運(yùn)用四維心理視角分析解決數(shù)學(xué)問題

姬梁飛

摘 ? ?要：心理因素在問題解決過程中起到至關(guān)重要的作用，對揭示、調(diào)節(jié)、導(dǎo)向、監(jiān)控個體的自我認(rèn)知策略具有重要影響.探索問題解決的心理思維機(jī)制，引導(dǎo)問題的發(fā)展和遷移，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，優(yōu)化解決問題策略，既是一項(xiàng)深刻而又含蓄的藝術(shù)，又是一種發(fā)展心理思維的教育智慧.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)問題;問題解決;數(shù)學(xué)方法;心理活動

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確提出“四能”課程目標(biāo)，從數(shù)學(xué)視角培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析及解決問題的能力[1].解決問題并非單純的智力活動，也是一種心理分析活動或認(rèn)知操作過程.波利亞認(rèn)為，把解題活動看成純粹的“智力活動”是錯誤的，它也是一種意志教育，決心與情緒起到了重要作用，學(xué)生若沒有機(jī)會體會到由解題活動帶來的各種情緒變化，那么這種數(shù)學(xué)教育是失敗的[2].所以，解決問題活動具有創(chuàng)造性與目的性，并受以思考和探索為主導(dǎo)下心理活動的影響.本文圍繞四個維度，從雙向、雙示、雙聯(lián)、雙維等視角，探究數(shù)學(xué)問題解決的心理思維過程，為問題解決提供一種理解和視角.

一、目標(biāo)導(dǎo)向：直接與迂回

解決問題具有強(qiáng)烈的目標(biāo)意識，正是問題的現(xiàn)狀與目標(biāo)之間的斷層引發(fā)了個體內(nèi)部心理認(rèn)知的矛盾沖突.良好的目標(biāo)導(dǎo)向能夠激發(fā)個體積極的心理狀態(tài)，利用目標(biāo)導(dǎo)向設(shè)計(jì)問題的解決方案，產(chǎn)生自覺探索、主動思考、克服困難的心理傾向.維果茨基提出的“最近發(fā)展區(qū)”理論，將學(xué)生發(fā)展的可能性和目標(biāo)鎖定在最近發(fā)展區(qū)，它是學(xué)生有可能做到，但又不能獨(dú)立完成的那個區(qū)域.如果目標(biāo)不明確，往往導(dǎo)致耗時耗力，或勞而無功.利用目標(biāo)導(dǎo)向，需要分清“欲求量”和“已知量”之間的關(guān)聯(lián)，“欲求量”是目標(biāo)，“已知量”是手段.在“欲求量”或“已知量”的周圍尋找出“相鄰近量”，選用“相鄰近量”打通兩者的聯(lián)系.同時，設(shè)計(jì)合理的解決方案或途徑，需要把握兩條目標(biāo)路線.第一種是直接路線，從問題的已有條件入手，選擇正面解決問題.第二種是迂回路線，從問題的結(jié)果或結(jié)論入手，采用間接的或曲徑通幽的，甚至是反面思考的方式解決問題.

依據(jù)問題的存在形式，問題分為原始形式、過渡形式和目標(biāo)形式.問題解決可以從原始形式開始，也可以從目標(biāo)形式開始，然后尋找適當(dāng)方法或路徑建構(gòu)過渡形式，完成問題形式的合理轉(zhuǎn)化.比如，方程和不等式問題可以選擇函數(shù)思想方法去解決，討論方程根的問題可以構(gòu)造輔助函數(shù)來解決，研究函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系可以運(yùn)用圖象、數(shù)形結(jié)合的方法來解決.

例1 ? 已知[m>0， n>0]，求證：[mn+nm≥][m+n][.]

剖析：①直接路線.作差：[mn+nm-m-n=（mn-n）+（nm-m）=（m+n）（m-n）2mn≥0.]

②迂回路線.因欲求目標(biāo)等價于[mm+nn≥mn+nm]，通過恒等變形，原命題成立的話，只需[（m-n）（m-n）≥0]成立.又因?yàn)閇m-n]與[m-n]的值同號，二者乘積必為非負(fù)數(shù)，故而原命題獲證.

