用好高中數(shù)學(xué)教材中的“養(yǎng)分”

張瑩瑩

[摘? 要] 針對(duì)不少高中數(shù)學(xué)教學(xué)趕進(jìn)度、壓縮課時(shí)的現(xiàn)狀，分析因此而導(dǎo)致高中數(shù)學(xué)教材中三類容易被忽略或壓縮的內(nèi)容，剖析這種應(yīng)試教育的做法導(dǎo)致的嚴(yán)重后果：高中數(shù)學(xué)課程價(jià)值的貶值及學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生誤解. 筆者認(rèn)為這些被忽略或壓縮的內(nèi)容很有價(jià)值，不應(yīng)被忽略，結(jié)合筆者的教學(xué)研究與實(shí)踐，提出一系列行之有效的方法善用、巧用這些內(nèi)容（筆者謂之“養(yǎng)分”），可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力以及應(yīng)變能力.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)教材;價(jià)值;養(yǎng)分;數(shù)學(xué)思想方法

[?]問(wèn)題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中明確指出了高中數(shù)學(xué)課程的價(jià)值：“通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力;樹(shù)立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神;不斷提高實(shí)踐能力，提升創(chuàng)新意識(shí);認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值.”

近幾年，大多數(shù)學(xué)校在高一高二兩年盡可能地將高中數(shù)學(xué)課程大部分內(nèi)容全部教完，然后利用高三近一年時(shí)間進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí). 這種做法可以讓學(xué)生有較充足的復(fù)習(xí)時(shí)間，但同時(shí)數(shù)學(xué)課時(shí)變得非常緊缺. 于是，不少學(xué)校的數(shù)學(xué)課堂開(kāi)始了“削枝強(qiáng)干”：把被認(rèn)為無(wú)關(guān)緊要的或者高考極少出現(xiàn)的內(nèi)容進(jìn)行壓縮，甚至省略不講，力圖抽出更多的時(shí)間對(duì)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)鞏固、強(qiáng)化練習(xí). 筆者認(rèn)為，這些內(nèi)容恰恰是高中數(shù)學(xué)教材中不可或缺的“養(yǎng)分”. 這種帶有功利性的應(yīng)試教育做法導(dǎo)致一系列不良后果的產(chǎn)生：數(shù)學(xué)知識(shí)鏈被卡斷，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)一知半解，數(shù)學(xué)課堂變得索然無(wú)味，學(xué)生面對(duì)高考缺乏靈活的應(yīng)變能力.

[?]被忽略、擠壓的“養(yǎng)分”類型

根據(jù)筆者經(jīng)常到多所學(xué)校進(jìn)行的聽(tīng)課、學(xué)習(xí)研討，以及與各校同行的日常教學(xué)經(jīng)驗(yàn)交流，了解到被忽略、被擠壓的“養(yǎng)分”主要有如下三類：

1.高考考得比較少的基礎(chǔ)內(nèi)容，較易被忽視

高中數(shù)學(xué)教材里很多基礎(chǔ)內(nèi)容由于在高考中考查的形式并不直接，或者考查得比較少，往往會(huì)被排除在應(yīng)試復(fù)習(xí)之外，也不受數(shù)學(xué)教師的重視. 但這些簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)內(nèi)容一旦在高考中出現(xiàn)，就突顯了學(xué)生某些知識(shí)的薄弱或缺失. 例如，以下這兩道高考題：

（2017年全國(guó)Ⅰ卷·理科19題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）. 根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）.

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望;

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.

（?。┰囌f(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性;

（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

點(diǎn)評(píng)：這兩道題分別是2017年全國(guó)高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)理科19題和2017年全國(guó)高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)文科19題. 兩題都出現(xiàn)了極少考查的正態(tài)分布，文科19題還考查了多年未曾在高考出現(xiàn)的相關(guān)系數(shù). 這些考查都是高二必修3第二章統(tǒng)計(jì)中的基礎(chǔ)內(nèi)容. 將這道題給剛學(xué)完統(tǒng)計(jì)的高二學(xué)生做，他們普遍都覺(jué)得難度不大. 但由于高考在正態(tài)分布和相關(guān)系數(shù)上考查得較少，這部分內(nèi)容在備考復(fù)習(xí)中不受重視. 理科19題的第（2）（ⅰ）問(wèn)要求學(xué)生試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性，不少理科考生反映盡管知道學(xué)習(xí)過(guò)正態(tài)分布的3σ原則，但就是不知道該如何運(yùn)用正態(tài)分布的3σ原則來(lái)說(shuō)明本題中監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性. 文科19題已提供了第（1）問(wèn)相關(guān)系數(shù)公式中的絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)，但考生普遍反映不懂得如何將這些數(shù)據(jù)聯(lián)系公式進(jìn)行處理.

