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    小學數(shù)學“直覺性錯誤”現(xiàn)象及教學策略研究

    2019-07-01 11:39吳麗明
    教學月刊·小學數(shù)學 2019年5期
    關鍵詞:數(shù)與代數(shù)直覺錯誤

    吳麗明

    【摘 ? 要】小學生數(shù)學學習中錯誤是常見的,很多錯誤不是源于問題本身的難度,而是源于直覺性誤解而產生的?!皵?shù)與代數(shù)”領域內的直覺性錯誤可以針對具體現(xiàn)象,通過預見錯誤、引導反思、回歸“原點”等幾大教學策略來加以改善。

    【關鍵詞】小學數(shù)學;數(shù)與代數(shù);直覺;誤解;錯誤;教學策略

    有幸拜讀了《教學月刊·小學版(數(shù)學)》2018年第11期鄭倩和郜舒竹兩位老師的文章《數(shù)學學習中的直覺和誤解》,頗受啟發(fā)。筆者在教學實踐中也經常遇到這類錯誤。下面試圖用“數(shù)與代數(shù)”領域中某些典型的直覺性錯誤案例,展開對學生心理思維的診斷分析,并提出防止這類錯誤發(fā)生的教學策略。

    一、“數(shù)字湊整去尾”導致直覺性計算錯誤分析及建議

    【案例分析】

    “數(shù)字湊整去尾”指的是在計算整數(shù)、小數(shù)加減法時,數(shù)據(jù)的尾數(shù)相加正好能湊成“10”,相減正好得“0”。我們來看學生的一個錯例(如圖1)。此題來自于五上年級小數(shù)四則計算,出錯率為20%(全班30名學生)。為了弄清原委,筆者對出錯的學生進行了訪談,回答出奇地一致:“我沒仔細看,一看到兩個5剛好湊10一起相加,就加了?!?p>

    學生的說法給了這類直覺性錯誤“合理性”,當學生面對能夠“湊整或去尾”的計算題時,數(shù)字起到了誘導作用,在學生的大腦中會調度出“湊整”或“去尾”的表象,進而用這些表象進行思維,做出破壞計算規(guī)則的判斷?!皽愓ノ病北纫?guī)則刺激強烈,從而導致學生對“規(guī)則”的熟視無睹,“直覺”就告知錯誤答案。

    【教學策略】引導反思,從認知到元認知

    從案例中可以看出,“數(shù)字特征”誘導及心理準備不足是此類錯誤產生的主要原因,為糾正與防止這類錯誤的發(fā)生,筆者采用了以下三種教學策略:題組訓練—對比反思—舉一反三。

    1.題組訓練。這類“數(shù)字誘導”性直覺錯誤往往在題量少或者單獨出現(xiàn)的時候不容易錯,所以,事先鋪設“題組”,將“湊整去尾”計算題型放置在題組中出現(xiàn),讓學生從集體的高頻出錯率中主動發(fā)現(xiàn)差異,引起心理注意。比如案例中的(2.5+5)×4,看似很簡單的題目錯誤率卻很高,當筆者把錯題投影出現(xiàn)的時候,學生自己都很“驚訝”。

    2.對比反思。對比反思是指讓學生通過對比,反思計算過程的正確與錯誤。比如針對上面案例中的錯誤,筆者設計了如下導語,讓學生明白根源。

    師:2.5+5有六位同學算成了3,但在3+0.3這題上卻沒有出現(xiàn)同樣的錯誤。為什么同樣的題型,偏偏就這題錯了呢?你是怎么想的呢?

