大學數(shù)學先修課程的開設(shè)探索與思考

曾宏建

[摘? 要] 為幫助學生有效對接大學階段的數(shù)學學習，也為增強課程資源的可選擇性，促進學生的個性化發(fā)展，高中數(shù)學教師要注意加強對大學數(shù)學先修課程開設(shè)的探索和研究，文章以《微積分》為例，探討了課程設(shè)計的基本構(gòu)想、目標設(shè)計、內(nèi)容要求、教學模式以及評價方式.

[關(guān)鍵詞] 先修課程;微積分;課程設(shè)計

在高中階段，為促進學生有效對接大學某些課程的學習，學校要開設(shè)一些大學先修課（即Advanced Placement，簡寫為“AP”），這些課程具有一定的選擇性，可讓學生根據(jù)自己個性化的需求做出選擇. 筆者和本校教研組的同事在教學中積極探索數(shù)學先修課的開設(shè)實踐，下面以《微積分》的課程設(shè)計為例談?wù)勛约旱牟僮骱退伎?

[?] 微積分先修課程設(shè)計的基本構(gòu)想

早在1996年，當時頒布的《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱（實驗）》就將微積分的部分知識列入高中數(shù)學的選修內(nèi)容，讓學生根據(jù)需要進行學習;2004年開始的新課程改革中，有關(guān)微積分的教學內(nèi)容和要求也被修改，2013年版的新課程標準從學生核心素養(yǎng)發(fā)展的需要出發(fā)，對有關(guān)內(nèi)容進行了完善. 當然，高中數(shù)學對微積分的教學要求是比較低的，重心主要落在極限思維和導(dǎo)數(shù)上，學生可以借此對微積分形成初步認識，但還是相當模糊，筆者認為這和大學數(shù)學的學習具有很遠距離，這也是本校開設(shè)微積分先修課的緣起.

對學生來講，微積分的知識和相關(guān)技能在自然科學、工程應(yīng)用等多個領(lǐng)域都有廣泛運用，而其所涉及的研究思路在高中階段的數(shù)理化科目中也早就有所涉及，所以引導(dǎo)部分學有余力的學生學習微積分內(nèi)容，對他們的發(fā)展大有裨益. 聯(lián)系微積分的知識特點，結(jié)合學生的實際情形，筆者所設(shè)計的“微積分先修課”主要是面向高二學生，授課時間是高二下學期.

微積分課程的基本內(nèi)容包括函數(shù)與極限思想、微積分基本理念、積分計算和應(yīng)用、微分中值定理與泰勒公式、級數(shù)等等. 通過這些內(nèi)容的學習，學生將概覽微積分基本的知識框架，掌握基礎(chǔ)性的理論和相應(yīng)計算方法，這既有助于學生借助相關(guān)的理論思想和方法來分析當前問題，也為學生的后續(xù)學習奠定了基礎(chǔ)[1]. 微積分本身也是一個良性的思維載體，對應(yīng)問題的分析和研究需要學生將“數(shù)”與“形”充分聯(lián)系起來，而且要綜合運用邏輯、推理和演繹等理性思維來展開研究，學生在這一過程中必然會充分對思維的某些特質(zhì)進行針對性的訓(xùn)練，這些效果是在數(shù)學其他內(nèi)容或者別的學科中很難獲得的.

總之，在高中階段開設(shè)微積分先修課能引導(dǎo)學生主動銜接大學課程的學習，同時也能倚靠微積分課程自身的特點來發(fā)展學生的思維和能力，是切合學生發(fā)展需要的課程設(shè)計.

[?] 微積分先修課程的目標設(shè)計

在研究微積分先修課的目標時，教師不但要充分考量知識的應(yīng)用性特點，更要將重心落實在可持續(xù)性發(fā)展上，這其實也正是數(shù)學先修課的總體設(shè)計目標，即“認知概念，強化應(yīng)用，發(fā)展能力，提升素養(yǎng)”. 在具體教學中，筆者從知識和能力兩個主要維度來設(shè)計微積分課程的目標，同時兼顧中學數(shù)學核心素養(yǎng)的其他方面，由此來建設(shè)一個適合學生能力提升的平臺，有效激活學生思維，引導(dǎo)學生在各種探究活動中展開個性化學習，推動學生的有效發(fā)展.

從知識和技能等層面來講，微積分課程有著很強的工具性，它是研究很多問題的重要理論基礎(chǔ)，在思想和方法層面，微積分又對應(yīng)著極限思想、化曲為直、無限分割等操作，為學生對問題的本質(zhì)性認識和技巧性處理提供了方法和思路. 立足于高中學生的最近發(fā)展區(qū)，同時也瞄準學生將來的發(fā)展方向，筆者從知識技能與思想方法兩個方面確定微積分先修課的課程目標.

