比例學習中的直覺與錯誤

方杏 郜舒竹

【摘 ? 要】比例以及相應的思維方式，是貫穿數(shù)學課程始終的學習內(nèi)容。關(guān)于這一內(nèi)容的直覺與錯誤成為重要的研究內(nèi)容。綜合國內(nèi)外的文獻，厘清和梳理出相應的直覺規(guī)律和錯誤成因，可以有效利用這些資源，對教師教學以及其課程開發(fā)產(chǎn)生積極作用。

【關(guān)鍵詞】比例;直覺;錯誤

“直覺”是指沒有經(jīng)過充分分析驗證的直觀感覺或判斷。布洛赫（Bloch）認為：“直覺是把那些已經(jīng)了解很充分的認識拼起來，形成一個完整的認識。”[1]菲斯貝茵（Fischbein）認為，直覺是沒有經(jīng)過復雜的思考過程和嚴謹?shù)淖C明，不加任何思索產(chǎn)生的瞬間想法，并且直覺是超出給定事實的即刻認知，是一種暗示超出直接可獲得的信息的外推理論。托夫和斯騰伯格（Torff & Sternberg）認為，直覺是沒有經(jīng)過深思熟慮的反應過程，順從且不加批評地對事實產(chǎn)生共鳴。直覺，是直接得到的感覺，即在經(jīng)驗和已有知識的基礎(chǔ)上，不經(jīng)過邏輯推理而直接迅速地認知事物的思維活動。[2]數(shù)學學習過程中產(chǎn)生的錯誤往往源于直覺。

一、直覺規(guī)律

以色列學者蒂羅什與斯塔維（Dina Tirosh & Ruth Stavy）等人在菲斯貝茵（Fischbein）直覺理論的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)學生在面對問題時會出現(xiàn)規(guī)律性的直覺，歸納出直覺規(guī)律：“越A-越B（More A-More B）”“同A-同B（Same A-Same B）”“不同A-不同B（Different A-Different B）”和“線性A-線性B（Linear A-Linear B）”等規(guī)律。所使用的直覺規(guī)律為：“越A-越B”“線性A-線性B”。

“越A-越B”反映學生在解決問題的過程中，其中兩個對象在某個顯著數(shù)量A上存在明顯的不同（A1> A2），然后要求學生比較這兩個對象相對于另一個數(shù)量B（B1= B2或B1

“線性A-線性B”主要體現(xiàn)學生在解決問題時依據(jù)線性屬性進行推理，從而產(chǎn)生線性誤解。例如，當一個物體的某個向度擴大或增加[n]倍，另一個向度也會被認為擴大或增加[n]倍。比如，“一個正方形的邊長擴大2倍，那么面積是原來的多少倍？”有學生會認為是原來的2倍，即遵循直覺規(guī)律邊長擴大2倍（成倍數(shù)關(guān)系），面積擴大2倍（也成倍數(shù)關(guān)系）。學生對線性概念的熟悉程度和經(jīng)驗是非常重要的，通常也是導致出現(xiàn)各種線性誤解的內(nèi)在原因。

低年級學生能夠?qū)唵蔚谋壤龁栴}給出正確的答案，比如，買1顆糖果2元錢，2顆糖果4元錢。因此，這種不經(jīng)計算，依據(jù)數(shù)字關(guān)系便得出結(jié)果的數(shù)字模型形成學生的一種思維模式，當問題中出現(xiàn)學生非常熟悉的維度，比如成比例的數(shù)字、時間與速度等字眼時，學生會不假思索地使用所熟悉的關(guān)系進行計算。維姆·范·沃倫（Wim Van Dooren）等人對三至八年級的大班學生進行了包含比例問題和各種非比例問題的測試，其中在問題“愛倫和基姆在跑道上跑步。他們跑得同樣快，但愛倫后來起步。當愛倫跑了4圈時，基姆跑了8圈。當愛倫跑了12圈時，基姆跑了多少圈”中，三年級學生有30%是按比例思路回答的，并且從三年級到六年級這一比例顯著增加。[3]學生過度利用比例推理的解題思路，便是對比例方法的過度依賴而形成的比例性直覺思維，即形成“線性A-線性B”直覺規(guī)律。