2. 有公式可套用的知識(shí)，被省去推導(dǎo)過(guò)程

高中數(shù)學(xué)教材中很多知識(shí)經(jīng)過(guò)推導(dǎo)后得到公式就可以加以運(yùn)用. 不少應(yīng)試教育的數(shù)學(xué)課堂并不重視知識(shí)的推導(dǎo)過(guò)程，更關(guān)注套用公式的強(qiáng)化練習(xí). 有許多教學(xué)內(nèi)容要講好講透并不容易，跳過(guò)這些內(nèi)容去直接套用公式則相對(duì)簡(jiǎn)單得多. 這就使得應(yīng)試教育似乎找到了合理的發(fā)展. 例如，必修3中的算法案例高考中出現(xiàn)的頻率極少，不少學(xué)校并不提及這些案例中的推導(dǎo)過(guò)程，僅僅給出可以照搬照套的解法就算了. 還有一些學(xué)校根本不上這個(gè)內(nèi)容的課，學(xué)生高三復(fù)習(xí)了也沒(méi)聽(tīng)說(shuō)過(guò)算法案例中的內(nèi)容. 又如，必修4第三章3.1.1兩角差的余弦公式一課中教材分別用單位圓上的三角函數(shù)線及向量的知識(shí)探究?jī)山遣畹挠嘞夜剑茖?dǎo)出公式后便加以運(yùn)用. 由于利用單位圓數(shù)的三角函數(shù)線來(lái)推導(dǎo)兩角差的余弦公式相比運(yùn)用向量的知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)的過(guò)程要耗時(shí)較多，有些生源較差的學(xué)校為了完成教學(xué)任務(wù)，在數(shù)學(xué)課堂便跳過(guò)推導(dǎo)過(guò)程，直接給出兩角差的余弦公式，讓學(xué)生照套公式進(jìn)行運(yùn)用. 而生源較好的學(xué)校也有的為了強(qiáng)化運(yùn)用，壓縮推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過(guò)程，較直接地牽著學(xué)生迅速找出公式，騰出更多時(shí)間進(jìn)行公式的正用、逆用、活用.

3.一些與生活聯(lián)系緊密的應(yīng)用題，被認(rèn)為考查的可能性較低而簡(jiǎn)略

由于應(yīng)用題對(duì)學(xué)生綜合能力的要求比較高，需要學(xué)生能通過(guò)仔細(xì)讀題、審題，進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)處理、分析、建模，認(rèn)真思考、運(yùn)算，規(guī)范作答等各個(gè)環(huán)節(jié)才能圓滿解決好一道應(yīng)用題. 而要引導(dǎo)學(xué)生圓滿解答應(yīng)用題需要花較大功夫，如進(jìn)行分類復(fù)習(xí)和強(qiáng)化練習(xí)等，才會(huì)有一定的收效. 這類題往往被認(rèn)為考查的可能性較低，不少數(shù)學(xué)老師較忽視對(duì)學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)指導(dǎo)，有些數(shù)學(xué)課堂上也只是對(duì)其略略帶過(guò)了事. 直到高考出現(xiàn)這類應(yīng)用題，才引起數(shù)學(xué)老師的重視. 例如，以下這道廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試題：

（2018年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）·文科18題）某地1～10歲男童年齡xi（歲）與身高的中位數(shù)yi（cm）（i=1，2，…，10）如下表：

（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程（回歸方程系數(shù)精確到0.01）;

（2）某同學(xué)認(rèn)為，y=px2+qx+r更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型，他求得的回歸方程是y=-0.30x2+10.17x+68.07.經(jīng)調(diào)查，該地11歲男童身高的中位數(shù)為145.3cm.與（1）中的線性回歸方程比較，哪個(gè)回歸方程的擬合效果更好？

附：回歸方程[y] =+x中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：=，=y-x.