    生:(恍然大悟)5和5正好湊整,自然而然就加了,上當了,而另外一道3和3不湊整,就不會這樣去想了。

    這樣的對比反思過程,有利于學生對不同類型的計算題運用正確的計算策略。

    3.舉一反三。讓學生通過這個錯例,去思考分析哪些題目也可能會犯同樣的錯誤,以起到舉一反三的防止作用。針對上面的案例,教師繼續(xù)引導學生思考,平時還有哪些計算也是數(shù)字干擾你出錯呢?通過回顧,學生舉出了不少錯例,如:3.2-2 =3,0.11-0.1=0.1,0.16÷4=0.4,等等。這說明此時學生已經有了主動監(jiān)控思維的準備,當再次面對數(shù)字誘導時,自然就能避免直覺產生的錯誤。

    二、“整數(shù)固有觀念”導致直覺性認識錯誤分析及建議

    【案例分析】

    四則運算中整數(shù)固有觀念“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù),‘每份數(shù)肯定小于‘總數(shù)”就是較為典型的“整數(shù)觀念”直覺認識,下題(如圖2)是一個直覺錯例

    (浙教版五年級上冊):用面積除以總噸數(shù),出錯率為13.3%(全班30名學生)。訪談中筆者問學生:“你本來列的數(shù)量關系是對的,怎么又劃去了呢?”學生回答:“算了以后發(fā)現(xiàn)結果比9.9噸還大了,覺得‘每份數(shù)肯定要比‘總數(shù)小,所以我就想是不是要反過來除?!?/p>

    學生的說法揭示了錯誤的“合理性”,“整數(shù)固有觀念”除法里“每份數(shù)”一定比“總數(shù)”要小,當出現(xiàn)“每公頃的數(shù)量”比“總噸數(shù)”還大的時候就認為數(shù)量關系錯了。

    【教學策略】預見“錯誤”,從直覺到“自覺”

    從案例中可以看出,對“整數(shù)固有觀念”的錯誤認知是產生此類錯誤的根本原因。為了糾正觀念,防止錯誤,教師要有充分預見,教學時可采用“條件互逆—辯論說理—類比尋源”的策略。

    1.條件互逆。對于給定的兩個條件A和B,經常同時提出兩個互為“被除數(shù)和除數(shù)”的問題。筆者對教材中的練習進行加工,如“在占地0.025公頃的果園里,有125棵蘋果樹,平均每棵樹占地多少平方米”這一題,可以增加一個條件互逆問題“平均每平方米種蘋果樹多少棵”。雖然都是除法,但通過條件互逆,學生就會去想每一個除法結果的意義所在,弱化整數(shù)除法里“每份數(shù)比總數(shù)小”的觀念。

    2.辯論說理?!罢麛?shù)固有觀念”被學生沖動地錯誤使用,還在于學生對算理和數(shù)量關系不明晰,缺少從意義上的深入思考,對此,筆者針對此案例中的錯誤進行了辯論說理的“補救”措施,通過爭鳴,把“理”給越辯越明。

    師:M同學將對改錯,認為總噸數(shù)除以公頃數(shù)后的“每份數(shù)”一定小于總噸數(shù)。這種觀點錯在哪里?請你結合題意來說一說。

    生:(從意義理解)因為被除數(shù)9.9噸是0.81(正確應為0.825)公頃土地的產量,也就是說1公頃不到就產了9.9噸,那么1公頃產多少,肯定要比9.9噸多。

    生:地多了,產量肯定也大了,求出來多才對,少了肯定不對,不應該改。

    通過辯論和理性思考,在一定程度上可以抑制固有觀念的直覺沖動。

    3.類比尋源。錯例辨析后,繼續(xù)讓學生對“整數(shù)固有觀念”進行尋思。教師提問:“還有哪些整數(shù)范圍里的規(guī)律,在小數(shù)中運用好像不對了?”學生從錯題本上陸續(xù)找出了“例證”。比如整數(shù)“乘法總是越乘越大,除法總是越除越小”,但是小數(shù)就不是這樣,并舉例0.8÷0.95和0.8的大小比較時,很容易認為除了就小了。通過小組討論,最后學生用計算驗證、畫圖示意等各種方法逐漸明了這個規(guī)律只有在除數(shù)是大于1時才會成立。