蒂羅什與斯塔維所提出的直覺規(guī)律中，除“越A-越B”“線性A-線性B”，還有“同A-同B”“不同A-不同B”?！巴珹-同B”規(guī)律反映問題中所涉及的兩個對象，顯著的數(shù)量[A1=A2]，而另一個數(shù)量[B1≠B2]，但是在比較量B的時候?qū)W生往往依據(jù)顯著相等的量A，而做出判斷“[B1=B2]”。用以下例子說明。

蒂娜·蒂羅什與魯思·斯塔維（Dina Tirosh & Ruth Stavy）依據(jù)利夫尼（Livne）的研究，設(shè)計了比較不同大小的立方體表面積與體積之比的測試（如圖2）：在兩個不同大小的立方體中，立方體1的表面積與體積之比是等于、大于還是小于立方體2的表面積與體積之比？并解釋。

如圖2所示，兩個立方體形狀一樣，大小不一樣。參加測試的均為系統(tǒng)學習過立體圖形知識的高年級學生，為九到十二年級。經(jīng)統(tǒng)計，三個年級中認為[C1V1=C2V2]的學生分別占了41%，45%，55%。典型的解釋為：“立方體1、立方體2都是形狀相同的正方體?！睆闹庇X規(guī)律的視角來看，這一解釋恰好符合“只要形狀相同，表面積與體積之比相同”的直覺規(guī)律。

“不同A-不同B”反映的是學生在比較兩個對象時，由于兩個對象在量A上存在明顯的差異，自然而然地認為兩個對象的量B也不同。例如比較兩個形狀不同（面積相等）的三角形的面積（如圖3），學生會認為形狀不同，面積就不同，即“形狀不同，面積就不同”。此規(guī)律為“同A-同B”規(guī)律的相反面，其直覺思維的本質(zhì)是一樣的。

此外，塞浦路斯大學（University of Cyprus）的兩位學者（Lambros Stephanou & Demetra Pitta-Pantazi）使用了“如果A-那么B （if A， then B - if not A， then not B）”直覺規(guī)律對學生在解決面積與周長的問題中出現(xiàn)的錯誤進行了解釋。[4]可見，直覺規(guī)律客觀存在于學生某種特定的思維中，并且會被具有特定形式的問題喚醒。

蒂羅什與斯塔維認為，學生對給定的數(shù)學科學測試的反應往往是受到測試題目共同的外顯特征的影響，這些特征觸發(fā)了直覺規(guī)律的使用。[5]例如，皮亞杰曾進行了讓4到9歲兒童比較玩具火車運動時間的實驗（火車行駛時間相同，速度不同）。實驗顯示，一些兒童認為“跑得更快的火車用的時間更長”或者“跑在前面的火車用的時間更長”。顯然，受測兒童對火車行駛時間的判斷是受到火車“跑得快、跑在前面”等外顯因素的影響，若以直覺規(guī)律解釋，即“越A（距離越長或速度越大）-越B（時間越長）”。在過去幾十年，隨著數(shù)學和科學概念的發(fā)展，人們開始注意到學生的直覺反應，通常認為直覺反應是與特定的內(nèi)容域有關(guān)的認知形式，如面積、長度、體積、濃度等。但是直覺規(guī)律的應用是非常普遍的，學生一旦建立某一規(guī)律，便很難改變，并且會理所當然地對所推斷或證明的事物產(chǎn)生認同，即個體主觀地強加給自己，認為是絕對且獨特的解釋或方法，而不接受其他任何選擇。

直覺規(guī)律作為學生對特定問題思考的一種方式，教師可以通過它預設(shè)學生在面對同類型問題時可能會出現(xiàn)的解決方案，學生對具有共同特征的問題會產(chǎn)生的類似的反應。蒂羅什與斯塔維提出直覺規(guī)律的理論具有預測能力，教師可以預見學生對特定問題情境的錯誤反應，并借此調(diào)整教學環(huán)節(jié)，以幫助學生克服錯誤的直覺反應。[6]因此，在了解學生思維習慣的基礎(chǔ)上，可以預設(shè)學生在某個問題上可能出現(xiàn)的學習困難點。