點(diǎn)評(píng)：此題為2018年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）數(shù)學(xué)文科18題. 它以回歸直線方程模型解決實(shí)際問(wèn)題為載體，從題目的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)中從散點(diǎn)圖初步分析原始數(shù)據(jù)關(guān)系，建模，進(jìn)一步計(jì)算得到線性回歸方程，結(jié)合與現(xiàn)實(shí)擬合度分析調(diào)整模型的過(guò)程. 第（2）問(wèn)需要學(xué)生通過(guò)數(shù)據(jù)運(yùn)算及對(duì)比現(xiàn)實(shí)情況，比較兩種建模中哪個(gè)回歸方程的擬合效果更好. 在必修3教材中有類似的例題，只要進(jìn)行了相應(yīng)的復(fù)習(xí)，要解決此題并不難. 可是，由于不少數(shù)學(xué)老師認(rèn)為這部分內(nèi)容在高考中出現(xiàn)的概率較低，并沒(méi)有重視這類建模比較分析的復(fù)習(xí)，導(dǎo)致此題得分不理想.

從以上被忽略、擠掉的內(nèi)容來(lái)看，被擠掉的“養(yǎng)分”也是基礎(chǔ)知識(shí)之一，是認(rèn)證數(shù)學(xué)定理的推導(dǎo)過(guò)程及提升認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的載體，是數(shù)學(xué)在人類社會(huì)中應(yīng)用的理解和體驗(yàn)，是發(fā)展多向思維和創(chuàng)新意識(shí)的基礎(chǔ)性引導(dǎo). 如果擠掉這些“養(yǎng)分”，將會(huì)帶來(lái)什么后果呢？

[?]擠壓“養(yǎng)分”的后果

1. 數(shù)學(xué)變得索然無(wú)味，學(xué)生往往一知半解

被擠減“養(yǎng)分”的數(shù)學(xué)課堂忽略了數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)密性，忽略了知識(shí)環(huán)環(huán)相扣的完整體系. 這樣的課堂往往充斥著解題模式及解題技巧. 學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)“知其然而不知其所以然”，只是不斷通過(guò)模仿老師的解題模式，去做大量的數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)課堂變成一個(gè)應(yīng)試的課堂. 數(shù)學(xué)在學(xué)生眼里就是一堆枯燥無(wú)味的式子，數(shù)學(xué)變得索然無(wú)味. 學(xué)數(shù)學(xué)就變成了不斷地算數(shù)、解式子.

2. 助長(zhǎng)了學(xué)數(shù)學(xué)無(wú)用的誤解，降低了學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣

可想而知，一旦被擠掉了“養(yǎng)分”的數(shù)學(xué)課堂淪為應(yīng)試教育的課堂，就更加助長(zhǎng)了數(shù)學(xué)無(wú)用論論調(diào)的喧囂. 有一名學(xué)生問(wèn)他的數(shù)學(xué)老師：“學(xué)數(shù)學(xué)有什么用？難道你會(huì)用一次函數(shù)去買菜？”這一個(gè)提問(wèn)恰恰是當(dāng)今社會(huì)眾多應(yīng)試教育教出來(lái)的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的誤解. 在應(yīng)試教育的作用下，學(xué)生接觸到的數(shù)學(xué)課堂是不斷解決大量數(shù)學(xué)題及學(xué)習(xí)解題技巧的課堂. 學(xué)生以為學(xué)數(shù)學(xué)只是為了應(yīng)付高考，并沒(méi)有感受到數(shù)學(xué)對(duì)整個(gè)人類社會(huì)帶來(lái)的影響.

3. 墮入應(yīng)試教育的死胡同，難以靈活掌握所學(xué)的知識(shí)

為應(yīng)試而“削枝強(qiáng)干”擠掉“養(yǎng)分”，值得嗎？應(yīng)試教育的教師將近幾年的高考熱點(diǎn)進(jìn)行剖析，關(guān)注所謂的熱點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)也根據(jù)這些熱點(diǎn)進(jìn)行盲目拔高，甚至在高一初學(xué)階段就讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)一些高考的難題. 在復(fù)習(xí)階段應(yīng)試教育的教師易陷入押題模式，只關(guān)注高考出現(xiàn)過(guò)的內(nèi)容及考題，對(duì)于其他在高考中少有出現(xiàn)的教學(xué)內(nèi)容不組織復(fù)習(xí)，甚至略過(guò)不教. 這種應(yīng)試教育的結(jié)果顯然是死板的，教師和學(xué)生都不能靈活應(yīng)試，更何談靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題. 這樣一來(lái)，高中數(shù)學(xué)課程的價(jià)值就貶值了.