    三、“計算及結果可能性”引起的直覺性判斷錯誤分析及建議

    【案例分析】

    用所列算式“能否進行四則運算”“結果是否整除、除盡”等直覺來判斷數(shù)量關系的對與錯。此類錯誤年級越低越突出,新知學習之初更明顯。請看以下一題。此題來自二上年級的題組測試對比。

    結果顯示,數(shù)量關系相同的情況下,“數(shù)字能夠進行四則運算”比不能任意進行計算的錯誤率高20%以上。

    訪談時,筆者問學生:“右邊這題也有‘少字,怎么就發(fā)現(xiàn)是用‘加呢?”學生回答:“一開始,我也是用減的,但是8-10不能減,所以想肯定不是減,再看了一下,是加?!?/p>

    【教學策略】回歸“原點”,化直覺為推理

    此案例說明學生面對問題,不是根據(jù)數(shù)量關系來推理出算式,而是憑數(shù)字計算直覺做出推論,因此學會分析推理是關鍵。筆者在教學中據(jù)此實施“符號化—回歸‘原點分析—問題出發(fā)‘推理”三大策略,收到一定成效。

    1.符號化。在低年級數(shù)量關系教學中嘗試使用“符號”代替具體數(shù)字,對數(shù)量關系進行符號化抽象,突破關系思維對具體數(shù)字的依賴。比如:“學校有排房子,每排有 個教室,一共有幾個教室?”初次嘗試能列出“ ×”算式的學生就達到43.9 %(班級41名學生)。還可以用這樣的題目來總結數(shù)量關系:“故事書有本,漫畫書是故事書的6倍,漫畫書有幾本?”

    2.回歸“原點”分析。當學生出現(xiàn)錯誤后,每次都帶領學生回歸“概念”“關系”這一“原點”,不是簡單地就錯論錯。針對案例中的題目,引導學生回歸關鍵句“誰多誰少”這一“原點”上來。

    師:求的是哪邊的教室?

    師:西邊教室和誰比呢?是多還是少?

    師:題目中不是有“少”字嗎?怎么是“多”了?你怎么發(fā)現(xiàn)的?

    師:你可以畫個圖給大家看看嗎?到底哪邊教室多,才符合題目意思?

    ……

    如果每次分析錯誤,教師都能帶領學生找到“原點”,從“原點”出發(fā)進行思考,久而久之,學生就會養(yǎng)成清晰的分析思路,從而避免用直覺解決問題。

    3.問題出發(fā)“推理”。在高年級,培養(yǎng)從問題出發(fā)的推理能力,是解決直覺性錯誤的有效手段。我們再來看一個學生解決平均速度中常見的直覺錯例(浙教版五年級上冊)。

    對此,筆者帶著學生展開一次“問題出發(fā)的推理”,破解直覺性理解錯誤。

    師:要解決什么問題?根據(jù)速度、路程和時間的關系,數(shù)量關系應該是什么?

    師:回到題中尋找我們需要的路程和時間,你發(fā)現(xiàn)了什么?

    師:缺少路程、時間,怎么辦?

    師:兩個都要假設嗎?路程和時間,假設哪一個更好?

    生:假設路程更好,因為上下坡的路程是一樣的。

    經過推理分析后,筆者把情境變換成“單價”“工效”,在后續(xù)測評時發(fā)現(xiàn)學生的解題正確率大大提高了,這說明學生已經從直覺判斷回歸到分析推理這一正確的軌道上來,不再憑直覺用“速度和除以2”計算。

    “數(shù)與代數(shù)”領域的直覺錯誤現(xiàn)象存在于小學各個年級和各個知識學習階段,如果我們能夠不斷地從學生的錯誤中進行反思,不斷尋求解決問題的對策,那么學生的這種錯誤率一定會降低,也一定會促進他們更好地發(fā)展。

    (浙江省杭州市崇文實驗學校 ? 310014)

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