雖然學生的直覺規(guī)律無法強制被改變，但是教師可以依據(jù)直覺規(guī)律預測學生可能出現(xiàn)的思維結(jié)果，學生在知識上的推斷特征對于教師教學以及其課程開發(fā)具有重要意義。

二、直覺的來源

學生在學習過程中出現(xiàn)各種解題錯誤是非常普遍的，而直覺規(guī)律也伴隨其中。蒂羅什與斯塔維根據(jù)學生的反應，提出學生在遵循直覺規(guī)律的同時伴隨著巨大的信心，并且會堅持使用。[7]這與學生在學校的正式學習是相違背的，但是卻符合學生的認知規(guī)律，直接知覺在兒童智力操作系統(tǒng)中具有首要地位。直覺規(guī)律的形成主要有兩方面的來源：第一是先天的傾向性。許多研究者表示，固有概念及其形式早在先天就已存在。杰肯道夫（Jackendoff）、維爾茨比卡（Weirzbicka）認為這些固有概念都源于一組具有普遍適用性的初始語言。比如，一些數(shù)字感覺在出生時起就存在頭腦里，并且一直延續(xù)。第二是成功的經(jīng)驗。蒂羅什和斯塔維認為，直覺規(guī)律是對成功經(jīng)驗的過度概括。學生在日常生活及學校學習的過程中，不斷積累各種知識與經(jīng)驗，知識的學習是不斷更新與深入的，而成功的經(jīng)驗是以過去的知識為基礎(chǔ)的。這種在過去普遍適用的經(jīng)驗在學生頭腦中逐步形成一組“通用準則”，在遇到新的（外顯特征）類似的問題時，不假思索地遵循并使用。

學生解題策略的選擇關(guān)系著最終答案的對錯。小學階段學生常用的解題策略有單價法、公式法、倍數(shù)法、累加法等。研究者的研究內(nèi)容之一是探討學生解題策略的不當使用所導致的錯誤并解釋其原因。以下詳細分析這幾種解題策略。

單價法，是指先求“一單位”的量，再進行計算的方法。使用單價法解題，學生首先需要掌握單位化（或基準化）的能力。單位化（unitizing）能力，就是在解比例問題時，先求出單位量，再利用單位量來解題。在一個比的乘法操作（加法策略）基礎(chǔ)上，將比例擴展到第二個比，即單價比。所謂“單價比”就是首先需要學生找出當某物為一單位時，另一物相當多少單位這種比的關(guān)系，然后推斷前者增加到一定量后，另一物應該增加多少。[8]比如：10個雞蛋12元，36元能買多少個雞蛋？學生首先得到1個雞蛋的價格1.2元，然后通過加法或乘法推導出36元能買到的雞蛋的數(shù)量。魯普爾在比例教學研究中發(fā)現(xiàn)兩步作業(yè)法，即：找出單價比;用單價比計算結(jié)果。

公式法，也叫十字相乘法。即在比例式子“[a：b=c：x]”中，內(nèi)項乘積等于外向乘積，也就是“[bc=ax]”，可求得“[x=bca]”;或者利用比值相等“[ab=cx]”，再交叉相乘求出“[bc=ax]”，進而求得“[x=bca]”。這種以純粹數(shù)字運算解題的方法，雖然比較快速精確，但容易使學生忽略對比例問題的真正理解，養(yǎng)成一味套公式的習慣。

倍數(shù)法是指學生利用兩個比例式中的前項（后項）之間的倍數(shù)關(guān)系，求出后項（前項）的方式。[9]可通過以下例子說明：有甲、乙兩根粗細和材質(zhì)均相同的柱子，甲長4米，重6千克，乙長7米，重幾千克？學生首先算出乙柱子長度是甲的[74]倍，然后用[74]×6的方法得出乙柱子的重量。許多實驗研究者（哈特、拉蒙、瓦塔納貝等）也認為學生在解決比例問題時，經(jīng)常使用倍數(shù)法策略。

