將概念與應用相結合可以使學生深刻體會方法的精髓所在.

2. 微設教學環(huán)節(jié)，體會應用思想

數(shù)形結合方法應用解題包含有兩層深義，一是以“數(shù)”思“形”，通過適度的運算來獲得關鍵的數(shù)據(jù)，結合數(shù)據(jù)來構建圖像;二是以“形”助“數(shù)”，充分利用圖像的直觀性，明確圖像結構，透視考題本質，探尋問題解答的途徑，即利用圖像的性質來探究數(shù)學規(guī)律，使復雜的代數(shù)問題轉化為與圖像性質相關的問題. 考慮到學生的理解能力，為使學生充分掌握該方法的解題策略，進行考題教學時要合理的采用教學微設計的方式，將復雜的綜合問題拆分為多個簡單的問題，然后通過對幾個分問題的引導使學生掌握數(shù)形結合分析問題的具體步驟. 如上述考題的微設計，首先利用分問題引導學生進行數(shù)據(jù)分析，利用數(shù)據(jù)來繪制函數(shù)圖像，然后利用圖像來簡捷地求解問題，這樣的方式不僅有利于學生理解方法的應用性，還可以培養(yǎng)學生的邏輯思維.