[?]轉(zhuǎn)變教育觀念，正確認(rèn)識(shí)被擠掉的“養(yǎng)分”

明確認(rèn)清應(yīng)試教育目的在于應(yīng)試，而高考的選拔性考查是立足于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的，對(duì)分析、轉(zhuǎn)化和解決問(wèn)題能力有較高的要求，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的要求更高. 因此，不但不能擠掉教材中的“養(yǎng)分”，而且還應(yīng)該重視這些“養(yǎng)分”.

首先，作為基礎(chǔ)知識(shí)的“養(yǎng)分”是數(shù)學(xué)的根基，必須讓學(xué)生扎實(shí)掌握. 否則，數(shù)學(xué)就像一座沒(méi)有根基的建筑隨時(shí)面臨坍塌. 教學(xué)中應(yīng)一環(huán)扣一環(huán)，以免知識(shí)缺失，影響學(xué)生對(duì)內(nèi)容的理解、對(duì)知識(shí)一知半解.

其次，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法的“養(yǎng)分”不能省略，因其可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 推導(dǎo)過(guò)程也可以喚醒學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶，提高靈活的應(yīng)變能力，提升數(shù)學(xué)高考成績(jī). 托爾斯泰說(shuō)過(guò)：“知識(shí)，只有當(dāng)它靠積極的思維得來(lái)而不是憑證記得來(lái)的時(shí)候，才是真正的知識(shí). ”

再次，數(shù)學(xué)在人類社會(huì)的應(yīng)用中比比皆是. 被擠掉的“養(yǎng)分”與生活聯(lián)系密切，正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性. 數(shù)學(xué)課程的價(jià)值正是通過(guò)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、思維方式作用于自然界和人類社會(huì)的實(shí)用性而體現(xiàn)出來(lái)的. 反之，應(yīng)用題的實(shí)用性又可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)有進(jìn)一步提高.

最后，學(xué)習(xí)貴在舉一反三，靈活運(yùn)用. 高考考查的是深刻理解、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，而不是模仿. 高考卷中與生活實(shí)例相結(jié)合的數(shù)學(xué)題比重在加大.

因此，轉(zhuǎn)變教育觀念，正確認(rèn)識(shí)被擠掉的“養(yǎng)分”的數(shù)學(xué)價(jià)值尤為重要.

[?]巧用“養(yǎng)分”及效果

1. 挖掘“養(yǎng)分”蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

看似簡(jiǎn)單明了的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)背后往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，而這些數(shù)學(xué)思想方法需要通過(guò)具體的實(shí)例才可以逐步為學(xué)生所了解. 學(xué)生明白這些數(shù)學(xué)思想方法后，能更清晰地理解所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，更扎實(shí)地掌握這些內(nèi)容. 注重挖掘“養(yǎng)分”中豐富的數(shù)學(xué)思想方法，以針對(duì)學(xué)生能力層次的恰當(dāng)教學(xué)方式可以幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟所學(xué)知識(shí). 例如，人教版必修3第一章算法初步中1.3算法案例. 這一節(jié)集中了中外古老而經(jīng)典的算法，還包含了多種數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了人們的生活智慧. 以下是筆者的課堂實(shí)例片段：

案例：筆者讓學(xué)生先求出18與30的最大公約數(shù)為后，提出讓他們求207與368的最大公約數(shù). 這時(shí)，很多學(xué)生嘗試了幾個(gè)可能的公約數(shù)后面有難色.

師：為什么不繼續(xù)做下去？

生：剛才數(shù)小一點(diǎn)還好處理，現(xiàn)在給的兩個(gè)數(shù)太大了.