累加法即加法策略，也叫恒定差異策略，這是針對低年級兒童普遍采用的策略，即將數(shù)值關(guān)系視為比差關(guān)系，通過加減操作解決比例問題。第四軍醫(yī)大學心理學教研室的苗丹民等人研究認為，四五歲的兒童僅能作定性描述，即判斷誰多誰少，初小學生則能作定量性描述。學生借由連續(xù)相加的累加方法來建立比例關(guān)系，比如，1個菠蘿6元錢，4個菠蘿多少錢？學生會用“1個6元，2個12 元，3個18元……”這樣連續(xù)累加的方法解題。使用累加策略解題，學生對于比較簡單的問題可以成功解決，但問題若包含非整數(shù)，則只有少數(shù)學生可以使用此策略成功解決。使用加法策略是兒童比例概念發(fā)展過程中的一個必經(jīng)階段，盡管這種策略建立在非比例概念的水平上，但它卻成為解決比例問題策略的基礎(chǔ)，并為解決簡單的比例問題提供了方法。

以上是解決比例問題主要運用的幾種方法策略。單價法、公式法、倍數(shù)法實質(zhì)上都是乘法的運算，因此這里將其歸為“乘法策略”，累加法是基于乘法的重復相加特性，具有加性推理的特征，因此將具有加性推理的方法歸為“加法策略”。學生從入學起，最先接觸并進行系統(tǒng)學習的是加法運算。加法與乘法同樣是學生解決比與比例問題的運算策略，但是其思維方式有明顯的差異。乘法思維不僅包含加法，而且在其基礎(chǔ)上滲透更深層次的思考。

三、比例思維中的直覺與錯誤

國外不少研究者對學生的錯誤進行了研究，其范圍也從單純的計算擴展到代數(shù)、幾何、統(tǒng)計等領(lǐng)域的各個方面。例如，美國學者巴斯韋爾（Buswell）和賈德（Judd）對學生算術(shù)錯誤進行了診斷研究，德國、蘇聯(lián)等國也開展了學生錯誤研究。隨著數(shù)學錯誤研究的進一步深化，國外學者對數(shù)學錯誤有了更為科學化的認識。美國學者厄爾溫格（Erlwanger）、阿什洛克（Ashlock）、金斯伯格（Ginsburg）等人經(jīng)過對數(shù)學錯誤的系統(tǒng)研究，認為錯誤是合理的，不是偶然的，是有規(guī)律可循的。并且從學習者身上觀察到的一系列錯誤表明，錯誤不是教師教給的，而是學習者構(gòu)造了自己特有的概念與程式造成的。[10]因此他們更強調(diào)數(shù)學錯誤的合理性。學生學習的過程也是一個不斷犯錯的過程，錯誤是學生學習過程中必不可少的組成部分。美國學者拉菲拉（Rafflella）提出將學生的數(shù)學錯誤資源作為教學探究的一個出發(fā)點，主張利用學生的數(shù)學錯誤來支持并指導學生的數(shù)學探究活動。[11]

貝爾（Behr）、哈雷爾（Harel）、萊什（Lesh）、基倫（Kieren）等研究發(fā)現(xiàn)，當概念尚未完全開發(fā)時，學生會在解決比例問題時遇到困難和系統(tǒng)性錯誤。例如問題：“制作一杯橙汁需要2個橙子5份水，現(xiàn)在有10個橙子，要制作味道一樣的橙汁，需要多少水？”學生會認為現(xiàn)在比原來多了“[10-2=8]”個橙子，所以還需要8份水，因此需要“[5+8=13]”份水。這種便屬于錯誤的加法解題策略。相反，人們也常常認為，以比例為特征的數(shù)學情境具有相當簡單的結(jié)構(gòu)，當概念被開發(fā)時，它往往會受到越來越明顯甚至直觀的特征的影響。原因是從很小的時候開始，兒童便有頻繁的課外經(jīng)歷并與比例問題相關(guān)聯(lián)，例如，買一顆糖果2塊錢，兩顆糖果4元錢;一輛玩具車有4個輪子，兩輛玩具車有8個輪子……這些成功的推理經(jīng)驗不僅成為正式的比例概念學習的基礎(chǔ)，也使比例推理的模型根深蒂固。

