要重視學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)的教學(xué)

黃桂君 王新珍

[摘? 要] 目前學(xué)生在數(shù)學(xué)語言方面存在著敘述不清楚、表達(dá)較隨意、圖形識別有困難等現(xiàn)象，所以要注意引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)口頭表達(dá)，重視指導(dǎo)、訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)書面表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言的綜合應(yīng)用能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)語言;規(guī)范表達(dá);教學(xué)重視

問題的提出

數(shù)學(xué)語言主要有文字語言、符號語言、圖形語言. 數(shù)學(xué)語言很重要，因?yàn)椤皵?shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”“數(shù)學(xué)語言的表達(dá)是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容”[1]. 但教學(xué)中沒有引起足夠重視，導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力弱化.例如：

1. 概念敘述不清楚（數(shù)學(xué)文字語言）

筆者做了一個(gè)簡單的調(diào)查，在2016級高一第一學(xué)期結(jié)束前隨機(jī)抽取了兩個(gè)班——請高一（2）班（51人）學(xué)生說（口答）出初中和高中數(shù)學(xué)函數(shù)的定義，請高一（9）班（49人）學(xué)生寫出初中和高中數(shù)學(xué)函數(shù)的定義，結(jié)果每個(gè)班約有八成的學(xué)生說（寫）不出或說（寫）不完整（特別是高中數(shù)學(xué)函數(shù)定義），但有關(guān)函數(shù)的題目卻照做不誤.

2. 符號表示較隨意（數(shù)學(xué)符號語言）

3. 圖形識別有困難（數(shù)學(xué)圖形語言）

[?]要善于引導(dǎo)學(xué)生口頭表達(dá)

1. 通過設(shè)置問題的梯度進(jìn)行引導(dǎo)

要多讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)語言來表述.如關(guān)于函數(shù)的定義，要高一的學(xué)生回顧說出初中函數(shù)的定義，一連喊了幾個(gè)學(xué)生都不會(huì)說（因?yàn)榭荚嚥豢迹?，或者勉?qiáng)說了個(gè)大意.然后要求他們再用對應(yīng)的思想、集合的語言嘗試重新闡述函數(shù)的定義（蘇教版普通高中教科書《數(shù)學(xué)·必修1》），學(xué)生不預(yù)習(xí)不看著書就幾乎不會(huì)說.

而在實(shí)際教學(xué)中有不少老師往往采取如下的方法來講授函數(shù)的概念，先將函數(shù)的定義直接很快地投影一下：“一般地，設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則‘f，對于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫作從A到B的一個(gè)函數(shù)，通常記為y=f（x），x∈A.其中所有的輸入值x組成的集合A稱為函數(shù)y=f（x）的定義域;所有的輸出值y組成的集合B稱為函數(shù)的值域.”

接著就是通過題目，如判斷下列對應(yīng)是否構(gòu)成從集合A到集合B的函數(shù)：

反過來，彌補(bǔ)函數(shù)概念理解得不到位，強(qiáng)調(diào)函數(shù)定義中的關(guān)鍵詞、注意點(diǎn)——“兩個(gè)非空數(shù)集”“A中每一個(gè)元素”“B中有唯一的元素”“從A到B”等. 當(dāng)然這樣做不能說一點(diǎn)效果都沒有，而筆者是這樣一步一步引導(dǎo)學(xué)生嘗試用集合的語言來表達(dá)的：

（1）用集合的語言來表達(dá)，集合在哪里？集合是怎么定義的？筆者用彩色粉筆將教科書中3個(gè)引例的數(shù)據(jù)圈起來作為相應(yīng)的集合：①將1949～1999年我國人口數(shù)據(jù)表中年份這一行數(shù)據(jù)圈起來形成集合A，將人口數(shù)這一行數(shù)據(jù)圈起來形成集合B，并用“↓”（另一彩色粉筆）將1969→807上下兩個(gè)數(shù)據(jù)對應(yīng)起來.②將某市一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖中的橫軸上的時(shí)間數(shù)據(jù)圈起來形成集合A，把縱軸上的氣溫?cái)?shù)據(jù)圈起來形成集合B，并用“[←][↑]”將兩個(gè)集合中的時(shí)間與溫度兩個(gè)數(shù)據(jù)對應(yīng)起來.③將之前請學(xué)生回答初中函數(shù)定義時(shí)，用物體自由落體h=gt2（g值取9.8）模型啟發(fā)，時(shí)間取一組數(shù)，用“→”指向?qū)?yīng)的物體下落的高度，這些有意留下來的數(shù)據(jù)，時(shí)間圈起來作為集合A，下落高度圈起來作為集合B.

（2）集合有了，下面怎么表述？再啟發(fā)：將某一年份、一天中某一時(shí)間、下落某一時(shí)刻記為x，沿著箭頭“→”指向的那個(gè)唯一的數(shù)記為f（x）（稱它和x對應(yīng)）. 這時(shí)學(xué)生基本上能敘說了，接著教師再跟學(xué)生一起完善函數(shù)定義的闡述.

教學(xué)中我們既要教給學(xué)生一些方法，更要注重教會(huì)學(xué)生思考，讓學(xué)生“跳一跳能摘到果子”.

再如，關(guān)于函數(shù)的奇偶性，重點(diǎn)和難點(diǎn)都是怎樣用數(shù)學(xué)語言來刻畫函數(shù)奇偶性的定義.

圖形語言直觀刻畫——函數(shù)圖像關(guān)于y軸成軸對稱圖形或關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形.

文字語言定性刻畫——互為相反數(shù)的兩個(gè)自變量對應(yīng)的函數(shù)值相等或互為相反數(shù).