師：數(shù)小就可以處理，那么能否將數(shù)變小呢？哪些運(yùn)算可以將數(shù)據(jù)變??？

生：減法、除法. 但是這樣一來(lái)數(shù)字變了. 還能求最大公約數(shù)嗎？

師：那么，我們不妨設(shè)a為207與368的最大公約數(shù)，則207能整除a，且368也能整除a，所以368-207=161也能整除a. 也就是說(shuō)，a是207與368的最大公約數(shù)，那么a也是207與誰(shuí)的最大公約數(shù)？

生甲：a也是207與161的最大公約數(shù)！也就是說(shuō)，只要把較大的數(shù)減去較小的數(shù)所得到的差和原來(lái)較小的數(shù)的最大公約數(shù)仍然是我們要找的最大公約數(shù).

生乙：那我們可以繼續(xù)用其中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，這樣數(shù)據(jù)變小了，但仍可以求最大公約數(shù)！

師：對(duì). 你們嘗試做下去看看.

（學(xué)生繼續(xù)往下做，207-161=46，161-46=115，115-46=69，69-46=23，46-23=23）

生：減到剩下兩個(gè)23了，再相減就是零了. 怎么辦？

師：當(dāng)剩下的兩個(gè)數(shù)相同時(shí)，那它們的最大公約數(shù)是多少？

生：噢，最大公約數(shù)是它們本身. 也就是23了.

筆者讓學(xué)生自己小結(jié)這種算法，并簡(jiǎn)介其為中國(guó)古代《九章算法》中的更相減損術(shù)，蘊(yùn)含了遞歸思想. 學(xué)生覺(jué)得挺有意思，佩服前人的智慧. 接著筆者又拋出問(wèn)題：求8251與6105的最大公約數(shù). 學(xué)生馬上躍躍欲試，做了一會(huì)有部分學(xué)生停了下來(lái)感覺(jué)數(shù)學(xué)太大，用減法太慢了. 這時(shí)，筆者提醒他們將數(shù)據(jù)變小除了用減法還可以考慮用除法，能否類比剛才更相減損術(shù)的分析方法來(lái)分析用除法是否可行？于是，學(xué)生在小組討論中自己導(dǎo)出了輾轉(zhuǎn)相除法并小結(jié)了這種算法. 體會(huì)了數(shù)學(xué)無(wú)分國(guó)界，都是源于生活的智慧.

在筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中，深刻體會(huì)到這些算法案例給學(xué)生帶來(lái)了面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)應(yīng)保持勤于思考、尋求解決問(wèn)題途經(jīng)的力量，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法帶來(lái)的樂(lè)趣，讓學(xué)生更熱愛(ài)生活.

2. 緊依教材，讓學(xué)生在體驗(yàn)公式完整的推導(dǎo)過(guò)程中汲取“養(yǎng)分”，獲得思維鍛煉

教育家柏拉圖說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)更高的價(jià)值在于培養(yǎng)純粹的思維能力，啟發(fā)人們向往理念的端倪;便于將靈魂從變化世界轉(zhuǎn)向真理的實(shí)在. ”因此，對(duì)那些有推導(dǎo)過(guò)程的“養(yǎng)分”重視并讓學(xué)生體驗(yàn)真實(shí)的過(guò)程以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 以必修4第三章3.1.1兩角差的余弦公式一課為例. 鑒于教科書(shū)將兩角差的余弦公式教學(xué)安排在介紹了單位圓上的三角函數(shù)線及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示之后，除了意在讓學(xué)生能聯(lián)系已學(xué)過(guò)的知識(shí)，嘗試分別利用單位圓上的三角函數(shù)線及向量的知識(shí)進(jìn)行兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，還體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想，鍛煉數(shù)學(xué)思維. 因此，如何引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合構(gòu)建推導(dǎo)公式的數(shù)學(xué)模型既是本節(jié)課的重點(diǎn)又是難點(diǎn). 如果由教師直接牽著學(xué)生走完這兩個(gè)推導(dǎo)的過(guò)程，勢(shì)必剝奪學(xué)生猜想、聯(lián)想、探索的機(jī)會(huì)，也會(huì)讓學(xué)生錯(cuò)失溫故知新、學(xué)以致用的機(jī)會(huì)，而將數(shù)學(xué)課堂淪為僅僅是得到一個(gè)公式不斷去套用的技能課堂. 為了抓住這個(gè)激發(fā)學(xué)生充分運(yùn)用猜想、聯(lián)想、對(duì)比、嘗試運(yùn)用已學(xué)過(guò)的知識(shí)自主探索并解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)，筆者設(shè)計(jì)并進(jìn)行了教學(xué)，以下是筆者的課堂引導(dǎo)的實(shí)例片段.

