一類(lèi)靜電勢(shì)方程的后驗(yàn)誤差上界估計(jì)

房明娟， 陽(yáng) 鶯

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

Poisson-Nernst-Planck (PNP)方程是由Poisson方程和Nernst-Planck (NP)方程耦合而成的一類(lèi)重要的非線性偏微分方程系統(tǒng)，常用來(lái)描述電擴(kuò)散模型。該模型在半導(dǎo)體、電化學(xué)系統(tǒng)和生物膜通道等方面起著至關(guān)重要的作用。

由于PNP方程的耦合性和非線性，該方程的求解較為困難，且只有在極少情況下有解析解。早期的研究者提出了一系列求解PNP方程的方法，包括有限元方法、有限差分方法、邊界有限元方法、有限體積方法等。有限元方法因適用于處理不規(guī)則幾何形狀和復(fù)雜邊界問(wèn)題而被廣泛應(yīng)用，在求解某些生物分子系統(tǒng)PNP方程取得了很好的效果。但是有限元計(jì)算的主要難點(diǎn)之一是實(shí)際問(wèn)題的分子電荷很多，使得PNP方程具有強(qiáng)奇性，從而使經(jīng)典的有限元方法無(wú)法有效應(yīng)用于實(shí)際計(jì)算，而自適應(yīng)有限元方法是當(dāng)前廣泛使用的解決奇性問(wèn)題的最有效的方法之一。

近年來(lái)，自適應(yīng)有限元方法得到了極大的發(fā)展[1]，利用自適應(yīng)有限元方法可以在很大程度上提高計(jì)算性能。自適應(yīng)有限元方法通過(guò)計(jì)算每個(gè)單元上的后驗(yàn)誤差估計(jì)子獲得每個(gè)單元的誤差范圍，從而對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行局部加密和放粗，提高計(jì)算效率，因此其在科學(xué)和工程計(jì)算中有著十分重要的應(yīng)用價(jià)值。

后驗(yàn)誤差估計(jì)作為自適應(yīng)有限元計(jì)算的核心步驟，通常被作為自適應(yīng)有限元方法中網(wǎng)格加密或放粗的指示子，后驗(yàn)誤差估計(jì)的方法可以為自適應(yīng)有限元方法的網(wǎng)格加密提供一個(gè)有效的加密策略。后驗(yàn)誤差估計(jì)子包括多種類(lèi)型，通過(guò)計(jì)算局部區(qū)域殘量得出誤差估計(jì)的方法稱(chēng)為殘量型后驗(yàn)誤差估計(jì)[2]。Babuska等[3]于1986年最早提出了殘差法。Zienkiewicz等[4]在1987年提出了基于后處理技術(shù)的后驗(yàn)誤差法，由于其計(jì)算簡(jiǎn)單，易于理解，因而受到研究者的極大關(guān)注。如文獻(xiàn)[5]在不規(guī)則網(wǎng)格中研究了一類(lèi)Poisson方程有限元逼近的梯度恢復(fù)型后驗(yàn)誤差估計(jì)。文獻(xiàn)[6]研究了非協(xié)調(diào)有限元逼近的梯度恢復(fù)型后驗(yàn)誤差估計(jì)。為此，利用梯度恢復(fù)算子，采用后處理方法，對(duì)PNP方程中的靜電勢(shì)進(jìn)行后驗(yàn)誤差上界估計(jì)。

1 預(yù)備知識(shí)

其中，1≤p≤∞。Lp(Ω)空間的范數(shù)為

當(dāng)p=2時(shí)，L2(Ω)為偏微分方程中一重要空間，該空間內(nèi)積為

?u,v∈L2(Ω)。

定義廣義導(dǎo)數(shù)Dαv為

Sobolev空間Wm,p(Ω)為

Wm,p(Ω)={v:Dαv∈Lp(Ω),|α|≤m},

范數(shù)為：

半范數(shù)為：

考慮如下穩(wěn)態(tài)PNP方程：

(1)

(2)

(φ,?

(3)

(4)

(φh,?

(5)

2 上界估計(jì)

為了方便證明，令Th={τ}為Ω上進(jìn)行的均勻的三角剖分的網(wǎng)格，且網(wǎng)格大小h>0，hτ為單元τ的直徑，hl為三角形單元落在邊界?Ω上的邊長(zhǎng)度，?2Th為網(wǎng)格上所有節(jié)點(diǎn)的集合，Λ=?2Th?Ω，φz為Sh中節(jié)點(diǎn)z∈?2Th處的基函數(shù)，則對(duì)任意的z∈?2Th，l∈?Th,τ∈Th，有

?v∈L2(Ω)，

Ghv=Πh(v), ?

引理2[9-10](Poincare不等式) 設(shè)Ω為邊界?Ω上Lipschitz連續(xù)的有界區(qū)域，則存在正常數(shù)C，使得

‖u‖0,p,Ω≤C‖u‖0,p,Ω+

‖u‖0,p,Ω≤C‖u‖0,p,Ω，?u∈W1,p(Ω)，

‖

其中，

(6)

根據(jù)方程(5)可得

(7)

(Ghφh,-(πhw-w))=

(8)

將式(8)代入式(7)，并應(yīng)用引理1可得

div(Ghφh)‖0,τhτ+‖φh-Ghφh‖0,τ)‖w‖1,wτ+

令w=φ-φh，應(yīng)用Poincare不等式，可得到定理1的結(jié)論。證畢。

利用定理1的后驗(yàn)誤差估計(jì)子，可設(shè)計(jì)出PNP方程的一類(lèi)自適應(yīng)有限元算法。

1)有限元計(jì)算。在初始網(wǎng)格T0上進(jìn)行有限元計(jì)算，得到有限元解φh。

2)誤差估計(jì)。在每個(gè)單元τ∈T0上計(jì)算后驗(yàn)誤差估計(jì)子ητ。

算法1通常取θ=1/2，δ為給定的精度。應(yīng)用算法1，根據(jù)所證得的有效的后驗(yàn)誤差估計(jì)子，便可得到更為精確的解。

3 結(jié)束語(yǔ)

利用梯度恢復(fù)型方法，給出了PNP方程中靜電勢(shì)方程的后驗(yàn)誤差上界估計(jì)，構(gòu)造了靜電勢(shì)方程的后驗(yàn)誤差估計(jì)子，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的自適應(yīng)有限元算法。而對(duì)于基于梯度恢復(fù)型后驗(yàn)誤差估計(jì)子設(shè)計(jì)的自適應(yīng)有限元算法，后續(xù)工作將通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證其有效性。