用轉(zhuǎn)化思想求值研究與應(yīng)用

葛旭輝

(甘肅省平?jīng)鍪械谒闹袑W(xué) 744000)

一、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

數(shù)缺形少直觀，形離數(shù)難入微(著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授語(yǔ)).根據(jù)所解問(wèn)題需要，可把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問(wèn)題去討論，或者把圖形性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問(wèn)題來(lái)研究，這樣既直觀又深刻.

在二次函數(shù)y=ax2+bx+c的教學(xué)中如何讓學(xué)生在“形”上理解相關(guān)知識(shí)如“a、b、c”的正負(fù)性以及“Δ”符號(hào)的幾何意義、還有“y=0”，“y>0或y<0”時(shí)x的解等都離不開教學(xué)中直角坐標(biāo)系圖形的展示.可見，“數(shù)”與“形”的結(jié)合不僅揭示了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，也充分展示了知識(shí)之間相互溝通的內(nèi)在規(guī)律性.

例2 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象(見圖2)，則下列代數(shù)式ab、ac、a+b+c、a-b+c、2a+b、2a-b中，其值為正的式子的個(gè)數(shù)為( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

解答分析時(shí)只須緊扣“形”中數(shù)的揭示，即函數(shù)y在x取特定值0、1、-1等情形下判斷出幾個(gè)較難的式子的值的正負(fù)性.這種以“形”為手段，以“數(shù)”為目的的方法無(wú)時(shí)不在函數(shù)教學(xué)中起著重要的作用.選B.

二、條件的轉(zhuǎn)化

例3a、b為實(shí)數(shù)，滿足a2+b2+ab=1,ab-a2-b2=t,試求t的取值范圍.

例4 求使|8x2+18x-45|為質(zhì)數(shù)的整數(shù)x的和.

晚唐人古詩(shī)，秾鮮柔媚，近詩(shī)馀矣。即義山七古，亦以辭勝。獨(dú)此篇，意則正正堂堂，辭則鷹揚(yáng)風(fēng)翙，在爾時(shí)如景星慶云，偶然一見。(280)

例5 ①已知a是實(shí)數(shù)，且使a3+3a2+3a-2=0,求(a+1)1996+(a+1)1997+(a+1)1998的值.

解∵a3+3a2+3a+2=0,∴(a+1)3+1=0,即(a+1)=-1,原式=(-1)1996+(-1)1997+(-1)1998=1-1+1=1.

解由a、b、c均不為0，知b+c,c+a,a+b也均不為0.又a+b+c=0，所以a、b、c中不能全同號(hào)，故必有一正二負(fù)或一負(fù)二正.

說(shuō)明由已知式通過(guò)變形轉(zhuǎn)化得出未知式的值或含有待求式的代數(shù)式然后再代入求值，必須注意待求式與已知式之間的結(jié)構(gòu)特征.

三、動(dòng)態(tài)與靜態(tài)的轉(zhuǎn)化

動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、動(dòng)直線與定直線等等，都有動(dòng)態(tài)和靜態(tài)的特征，從靜態(tài)中探求結(jié)論，為動(dòng)態(tài)情形提供證明或計(jì)算的目標(biāo)，促使矛盾轉(zhuǎn)化，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

例6 一游泳者沿河逆游而上，于A處將攜帶的物品(可漂浮)遺失，在繼續(xù)前游30分鐘后發(fā)現(xiàn)物品遺失，即刻返回順游，距A處3千米的B處追到物品，問(wèn)此河水流速多少？

不妨先假設(shè)人在靜水里游泳，30分鐘后發(fā)現(xiàn)物品遺失，即刻返回追取，物品應(yīng)在A處，而人回游也需30分鐘，來(lái)回共用了1小時(shí).

再考慮運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由于物品是漂浮的，它順?biāo)?，移?dòng)了3km，這段距離是在人來(lái)回共用去1小時(shí)內(nèi)完成的，故河水的流速為3km/h.答：略.

四、一般與特殊的轉(zhuǎn)化

由于特殊問(wèn)題常常比較簡(jiǎn)單，并且特殊問(wèn)題的解法孕育著一般問(wèn)題的解決.因此，特殊化是一種常用的解題思想方法.

分析Pi是不確定的點(diǎn)，是否對(duì)每個(gè)i來(lái)說(shuō)，mi的值都確定？不妨用特殊點(diǎn)作探索，當(dāng)Pi為點(diǎn)B或C時(shí)，mi=4；當(dāng)Pi為BC中點(diǎn)時(shí)，mi=4,故可作這樣的猜想：對(duì)BC邊上的任一點(diǎn)Pi均有mi=4，然后設(shè)法證明或推翻這個(gè)猜想.

五、數(shù)據(jù)處理的轉(zhuǎn)化

例8 甲、乙兩同學(xué)做“投球進(jìn)筐”游戲，商定：每人玩5局，每局在指定線外將一個(gè)皮球投往筐中，一次未進(jìn)可再投第二次，以此類推，但最多只能投6次.當(dāng)投進(jìn)時(shí)，該局結(jié)束，并記下投球次數(shù)，當(dāng)6次都未投進(jìn)時(shí)，該局也結(jié)束，并記為“×”.兩人五局投球情況如下：

第一局第二局第三局第四局第五局甲5次×4次×1次乙×2次4次2次×

第一局第二局第三局第四局第五局甲得分乙得分

(1)為了計(jì)算得分，雙方約定，記“×”的該局得0分，其它局得分的計(jì)算方法要滿足兩個(gè)條件：

①投球次數(shù)越多，得分越低；

②得分為正數(shù)，請(qǐng)你按約定的要求，用公式、表格、語(yǔ)言敘述等方式，選取其中一種，寫出一個(gè)將其他局的投球次數(shù)n換算成得分M的具體方案.

(2)請(qǐng)根據(jù)上述約定和你寫出的方案，將甲乙兩人的每局得分，填入牌上的表格中，并從平均分的角度來(lái)判斷誰(shuí)投得更好.

解析這類題目看似十分復(fù)雜，不易得分.但只要理解其意義，抓住本質(zhì)問(wèn)題，進(jìn)行科學(xué)的、合理的方案設(shè)計(jì)，問(wèn)題是不難的.值得注意的是本例較一般新題更具有創(chuàng)新性和開放性，語(yǔ)言表達(dá)更要準(zhǔn)確.