師：既然想借助單位圓上的三角函數(shù)線或數(shù)量積的坐標(biāo)表示來(lái)解決問(wèn)題，那么必須構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)解決，即放到直角坐標(biāo)系中研究. 下面請(qǐng)大家自行分組，按照自己的想法嘗試借助單位圓上的三角函數(shù)線或數(shù)量積的坐標(biāo)表示出兩角差的余弦值cos（α-β）及角α、角β的三角函數(shù)值，看看這些值之間有無(wú)關(guān)系.

在接下來(lái)的課堂探究中，學(xué)生學(xué)習(xí)熱情高漲，他們聯(lián)合有共同想法的同學(xué)為一組，開(kāi)動(dòng)腦筋處理在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中遇到的問(wèn)題. 例如，在平面直角坐標(biāo)系中如何放置兩個(gè)角會(huì)更方便運(yùn)用相關(guān)知識(shí)？如何通過(guò)作輔助線或利用坐標(biāo)找出相應(yīng)的三角函數(shù)值？如何找出兩角差的余弦公式與其他三角函數(shù)值的聯(lián)系？

在筆者的適度引導(dǎo)下，學(xué)生分別用兩種方法推導(dǎo)出了兩角差的余弦公式. 筆者又引導(dǎo)學(xué)生思考角α、角β的大小關(guān)系會(huì)否導(dǎo)致所推導(dǎo)的公式有所不同，給學(xué)生留下課后進(jìn)一步探討的空間. 在接下去的公式運(yùn)用中，學(xué)生對(duì)自己所推導(dǎo)的公式印象較為深刻，并對(duì)非特殊角求余弦值問(wèn)題時(shí)會(huì)首先考慮將角寫成兩個(gè)特殊角的差的形式，以便運(yùn)用兩角差的余弦公式加以運(yùn)用. 而且，學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性被激發(fā)起來(lái)，他們感覺(jué)這個(gè)內(nèi)容很有意思而且不難. 當(dāng)天的作業(yè)一布置下去，學(xué)生就迫不及待地完成了. 這充分說(shuō)明，即便是有公式可套用的知識(shí)，如果能讓學(xué)生參與到推導(dǎo)過(guò)程中去，他們得到的東西遠(yuǎn)比機(jī)械記憶、應(yīng)用公式解題要多得多，并且能讓學(xué)生更有信心、更積極地投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去.

3. 引導(dǎo)學(xué)生以實(shí)際問(wèn)題建模，培養(yǎng)知識(shí)遷移、靈活應(yīng)用的能力

俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基說(shuō)：“不管數(shù)學(xué)的任一分支是多么抽象，總有一天會(huì)應(yīng)用在這實(shí)際世界上.” 當(dāng)學(xué)生汲取了“養(yǎng)分”中的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法后，應(yīng)引導(dǎo)他們將這些所得充分運(yùn)用到生活中去，注重培養(yǎng)學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題、應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

一方面，筆者注重收集身邊與數(shù)學(xué)有關(guān)的素材，加工編寫一些數(shù)學(xué)題，引導(dǎo)學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題. 以下是筆者編寫的兩道原創(chuàng)題：

（1）根據(jù)《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定：車輛駕駛員血液酒精濃度在20～80mg/100ml（不含80）之間，屬于酒后駕車，處暫扣一個(gè)月以上三個(gè)月以下駕駛證，并處200元以上500元以下罰款;血液酒精濃度在80mg/100ml（含80）以上時(shí)，屬醉酒駕車，處十五日以下拘留和暫扣三個(gè)月以上六個(gè)月以下駕駛證，并處500元以上2000元以下罰款.