1. 知識技能方面的目標設(shè)計

（1）熟練掌握函數(shù)的表示方法，并且能對相關(guān)表示方法之間的聯(lián)系形成理解.

（2）結(jié)合變化率和局部線性近似來認識導(dǎo)數(shù)，并能夠采用導(dǎo)數(shù)的概念和相關(guān)方法處理對應(yīng)的問題.

（3）采用黎曼和的極限思路來認識定積分的定義及其內(nèi)涵，并能夠采用積分來處理對應(yīng)問題.

（4）能用技術(shù)工具來幫助問題分析，解釋實驗現(xiàn)象和結(jié)果，并對相關(guān)結(jié)論進行驗證.

（5）能采用科學的表達方式進行數(shù)學交流，并能夠在交流中分享對數(shù)學問題和方法的認識.

（6）能采用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分等概念和方法來解釋物理問題，并能圍繞物理情境建立相應(yīng)的數(shù)學模型.

（7）能結(jié)合微積分的基本理論探求問題分析方法的合理性.

（8）能采用微積分基本定理來理解導(dǎo)數(shù)與積分的基本關(guān)系.

2. 思想方法方面的目標設(shè)計

（1）逐步熟悉微積分基本的運算方法.

（2）綜合運用微積分的概念和方法來分析和解決實際問題.

（3）采用微積分的研究思想和方法進行各種建模操作，并能結(jié)合計算機的使用來求解問題.

（4）結(jié)合微積分問題的處理和分析領(lǐng)會抽象概括的思想和方法.

（5）發(fā)展學生的自學意識，引導(dǎo)學生體驗并培養(yǎng)邏輯推理的思想和方法.

以上是筆者在探索過程中，結(jié)合學生實際以及高中數(shù)學的課程特點，設(shè)計出微積分先修課的基本目標. 在目標定位上，筆者區(qū)分開大學與高中兩個學段教學要求的差別，明確先修課不是正式的教學課，也不是預(yù)習課，整體要求上是對數(shù)學課程標準的延伸，是為了促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的進一步發(fā)展.

[?] 微積分先修課程的內(nèi)容和要求

微積分先修課將一元微分和積分作為重要內(nèi)容，整個課程劃分為七個單元：（1）函數(shù);（2）極限與連續(xù);（3）導(dǎo)數(shù)與微分;（4）中值定理與導(dǎo)數(shù)運用;（5）不定積分;（6）定積分;（7）無窮級數(shù). 下面筆者以第一單元“函數(shù)”為例，簡單介紹一下主要的教學內(nèi)容及相應(yīng)的教學要求.

學生在高一階段就已經(jīng)學習很多函數(shù)的知識，在平常的學習過程中也經(jīng)常性地使用這些知識. 考慮到微積分與函數(shù)緊密的關(guān)系，而且微積分本身概念的嚴謹性，兼顧到高二學生對這一塊知識的遺忘等因素，筆者認為依然要將“函數(shù)”作為微積分的第一個單元，基本內(nèi)容和相關(guān)要求如表1所示.

微積分本就是基于函數(shù)研究的一種延伸和發(fā)展，實數(shù)、函數(shù)和極限應(yīng)該是微積分理論的基礎(chǔ)，是研究者結(jié)合“微元”和“無限逼近”的思想來對函數(shù)進行研究. 因此，學習微積分必須從函數(shù)開始，這是高中生最熟悉的內(nèi)容，是他們探索陌生知識時最可靠的落腳點，在此基礎(chǔ)上我們再進行新問題的拓展，合乎學生的認知習慣，這樣的內(nèi)容和要求設(shè)計能有效銜接學生的知識基礎(chǔ)，這樣的處理也是我們設(shè)計數(shù)學先修課的基本思路.

[?] 微積分先修課程的教學模式

我們開設(shè)微積分先修課主要是為了引導(dǎo)學生對微積分的概念形成認知，并能夠采用微積分的思想和相關(guān)方法來處理問題，因此在教學過程中，教師要充分考慮學生的思維和理解，只有學生對內(nèi)容形成理解才能對知識靈活運用，這也成為我們選擇教學模式的基本出發(fā)點.

在高中數(shù)學的教學中，教師一般都會遵從學生的思維特點來設(shè)計問題，然后引導(dǎo)學生展開探索，圍繞問題來架構(gòu)整個課堂教學，讓學生能夠積極而主動地展開思考，進而有效領(lǐng)會知識，對研究方法和科學思想形成感悟，這種常態(tài)化的教學模式在微積分教學過程中依然可以使用.

