基于Lorenz映射和Logistic映射的圖像分塊加密算法

陳 軍， 張向利， 張紅梅

(桂林電子科技大學(xué) 認(rèn)知無線電與信息處理省部共建教育部重點實驗室，廣西 桂林 541004)

隨著網(wǎng)絡(luò)和數(shù)字多媒體技術(shù)的飛速發(fā)展，人們的生活方式有了很大變化。數(shù)字圖像能形象地表達(dá)人們的所思所想，因此數(shù)字圖像成為了人們進(jìn)行日常溝通交流的主要方式之一。由于網(wǎng)絡(luò)開放共享的特點，數(shù)字圖像在存儲和傳輸中很容易受到人為攻擊，而圖像加密就是保障圖像信息安全的主要方式。

圖像具有數(shù)據(jù)量大、相關(guān)性強(qiáng)、冗余度高、能量分布分散等特性。隨著計算機(jī)容量和存儲的不斷升級以及密碼分析的發(fā)展進(jìn)步，一些傳統(tǒng)加密算法的缺點開始逐漸顯現(xiàn)出來[1]。傳統(tǒng)的加密算法若用于圖像加密，會導(dǎo)致計算量大，效率低下，很難保證實時性的需求。混沌系統(tǒng)具有的偽隨機(jī)性、初值敏感性和遍歷性等動力學(xué)特性使得混沌十分適合運用到圖像加密之中。近年來，有很多混沌映射用于圖像加密的算法產(chǎn)生。文獻(xiàn)[2]提出了一種利用分段非線性Logistic構(gòu)造灰度置亂對圖像進(jìn)行加密的算法，該算法較傳統(tǒng)算法運算速度更快，但安全性不足。文獻(xiàn)[3]設(shè)計了一種采用高維混沌映射來進(jìn)行位置置亂的圖像加密算法，該算法有著較強(qiáng)的密鑰敏感度和較大的密鑰空間，但該算法未改變圖像像素灰度值，無法抵御差分攻擊。

隨著研究的不斷深入，逐漸出現(xiàn)了一些性能較好的圖像加密算法。趙玉青[4]設(shè)計了一種基于改進(jìn)的Chen超混沌系統(tǒng)的圖像加密算法，該算法引入時間延遲用以改善混沌序列，其次用改善后的超混沌序列對圖像進(jìn)行置亂，以達(dá)到加密圖像的目的。該算法密鑰空間大、敏感性高，但加密過程比較繁瑣。房東鑫等[5]提出了一種基于廣義Arnold映射和DNA編碼的圖像加密算法，該算法采用Arnold映射對圖像進(jìn)行置亂，利用DNA編碼堿基對互補(bǔ)替換進(jìn)行圖像像素灰度值擴(kuò)散得到加密圖像。但低維混沌映射存在周期窗口問題，給加密安全性帶來了隱患。徐亞等[6]設(shè)計了一種基于Arnold映射的分塊擴(kuò)散圖像加密算法，該算法采用多種一維混沌映射的組合生成混沌序列，定義與明文等大小的矩陣進(jìn)行分塊并記錄操作，同時進(jìn)行塊內(nèi)和塊間的擴(kuò)散。該算法敏感性高，加密效果良好，但算法復(fù)雜度較高，加密速度較慢。

既要避免低維混沌映射存在周期性窗口和安全性較低的問題，又要保證一定的加密效率。為此，研究了一種基于三維Lorenz映射和Logistic映射的圖像分塊加密算法。在傳統(tǒng)以置亂擴(kuò)散為主體的加密算法的基礎(chǔ)上，優(yōu)化改進(jìn)了具體細(xì)節(jié)操作。首先，對明文圖像進(jìn)行置亂操作；其次，對置亂后的圖像進(jìn)行分塊，然后依次對圖像進(jìn)行塊內(nèi)擴(kuò)散操作和塊間擴(kuò)散操作，最終得到加密后的密文圖像。為了有效地抵御選擇明文攻擊，利用明文圖像的哈希值對混沌映射的初值和參數(shù)進(jìn)行處理，使得每次加密時的初值和參數(shù)隨明文自動發(fā)生變化。

1 算法基礎(chǔ)

1.1 Lorenz 混沌映射

Lorenz映射是三維連續(xù)混沌映射，其數(shù)學(xué)表達(dá)式的描述形式是微分方程。它是氣象學(xué)家Lorenz在1963年研究氣象學(xué)時發(fā)現(xiàn)的，其映射表達(dá)式如式(1)所示：

(1)

其中，σ、r、c為Lorenz映射的控制參數(shù)，一般取值為σ=10，r=28，c=8/3。在σ，c不改變的條件下，當(dāng)r>24.74時，Lorenz映射開始進(jìn)入混沌狀態(tài)。

1.2 Logistic 混沌映射

Logistic映射是美國數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家R.May于1976年提出的。由于是研究昆蟲群體繁殖規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，因此又被稱為“蟲口模型”[7]。Logistic映射最初用來研究昆蟲的個體數(shù)量和環(huán)境間關(guān)系。它的形式雖然簡單，卻蘊(yùn)含著復(fù)雜的動力學(xué)行為。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

xn+1=μxn(1-xn)。

(2)

