三條線段間數(shù)量關(guān)系的方法探討

吳慧琳

(江蘇省揚(yáng)州市竹西中學(xué) 225000)

三條線段間數(shù)量關(guān)系的探討是猜想證明題型的應(yīng)用典范.一般無法通過一次性的操作解決，而要通過巧妙的方法加以轉(zhuǎn)化.學(xué)生解決此類題型時，常找不到突破口，教師講解時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析探討的過程，使學(xué)生不僅知其然，還要能知所以然，以達(dá)到“授之以漁”的目的.下面結(jié)合具體事例談?wù)勅龡l線段間的數(shù)量關(guān)系探討的研究方法和途徑.

一、等積法得數(shù)量關(guān)系

例1在△ABC中，AB=AC，P底邊BC上一點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F.探索PD、PE、CF三者的數(shù)量關(guān)系.

解連接AP.∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，

∵AB=AC，

∴PD+PE=CF.

二、相似法得數(shù)量關(guān)系

證明∵EF∥BD,

∴△AEF∽△ADB,

三、旋轉(zhuǎn)法得數(shù)量關(guān)系

例3如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合，點E不與點C重合)，在旋轉(zhuǎn)過程中，探索BD、CE、DE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．

解將△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABH的位置，則CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°,旋轉(zhuǎn)角∠EAH=90°.連接HD，在△EAD和△HAD中,∵AE=AH,∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD,AD=AD，∴△EAD≌△HAD，∴DH=DE.又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，∴BD2+HB2=DH2,即BD2+CE2=DE2.

四、補(bǔ)短法得數(shù)量關(guān)系

例4如圖,正方形ABCD中,∠EDF=45°，且∠EDF的兩邊分別與AB，BC交于E，F(xiàn). 試探究AE，EF，CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

解EF=AE+FC.理由：如圖所示：延長BA至G，使AG=CF，連接DG.

∵在△ADG和△CDF中，AD=CD∠DAG=∠C=90°,AG=CF,∴△ADG≌△CDF(SAS)，

∴DG=DF，∠ADG=∠CDF.又∵∠EDF=45°,∠ADC=90°，∴∠DAE+∠CDF=∠ADG+∠DAE=∠GDE=45°,∴∠GDE=∠EDF.在△DGE和△DFE中，DG=DF，∠GDE=∠EDF，DE=DE，∴△DGE≌△DFE(SAS)，∴GE=EF.又∵AG=CF，∴EF=AE+FC.

五、截長法得數(shù)量關(guān)系

例5已知：如圖，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求證：AB=AC+CD.

證明在AB上取AE=AC，連接DE，∵AE=AC，∠1=∠2，且AD=AD，∴△ACD≌△AED(SAS)，∴ED=CD，∠AED=∠C=2∠B，又∵∠AED=∠B+∠BDE，∴∠B=∠BDE，∴EB=ED，即△BED為等腰三角形.∴BE=ED=CD，∴AB=AE+EB=AC+CD.

六、構(gòu)造法得數(shù)量關(guān)系

證明當(dāng)0

∵∠ECG=45°，∴∠EHG=45°，∴∠EHG=∠FCG.

在△EGH和△FGC中，∠EGH=∠FGC，BE=FG，∠CHG=∠GCF，∴△EGH≌△FGC.∴EH=FC.

本題也可進(jìn)行拓展：當(dāng)t≥4時，CE、CF、CG的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由.

通過上述的幾種方法可知，探討三條線段間的數(shù)量關(guān)系，需認(rèn)真分析題目中的已知條件，巧添、巧截、巧補(bǔ)、巧轉(zhuǎn)，尋求解決問題的最佳途徑，掌握住方法，就能做到會一題，通一類，知一片，使得復(fù)習(xí)效果事半功倍.