符號語言定量刻畫——？

如先提問學(xué)生：（1）從對稱角度，你發(fā)現(xiàn)了什么？（2）從數(shù)學(xué)的角度，如何來表示這種對稱性？

再到一般化定義：“如果對于函數(shù)y=f（x）定義域A內(nèi)任意的x，都有f（-x）=f（x），…”由于教材前面剛安排過函數(shù)的單調(diào)性，所以可以類比，不要急于給出定義（數(shù)學(xué)語言的表達(dá)），學(xué)生不難理解，且能真正領(lǐng)悟其實(shí)質(zhì).

2. 多進(jìn)行師生、生生之間的交流、討論

“學(xué)重要的在于說，教重要的在于聽”.不要懷疑這句話是不是說錯(cuò)了，因?yàn)槲覀円话憧偸钦J(rèn)為老師是講的，學(xué)生是聽的，然而仔細(xì)想想，這句話說的是多么的正確，這是因?yàn)榻處熓紫纫獌A聽學(xué)生哪些需要教師講，哪些不需要教師講[2].

有時(shí)我們教師感到困惑：自己已經(jīng)盡力，講得一清二楚了，可是學(xué)生怎么還是不會(huì)呢？一次筆者要求一個(gè)學(xué)生舉一個(gè)當(dāng)天課堂上的例子，他說老師你課上說，如果一個(gè)函數(shù)f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），那么這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，高一數(shù)學(xué)老師也是這樣講的，可是作業(yè)題中出現(xiàn)了f（4-x）=f（x），f（1-x）=f（x+3）等時(shí)，我就不會(huì)了. 筆者是這樣再講給這位學(xué)生聽的：“考察函數(shù)y=f（x）圖像上的兩個(gè)點(diǎn)A（1-x，f（1-x））與B（x+3，f（x+3）），結(jié)合條件f（1-x）=f（x+3），你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)點(diǎn)之間有什么關(guān)系嗎？當(dāng)A點(diǎn)變化時(shí)，B點(diǎn)也跟著變化，這樣構(gòu)成的圖形具有怎樣的特征呢？”

要善待學(xué)生的高度，不要指望學(xué)生跟你站在同一高度.

學(xué)生之間問問題時(shí)，常聽某學(xué)生說，我問某某同學(xué)，他說的我聽不懂，我說的他也不是很清楚.其實(shí)相互之間交流聽不懂的一個(gè)重要原因，多數(shù)情況下是數(shù)學(xué)語言表達(dá)不規(guī)范，導(dǎo)致交流不暢.

[?]重視指導(dǎo)、訓(xùn)練學(xué)生的書面表達(dá)

1. 關(guān)于填空題（只要求直接寫出結(jié)果，不必寫出計(jì)算或推理過程）

填空題書寫要規(guī)范、到位（完整），如不要把函數(shù)的單調(diào)區(qū)間寫成不等式的形式，多個(gè)單調(diào)性一致的區(qū)間中間用逗號隔開，不能并. 定義域、值域、解集等則必須寫成集合或區(qū)間的形式，具有周期性的結(jié)論中“k∈Z”不能丟，題中有單位的答案中單位不能少，結(jié)果要化成最簡形式，用具體數(shù)字作答，等等.

2. 關(guān)于解答題（要求寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

（2）求變量的取值范圍，是用分離變量法？還是運(yùn)用原函數(shù)或構(gòu)造新函數(shù)的性質(zhì)？要靈活選擇方法，不要教條為一種方法用到底.如本小題：

[?]培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言的綜合表達(dá)能力

1. 對于別人的口頭數(shù)學(xué)表達(dá)要能聽懂并領(lǐng)會(huì)其含義

2. 對于書面呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)文字、符號、圖形要能閱讀和理解

3. 數(shù)學(xué)文字、符號、圖形等語言之間的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練

數(shù)學(xué)教學(xué)不要總是忙于趕進(jìn)度，問題解答不要急于搶速度，練習(xí)作業(yè)不要過于爭數(shù)量. 平時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生反思著解題，規(guī)范的表述.不要悶著頭一條一條地往下做，“題海戰(zhàn)術(shù)”“大運(yùn)動(dòng)量的重復(fù)訓(xùn)練”效率低. 要多考慮效果、質(zhì)量，不要追求“高效”，制作快餐，而忽略了教育本身的原味. 教育需要慢節(jié)奏，需要慢慢地品味. 急功近利，沒有未來！

數(shù)學(xué)家狄爾曼說過，數(shù)學(xué)也是一種語言，從它的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容來看，這是一種比任何國家的語言都要完善的語言……通過數(shù)學(xué)，自然界在論述;通過數(shù)學(xué)，世界的創(chuàng)造者在表述;通過數(shù)學(xué)，世界的保護(hù)者在講演.

“其實(shí)數(shù)學(xué)不難，學(xué)生之所以認(rèn)為難，我認(rèn)為是因?yàn)榻痰貌粔蚝谩边@是美國加州大學(xué)伯克利分校項(xiàng)武義教授在第十一屆“蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)”頒獎(jiǎng)活動(dòng)中所說. 筆者以為學(xué)生數(shù)學(xué)語言的表達(dá)就“教得不夠好”.

因此，我們要重視學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的訓(xùn)練和培養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 黃桂君. 慎教善導(dǎo) 激趣啟智——呼喚所有學(xué)生共享數(shù)學(xué)思考的樂趣[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（3）.

[3]? 黃桂君. 教會(huì)學(xué)生思考比教給學(xué)生方法更重要[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（5）.

[4]? 蘇教版新課程編寫組編寫.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（必修）[M].南京：鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán)，江蘇教育出版社，2012.