據(jù)《法制晚報(bào)》報(bào)道，2009年8月15日至8月28日，全國(guó)查處酒后駕車和醉酒駕車共28800人，如圖3是對(duì)這28800人血液中酒精含量進(jìn)行檢測(cè)所得結(jié)果的頻率分布直方圖，則屬于醉酒駕車的人數(shù)約為（? ）

（2）某地方衛(wèi)視臺(tái)有一個(gè)猜對(duì)方身份的游戲，共3關(guān). 游戲規(guī)則是：第一關(guān)猜中1人的身份則可進(jìn)入下一關(guān)，并獲獎(jiǎng)品A;若不能猜中則游戲結(jié)束并且沒(méi)有任何獎(jiǎng)品. 第二關(guān)同時(shí)猜中2個(gè)人的身份則可進(jìn)入下一關(guān)，獎(jiǎng)品A升級(jí)為獎(jiǎng)品B;否則游戲結(jié)束并失去獎(jiǎng)品A. 第三關(guān)同時(shí)猜中3個(gè)人身份，獎(jiǎng)品B升級(jí)為獎(jiǎng)品C;否則游戲結(jié)束并失去獎(jiǎng)品B. 每位參加游戲選手不使用觀察團(tuán)幫助時(shí)猜中對(duì)方身份的概率均為，使用觀察團(tuán)幫助則猜中的概率提高為. 按規(guī)定只允許在前兩關(guān)使用觀察團(tuán).

現(xiàn)在有甲、乙兩人參加游戲，兩個(gè)約定：甲使用觀察團(tuán)，乙不使用觀察團(tuán).

①求甲不能通過(guò)第二關(guān)的概率.

②設(shè)兩人中恰有ξ人能通過(guò)第二關(guān)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

點(diǎn)評(píng)：第1題是筆者根據(jù)《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》對(duì)于酒駕問(wèn)題的規(guī)定及《法制晚報(bào)》報(bào)道進(jìn)行的編寫，已被選入2010年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）數(shù)學(xué)文科卷作為選擇題第7題. 第2題是筆者結(jié)合江蘇衛(wèi)視節(jié)目《非常了得》的節(jié)目規(guī)則進(jìn)行原創(chuàng)的. 學(xué)生對(duì)這些貼近他們生活的數(shù)學(xué)題感覺(jué)很新鮮，結(jié)合他們的生活體驗(yàn)更容易理解題目?jī)?nèi)容，逐步嘗試留意身邊的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

另一方面，筆者通過(guò)設(shè)置一些相應(yīng)的作業(yè)，給學(xué)生提供機(jī)會(huì)將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法運(yùn)用到實(shí)際生活中去. 例如，在學(xué)完必修1函數(shù)應(yīng)用相關(guān)內(nèi)容后，筆者布置學(xué)生利用短假找尋現(xiàn)實(shí)生活中的一些實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)行函數(shù)建模，解決問(wèn)題. 學(xué)生交上了他們自己選的研究報(bào)告：對(duì)開(kāi)關(guān)燈用電量的研究，關(guān)于電筒應(yīng)用的研究，研究一家四口用電飯煲煮飯最省電時(shí)米與水的比值，等等. 這些都是學(xué)生真正將學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活當(dāng)中的體現(xiàn)，既燃起了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，又提高了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

[?]總結(jié)

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，因認(rèn)為高考考得少等各種原因，忽略或者壓縮掉一些教學(xué)內(nèi)容. 筆者認(rèn)為這些內(nèi)容是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，它蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的價(jià)值，不應(yīng)該被忽略或者壓縮. 如果這些“養(yǎng)分”被忽略或者壓縮，學(xué)生將學(xué)得一知半解，認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒(méi)有意思，降低了學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，難以靈活掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，這與數(shù)學(xué)教育的初衷產(chǎn)生了偏離. 筆者通過(guò)多年教學(xué)研究和實(shí)踐，總結(jié)出通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生和讓學(xué)生經(jīng)歷一些公式的推導(dǎo)過(guò)程等方法，從而充分挖掘這些“養(yǎng)分”的價(jià)值. 用好“養(yǎng)分”可以激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的熱情，幫助學(xué)生全面掌握基礎(chǔ)知識(shí)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí);提高學(xué)生提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識(shí).

利用好高中數(shù)學(xué)教材中的“養(yǎng)分”并不會(huì)占用太多時(shí)間，但能取得不錯(cuò)的效果. 用好高中數(shù)學(xué)教材中的“養(yǎng)分”還有其他更多的方法有待進(jìn)一步研究. 筆者拋磚引玉，希望與同行共同交流、研究.