關注分組分配，處理計數(shù)問題

☉安徽省淮南市第十四中學 張忠孝

計數(shù)中的分組分配問題一直是排列組合中的一個重點與難點，是計數(shù)原理中的典型問題之一，也是排列、組合綜合運用的充分體現(xiàn).由于分組分配問題的種類繁多、條件各異，涉及完全非均勻分組、整體均勻分組、部分均勻分組以及編號分組等情況，同時又涉及分組后的元素是否有序等問題，因此在解答實際問題時非常容易混淆，導致錯誤.

一、完全非均勻分組

所謂“完全非均勻分組”，就是將問題中的所有元素分成彼此元素個數(shù)互不相等的組.解決此類問題時只需直接分組即可達到目的.

例17人參加志愿者活動，按下列不同方法分組各有多少種不同的分法？

（1）分成3組，各組人數(shù)分別為1人、2人、4人；

（2）選出5個人分成2組，其中一組2人，另一組3人.

解析：（1）先從7人中選出1人，有種，再由剩下的6人中選出2人，有種，最后由剩下的4人為一組，有種.

也可“先選后分”：先選出5人，再分為兩組，由分步乘法計數(shù)原理得分組方法共有

點評：解決此類“完全非均勻分組”問題時，由于分組的不等分與組合數(shù)的相乘不產生矛盾，不會出現(xiàn)重復計數(shù)的問題，因此只要分開就可以直接達到完全非均勻分組的目的，無須考慮重復問題.

二、均勻分組

所謂“均勻分組”，就是將問題中的所有元素分成所有組元素個數(shù)相等或部分組元素個數(shù)相等的組.解決此類問題時要先分組，再除以Amm或m?。╩為均勻分組的組數(shù)）.特別注意，在均勻分組的過程中，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就在確定的計數(shù)的基礎上再除以幾個這樣的全排列數(shù).

1.整體均勻分組

例2將9名大學生志愿者安排在星期五、星期六、星期日3天參加社區(qū)公益活動，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有______種.（用數(shù)字作答）

解析：先選出3人，有種，再由剩下的6人中選出3人，有種，最后由剩下的3人為一組，有種.

點評：對于“整體均勻分組”問題，解題過程中要注意均勻分組后，不管元素之間的順序如何，都只能看作一種情況，因而整體均勻分組后一定要除以均勻分組的組數(shù)所對應的全排列數(shù)Amm或m！（m為均勻分組的組數(shù)），避免產生重復計數(shù)的情況.

2.部分均勻分組

例3 10個人參加義務勞動，分成4組，各組分別為2人、2人、2人、4人，則不同的分組方案共有______種.（用數(shù)字作答）

解析：由于分成2人、2人、2人、4人的四個組對應的種數(shù)分別為，由分步乘法計數(shù)原理以及只能算一種不同的分組方法，可得不同的分組方3150（種），故填3150.

點評：對于“部分均勻分組”問題，只需考慮由于部分均勻分組中的無序與組合數(shù)相乘中產生的順序而導致的重復問題.在部分均勻分組中，如果有m個分組的元素是均勻的，都有對應的全排列數(shù)或m！種順序不同的排法只能算作一種分法，因而要除以該代數(shù)式.

三、編號分組

所謂“編號分組”是指將所有元素先進行分組，分組之后各組要擔任不同的工作或有不同的分工.解決此類問題時要先進行正確的分組，再乘以組數(shù)的全排列即可.

1.非均勻編號分組

例4若將6名西部地區(qū)的優(yōu)秀大學畢業(yè)生分到3個不同的國家機關實習，一個機關1名，一個機關2名，一個機關3名，則有______種不同的分法.（用數(shù)字作答）

解析：將6名西部地區(qū)的優(yōu)秀大學畢業(yè)生分組，分三步完成：

第1步，在6名西部地區(qū)的優(yōu)秀大學畢業(yè)生中任取1名作為一組，有種取法；

第2步，在余下的5名西部地區(qū)的優(yōu)秀大學畢業(yè)生中任取2名作為一組，有種取法；

再將這3組西部地區(qū)的優(yōu)秀大學畢業(yè)生分配到3個不同的國家機關，有種分法.

點評：對于“非均勻編號分組”問題，由于分組后各組要擔任不同的工作或有不同的分工，先要正確分開即可達到分組的目的，再通過將不編號的組變?yōu)榫幪柕慕M，乘以組數(shù)的全排列即可達到重新分配的目的.

2.部分均勻編號分組

例5 若甲、乙、丙等5名同學分別被保送到北京大學、清華大學、復旦大學三所大學就讀，若要求每所大學至少有一名保送生，則不同的保送方法種數(shù)有（ ）.

A.240 B.180 C.150 D.540

解析：本題可以理解為5個元素分為3組，故有1，1，3或1，2，2兩種分組情況，分組后再確定不同的大學，屬于“部分均勻編號分組”問題.

由題意可知，5名同學可分為1，1，3或1，2，2兩種分組情況，故不同的保送方法種數(shù)有，故選C.

點評：解決此類“部分均勻編號分組”問題時，先要進行正確的分組，特別注意解題過程中重復的次數(shù)是部分均勻分組的階乘數(shù)，即有m組的元素個數(shù)相等，則分組時就應該除以對應的全排列數(shù)Amm或m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組，在確定的計數(shù)的基礎上就要除以幾個這樣的全排列數(shù)；再在正確分組的基礎上進行編號分組.

3.整體均勻編號分組

例6某數(shù)學活動小組由12名同學組成，現(xiàn)將這12名同學平均分成4個小組分別研究4個不同的課題，且每組只研究一個課題，則不同的分組分配方案的種數(shù)為（ ）.

解析：本題可以理解為12個元素平均分為4組，每組3個元素，分組后再確定不同的研究課題，屬于“整體均勻編號分組”問題.

故選C.

點評：解決此類“整體均勻編號分組”問題時，可以直接理解為：12名同學平均分成4個小組后再分配4個不同的課題，實質上就是把12名同學平均分成4個不同的小組即可達到目的，故有）不同的分組分配方案.

對于分組分配問題，抓住以上幾類常見的類型，結合實際問題加以剖析，同時掌握相應的計數(shù)原理與計數(shù)公式，就能順利地解決與之相關的不同類型的分組分配問題.在此基礎上，還可以將一些其他的排列、組合問題轉化為與之對應的分組分配問題來進行分析與求解，真正達到“做一題、通一類、通一片”的最佳效果.