其中：xn∈(0,1);n=0,1,,n;μ∈(0,4],μ為系統(tǒng)的控制參數(shù)，當(dāng)μ取不同值時,式(2)會顯現(xiàn)出不同的狀態(tài)，當(dāng)3.569 945 6≤μ≤4時，系統(tǒng)開始進(jìn)入混沌狀態(tài)。

2 加密算法設(shè)計

2.1 密鑰的生成

采用了一種利用明文圖像的哈希值對混沌映射的初值和參數(shù)進(jìn)行處理得到加密密鑰的方法，使得每次加密時的密鑰可自動發(fā)生變化。

哈希函數(shù)可以將任意長度的數(shù)據(jù)映射到固定長度的域上，即輸入可變長，輸出為固定長。在密碼學(xué)中，哈希函數(shù)早已有廣泛應(yīng)用，經(jīng)典的哈希算法有SHA-2、MD5等。兩幅圖像即使只有一個比特不同，它們的哈希值也完全不同[8]。

圖像加密之前首先選取哈希算法，選擇SHA-2算法，計算明文圖像的哈希值Pv,Pv的長度為256位，將它劃分為8組，每組包括8個16進(jìn)制數(shù)，即pk1pk2pk7pk8,k=1,2,,8。對于每一組而言，采用式(3)將其變換為10進(jìn)制浮點數(shù)dk，dk∈(0,0.1)。

dk=hex2dec(pk1pk2pk7pk8)×10-12

(3)

(4)

(5)

通過以上方式，確保密鑰的生成依賴于明文，每次加密時密鑰能夠自動發(fā)生變化，而無需修改初始值[8]。

2.2 加密算法流程

加密算法流程圖如圖1所示，算法主要包括混沌序列的產(chǎn)生，圖像的置亂、分塊和擴(kuò)散等步驟。首先，通過密鑰的生成方法對Logistic映射和Lorenz映射的初始值和參數(shù)進(jìn)行處理得到密鑰。采用Logistic映射對明文圖像進(jìn)行位置置亂，其次對置亂后的圖像進(jìn)行分塊，然后利用Lorenz混沌映射生成的序列對分塊后的圖像分別進(jìn)行塊內(nèi)擴(kuò)散和塊間擴(kuò)散操作，使每個像素盡可能多地分散到整幅圖像中，完成加密過程。

圖1 加密流程圖

加密的主要步驟：

1)讀取一幅大小為M×N的灰度圖像I，采用Logistic映射生成一組混沌序列，去掉前δ1，得到長度為MN序列X(k)，將序列X(k)按式(6)處理得到新的序列X(k)，其中floor函數(shù)是向下取整函數(shù)，使用新的序列X(k)對圖像進(jìn)行像素點的置亂得到置亂后的圖像I1。

floor(x(i)×1010)modMN。

(6)

2)對圖像I1進(jìn)行分塊，劃分成大小為t×t的子塊(t是M、N的公約數(shù))。

ci(x′,y′)=

(7)

⊕S(k)。

(8)

2.3 解密過程

解密過程和加密過程正好相反，是加密過程的逆操作，主要步驟如下：

(9)

ci(x,y)=

(10)

3)進(jìn)行逆置亂操作，即得到最后的明文圖像。

3 實驗結(jié)果

實驗仿真軟件選擇的是MATLAB R2014a，圖像則選取了大小為256×256的灰度圖像Lena和Baboon。加密的初始密鑰為Lorenz映射和Logistic映射的初始值和參數(shù)，其中σ=10,r=28,c=8/3,x0=1.000 1,y0=1.300 2,z0=1.200 3,x1=0.256 7,μ=3.816 2,δ1=δ2=δ3=200。原圖像和加密圖像如圖2所示。觀察密文圖像，從圖像中看不出原始圖像的信息，表示該算法加密效果良好，達(dá)到了隱藏原始圖像信息的目的。

4 安全性分析

4.1 密鑰空間分析

密鑰空間指的是密鑰的取值范圍。為了確保圖像加密算法的安全性，密鑰空間應(yīng)該大到能夠防止窮舉等暴力攻擊。Alvarez等[9]建議，加密系統(tǒng)的密鑰空間至少達(dá)到2100，才算是足夠安全。在一定程度上，密鑰空間越大越好。

加密算法實際用到的初始密鑰主要來自Lorenz映射和Logistic映射的初始值和參數(shù)，主要包括：x0,y0,z0,x1,μ，由于這些值都是雙精度實數(shù)，最大精度可取到10-15，因為Logistic映射的參數(shù)值μ∈(3.6,4]，故Logistic映射參數(shù)值的密鑰空間為0.5×1015，加密算法總的密鑰空間為：0.5×1015×1015×1015×1015×1015≈5×1074?2100，因此，該加密算法的密鑰空間比較大，足夠抵御窮舉等暴力攻擊。除此之外，圖像的置亂次數(shù)，圖像分塊的分塊大小，塊內(nèi)擴(kuò)散次數(shù)和塊間擴(kuò)散次數(shù)等等都是密鑰的一部分，此處并未列入。