一般地，問題的條件與結(jié)論是相輔相成的，可以根據(jù)條件論證結(jié)論，反之，也可以根據(jù)結(jié)論印證條件.如果條件簡明充分，求解思路清晰順暢，則可選直接路線，尋找相關(guān)中間量，由條件推證結(jié)論.如果結(jié)論過于繁雜，或已知條件無從下手，則可選迂回路線.其中常用的是反面思考策略，利用排除法、逆推法、反例法、反證法等方式求解.比如求證[2，3，5]不可能是等比數(shù)列中的三項(xiàng)，可假設(shè)其成立，然后尋找矛盾（推理結(jié)果和已知條件，已知公理、定義、定理產(chǎn)生矛盾，或從兩個不同角度得到的結(jié)論不一致等），從而間接解決問題.利用目標(biāo)導(dǎo)向是應(yīng)用已有的知識經(jīng)驗(yàn)去探索新情境中的問題，挖掘現(xiàn)有問題形態(tài)和欲達(dá)到的目標(biāo)形態(tài)間隱藏的關(guān)系.從而拓展兩種形態(tài)間相互轉(zhuǎn)化的路徑，縮短“已知量”和“欲求量”的距離，引導(dǎo)個體積極主動的心理思維過程，這也是目標(biāo)導(dǎo)向解決問題的優(yōu)勢所在.

二、模式識別：內(nèi)容與形式

英國數(shù)學(xué)教育家懷海特認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門關(guān)于模式的科學(xué)，本質(zhì)特征就是在對模式化的個體進(jìn)行抽象，并在這個過程中研究其模式[3].解決數(shù)學(xué)問題需要具備一定的識別能力，能夠識別研究對象的數(shù)學(xué)模式.蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家塔爾塔科夫斯基曾經(jīng)把解決問題類比為“捕捉藏在石頭堆里耗子”，他認(rèn)為捕捉石頭堆里的耗子有兩種辦法.其一，將石頭堆的石塊不斷地移開，直到露出老鼠.其二，圍繞石頭堆，留心觀察四周的石頭，是否有從石頭縫里露出的老鼠尾巴.若一旦發(fā)現(xiàn)，就抓住尾巴，將其從石頭堆里拖出來.

識別數(shù)學(xué)模式，有助于快速捕捉隱含信息，準(zhǔn)確認(rèn)識問題，有時哪怕僅前進(jìn)了微小的幾步，但卻極大地推動問題的解決.數(shù)學(xué)模式可以從內(nèi)容和形式等兩方面去識別，分析其內(nèi)涵結(jié)構(gòu)，觀察呈現(xiàn)形式.根據(jù)內(nèi)容與形式，在新情境中促成概念的形成與同化.只有培養(yǎng)敏銳的觀察與識別能力，才能充分挖掘必要信息，從本質(zhì)上認(rèn)識問題和解決問題.模式識別，需要發(fā)揮數(shù)學(xué)問題模式的明示與暗示功能.明示與暗示是一種普遍的心理現(xiàn)象，是個體與環(huán)境進(jìn)行信息交流的媒介，有時是直白的形式，有時是含蓄的方式，這些都需要個體用心去觀察和領(lǐng)悟.問題模式的明示功能具有提示數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)關(guān)系等典型特征的作用，暗示是通過特有的條件、結(jié)論、數(shù)據(jù)、關(guān)系、結(jié)構(gòu)、表達(dá)式等方式，為個體傳遞某種隱含信息，指引某種恰當(dāng)?shù)乃季S方法，或有助于個體提出新方案、新方法的感應(yīng)媒介，它具有開拓個體潛力、提升其想象力和創(chuàng)造力的作用.它們是發(fā)現(xiàn)、分析問題模式的顯性途徑和隱性工具，兩者相輔相成、相互配合，能夠?yàn)樽R別數(shù)學(xué)模式提供線索與思路，是引導(dǎo)個體直覺思維與發(fā)散思維的誘因.

例2 ? 已知函數(shù)[?（x）=9x9x+3]，求[ω=?（12019）+?（22019）+???+?（20182019）]的值.

剖析：仔細(xì)觀察函數(shù)自變量[12019，22019，…，20182019]的取值特征，首先它們是一個等差數(shù)列，其次收尾兩端“等距”的兩項(xiàng)之和為[1]，這是一個重要的暗示信息.為了不失一般性，不妨觀察它們“等距”兩項(xiàng)的函數(shù)值是否隱藏了類似的信息呢？由于[?（1-x）=91-x91-x+3=11+3?9x-1=39x+3]，那么[?（x）+?（1-x）=1.]果然，“等距”的兩個自變量的函數(shù)值為[1]，故有[ω=1009.]