隨著新課程的不斷推進，高中數(shù)學原有的授課模式正在不斷發(fā)生調(diào)整，教師會將自主學習、合作探究、發(fā)現(xiàn)教學、情境教學等教學方式和方法融入課堂設(shè)計之中，由此形成適應(yīng)新時期學生發(fā)展需要的課堂[2]. 在微積分先修課的教學實踐中，筆者也積極探索適合先修課的課堂組織方式，比如交互式教學，此種教學模式主要分為這樣幾個環(huán)節(jié)：（1）導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學生明確目標，學生形成初步設(shè)想;（2）初學環(huán)節(jié)，學生展開初步學習并發(fā)現(xiàn)存在的問題;（3）推進環(huán)節(jié)，學生圍繞問題展開集體探討，在解決問題的同時對知識形成認識和理解;（4）鞏固階段，學生展開練習，在鞏固認識的同時進一步發(fā)現(xiàn)和解決遺留問題，并提升認識;（5）作業(yè)，學生獨立完成作業(yè)，既能實現(xiàn)對學習效果的檢測，還能加深對知識的理解.

筆者嘗試的課堂組織方式還包括探究式教學，此方式包括以下環(huán)節(jié)：（1）導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師創(chuàng)設(shè)情境引出問題，學生展開猜想;（2）自主探究，教師創(chuàng)造條件引導(dǎo)學生以合作學習的方式展開觀察、實驗、辯論等活動，全方位地搜集證據(jù)證實猜想或?qū)Σ孪脒M行修正;（3）總結(jié)推廣，學生對探究過程中的成果和經(jīng)驗進行總結(jié)和提煉，并對相關(guān)結(jié)論進行舉一反三的應(yīng)用，以此來提升認識;（4）評價反思，教師組織學生對探究過程展開自主評價和相互評價，鼓勵學生分享探究心得;（5）作業(yè)，學生結(jié)合作業(yè)評估學習情況，并鞏固認識.

在實際教學過程中，教師要根據(jù)具體情況來選擇教學模式和相關(guān)方法，一些概念性比較強的內(nèi)容，比如極限、微分的概念等等，這些適合傳統(tǒng)教學和探究式教學相結(jié)合的教學方法，即學生先在自主探究中形成初步認識，教師再結(jié)合講解讓學生明確最完整、最科學的表達;一些強調(diào)知識運用的內(nèi)容，適合以探究式教學來進行，比如極限性質(zhì)的探究、微分中值定理等等，學生在探究過程中將親歷知識的形成，由此產(chǎn)生更加深刻的理解和認識;對于某些側(cè)重于方法和技巧的內(nèi)容，比如極限的運算、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性等等，這些可以采用交互式的方式來進行研究，讓學生在師生互動、生生對話中發(fā)現(xiàn)并研究問題，最終在問題解決的過程中提升認識和理解.

[?] 微積分先修課程的教學評價

一般來講，考試是最直接，也是最簡單的評價方式，將這種方式應(yīng)用于微積分先修課程能夠讓教師得到相對客觀的評價結(jié)果，從而更加有效地指導(dǎo)學生學習. 但是，我們也必須注意到，先修課不是高中階段的必修課程，是建立學生自愿學習基礎(chǔ)上的選擇性課程，教師不能單一地采用考試來評價與衡量學生. 為此，筆者認為應(yīng)該積極建設(shè)多元化的評價體系，以過程評價為主，通過評價來引導(dǎo)學生修正自己的學習方式和方法，提升他們的學習效果.

在微積分先修課的實踐過程中，筆者首先引導(dǎo)學生在每一次自主學習與合作探究的過程中就展開自主評價，評價的內(nèi)容主要包括參與研究的動機和態(tài)度、探索過程的自信程度、獨立思考的方法和習慣、合作探究的意識和熱情、數(shù)學能力的發(fā)展狀況等等，這些評價主要是定性的，筆者希望通過這樣的評價來促進學生展開反思和交流.

評價還可以是作業(yè)的完成情況，微積分先修課的作業(yè)包括常規(guī)的習題，還包括具有開放性和探索性的研究課題、數(shù)學學習心得體會、數(shù)學小論文等等，這些內(nèi)容可以覆蓋學生對知識的鞏固，幫助學生進一步發(fā)展學習興趣，實現(xiàn)學習方法的改進和優(yōu)化. 當然在課程結(jié)束時，我們再組織學生以考試和學習小結(jié)的方式來對整個學習進行整體的評價.

以上是筆者有關(guān)微積分先修課程開設(shè)過程的操作和思路的簡單介紹，中學數(shù)學先修課的開設(shè)和探索還剛剛開始，筆者的研究視角也比較狹隘，在后期的實踐過程中，筆者將深度探索和總結(jié)，努力設(shè)計出更加優(yōu)秀的課程資源.

參考文獻：

[1]? 李永濤. 平易近人的微積分[J]. 中學數(shù)學，2012（11）.

[2]? 姚貴豐. “重知識”還是“重過程”——高中數(shù)學概念教學模式的探討[J]. 中學數(shù)學教學參考，2017（21）.