4.2 密鑰敏感性分析

好的圖像加密算法應(yīng)對密鑰的變化足夠敏感，即使密鑰發(fā)生很小的改變，也無法正確地還原出原始明文圖像。如圖3所示，以Lena灰度圖像為例，圖3(a)是使用原始密鑰進(jìn)行解密得到的圖像，即正確解密恢復(fù)的原始明文圖像。圖3(b)、(c)是Logistic映射的初始值和參數(shù)改變量=10-15時進(jìn)行解密得到的圖像，與原始明文圖像完全不同。從圖3可看出，當(dāng)密鑰的改變量只有=10-15時，圖像依然無法正確地完成解密?？梢娂词姑荑€只有微小的變動，解密后的圖像與原圖像卻千差萬別，表明該算法有較好的密鑰敏感性。

圖2 明文圖像和密文圖像

4.3 直方圖分析

圖像灰度直方圖是圖像中像素的分布密度圖，是圖像最基本的統(tǒng)計特征，可以依據(jù)密文圖像的直方圖來衡量圖像加密算法的性能，一個均勻、平滑的直方圖可以抵御直方圖的統(tǒng)計攻擊。以Lena圖像為例，圖像加密前后的直方圖如圖4所示。通過觀察加密前后的灰度直方圖能夠發(fā)現(xiàn)，原始明文圖像中，許多像素點的灰度值集中在少數(shù)幾個灰度值附近，而加密后的灰度直方圖顯示，像素灰度值分布相對均勻，無明顯突出灰度值的存在。這表示該加密算法加密效果較好，很難依靠直方圖攻擊來完成破解。

4.4 相關(guān)性分析

相鄰像素的相關(guān)性描述的是圖像相鄰像素灰度值的關(guān)聯(lián)程度，相關(guān)系數(shù)值越小，則表示相鄰像素越?jīng)]有關(guān)系，相關(guān)系數(shù)值越小，越能抵御統(tǒng)計分析攻擊，越能擁有好的加密效果。在正常情況下，依照圖像信息的特點，原始明文圖像相鄰像素間的關(guān)聯(lián)性很強(qiáng)，而有效的圖像加密算法應(yīng)該設(shè)法削弱原始待加密圖像中相鄰像素間的相關(guān)性。相關(guān)系數(shù)的公式如下：

(11)

(12)

(13)

(14)

其中:x,y為像素的灰度值;rxy為相關(guān)系數(shù)；cov(x,y)為協(xié)方差；E(x)為均值；D(x)為方差。通常密文圖像的相鄰像素的相關(guān)系數(shù)值越接近于0，加密效果越好。以Lena圖像為例，隨機(jī)選取原始明文圖像和加密后密文圖像中各2 000對相鄰像素，計算其水平、豎直和對角3個方向的相鄰像素值，結(jié)果如表1所示。

表1 明文圖像和密文圖像的相關(guān)系數(shù)

從表1可見，明文圖像的相關(guān)系數(shù)非常大，趨近于1，而密文圖像中相鄰像素間的相關(guān)系數(shù)已經(jīng)趨近于0。與所列的文獻(xiàn)相比，比文獻(xiàn)[12]、[13]效果要好，與文獻(xiàn)[11]效果相當(dāng)，達(dá)到了不錯的加密效果。

4.5 信息熵分析

信息熵可以衡量圖像灰度值的分布信息，其值越大，圖像的隨機(jī)性越好。對于密文圖像而言，信息熵越大，隨機(jī)性越好，加密效果越好。設(shè)信息源為m，則信息熵為

(15)

其中p(mi)為信息m出現(xiàn)的概率。對于256灰度級的密文圖像，其信息熵的值越接近8，則表示圖像的加密效果越好。分別計算Lena圖像和Baboon圖像的信息熵，結(jié)果如表2所示。從表2可看出，加密后圖像的信息熵已經(jīng)接近于8，比所列文獻(xiàn)的效果要好。

表2 密文圖像的信息熵

5 結(jié)束語

為了解決低維混沌映射密鑰空間小，安全性能不高的問題。提出了一種基于Lorenz映射和Logistic映射的圖像分塊加密算法。首先，采用Logistic映射對明文圖像進(jìn)行置亂操作；其次，對置亂后的圖像采取分塊處理，接著根據(jù)Lorenz映射生成的混沌序列分別對圖像進(jìn)行塊內(nèi)擴(kuò)散操作和塊間擴(kuò)散操作，最終得到加密后的密文圖像。仿真實驗結(jié)果表明：該算法密鑰空間大，密鑰敏感性強(qiáng)；密文圖像灰度直方圖分布均勻，相鄰像素的相關(guān)性弱，具有較好的加密性能。