許多五至八年級的學生錯誤地認為，如果一個正方形邊長擴大2倍，即周長擴大2倍，那么它的面積和體積也會擴大2倍。也就是說，學生對比例概念的熟悉程度與經(jīng)驗可能導致他們在其他更多方面的應用，甚至是不適用的情況，從而產(chǎn)生錯誤。布朗農(nóng)（Brannon）、麥克林克和永利（McCrink & Wynn）等學者研究發(fā)現(xiàn)，學齡前甚至更小的兒童已經(jīng)具備了直覺性的乘法思維，但是小學低年級的數(shù)學教學過度地訓練了加法思維，因此隨著知識學習的不斷深入與擴展，一些方法已經(jīng)不適用于某些新的問題，但是學生依然憑借直覺來選擇原來的解題策略。

學生在解決比例問題時總會出現(xiàn)各種錯誤，原因多種。美國學者康弗里（Confrey）認為，學生在數(shù)學問題解決中的知識建構(gòu)，體現(xiàn)在他們掌握問題情境的基礎(chǔ)上運用策略的過程中。中高年級的學生解決問題時，第一步是讀懂題意。比如“相遇問題”“追擊問題”中，理解題意也是學生厘清“速度”“時間”“路程”之間關(guān)系的關(guān)鍵。

蒂羅什與斯塔維認為，學生在許多不相關(guān)但具有一些共同的外部特征的概念上反應類似。[12]學生出錯的原因主要是對概念的誤解，反映在解題過程中往往不能深入理解數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，而是憑借直觀上的特征得出結(jié)論。皮亞杰的經(jīng)典實驗研究了4到9歲的兒童對小火車運動事件的判斷，發(fā)現(xiàn)兒童認為速度快的火車運動時間更長。與皮亞杰實驗類似，哈卡姆阿哈隆（Hakham-Aharon）對從學齡前到六年級的學生進行的火車運動測試中，學齡前到四年級的大部分學生和五到六年級的37%的學生都認為速度快的火車，跑的路程更長。[13]這些學生的回答都沒有考慮運動“時間”，而由直觀感受“更快”所以“更遠”直接得出結(jié)果。學生對“速度”概念的理解往往可以直接聯(lián)系到“路程”，而忽略“時間”。萊文（Levin）要求學前兒童判斷兩個大小不一樣的燈管的照明時間哪個更長時（照明時間一樣），大部分兒童認為大的燈管照明時間更長。說明學生在做判斷時，往往容易考慮顯而易見但其實并不相關(guān)的因素，忽略概念的內(nèi)在關(guān)系。比如，比較兩個物體速度時，認為跑在前面的物體速度更快。數(shù)學概念是數(shù)學學習的一種基本形式，概念理解的好壞在很大程度上影響著數(shù)學學習。

魯汶大學教學心理學與技術(shù)中心（ Centre for Instructional Psychology and Technology， University of Leuven）的研究者維姆·范·沃倫等人（ Wim Van Dooren、Dirk De Bock、Marleen Evers and Lieven Verschaffel）對508名小學中高年級的學生進行了測試，發(fā)現(xiàn)學生解決比例或非比例問題時，題目中成比例結(jié)構(gòu)的數(shù)字會影響學生解題的策略，從而產(chǎn)生正誤不同的結(jié)果。研究表明，對于比例問題，非整數(shù)比會增加非比例推理的使用;對于非比例問題，非整數(shù)比可以減少比例推理的過度使用;只有在加性非比例問題的情況下，這種減少伴隨著正確答案的增加。[14]維姆·范·沃倫等人調(diào)查了比例推理誤用隨著年齡和學生教育經(jīng)歷的發(fā)展而變化的情況，對1062名二至八年級學生進行了紙筆測驗，包括幾種具有缺失值結(jié)構(gòu)的比例和非比例算術(shù)題。[15]結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學生傾向于在非比例問題中運用比例性推理解題。

以上研究從比例的不同方面出發(fā)開展學生錯誤的研究。其中包括依據(jù)兒童解決比例問題時所采用的策略;從發(fā)展的角度刻畫不同年齡兒童比例概念和比例推理的發(fā)展梯度;從數(shù)學概念的歷史發(fā)展與個體認知發(fā)展的角度論述不同類型比例計算策略的出現(xiàn)階段;從問題解決的各種影響因素出發(fā)探討兒童比例問題解決的效果;等等。

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（首都師范大學初等教育學院 ? 100048）