情境視角下2019年高考數(shù)學(xué)試題評(píng)析及教學(xué)建議

熊露 趙思林 程雪蓮

摘 ? ?要：情境是高考數(shù)學(xué)命題的三大要素之一.2019年高考數(shù)學(xué)試題的情境設(shè)計(jì)，具有素材選擇面寬、背景公平新穎、時(shí)代氣息濃郁、敘述簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確、導(dǎo)向意圖明顯、社會(huì)反響熱烈等特點(diǎn)，教師應(yīng)熟悉《新課標(biāo)》對(duì)“情境”教學(xué)與測(cè)試的相關(guān)要求，教會(huì)學(xué)生“數(shù)學(xué)式閱讀”，提高有效信息的提取能力，讓學(xué)生積累解決情境新穎性問題的經(jīng)驗(yàn).

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);情境;試題;評(píng)析

情境是高考數(shù)學(xué)命題的三大要素（立意、情境、設(shè)問）之一，在高考數(shù)學(xué)命題中占有重要地位.教育部考試中心命題專家認(rèn)為，2019年高考數(shù)學(xué)試卷設(shè)置的情境真實(shí)，貼近生活，富有深厚的文化底蘊(yùn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決問題中的文化價(jià)值、教育價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值[1].

一、情境的教育意義

情境對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要意義.從教學(xué)角度看，一個(gè)好的情境至少有三大功能：第一，情境是問題之源，有了問題，數(shù)學(xué)就有了心臟;第二，情境是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的基本方法;第三，以新穎情境為載體可以檢測(cè)或考查學(xué)生是否能遷移數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題.情境是數(shù)學(xué)教學(xué)的起點(diǎn)，是發(fā)現(xiàn)新問題、提煉新知識(shí)、遷移應(yīng)用、積累經(jīng)驗(yàn)的共同基礎(chǔ).數(shù)學(xué)教學(xué)中的情境一般具有新穎性、現(xiàn)實(shí)性、生動(dòng)性、直觀性、趣味性、挑戰(zhàn)性、多樣性等特點(diǎn).

情境是設(shè)計(jì)高考數(shù)學(xué)試題的核心要素，對(duì)測(cè)試學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、信息提取能力、理解遷移能力、引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)等具有重要價(jià)值.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）把情境分為數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境、現(xiàn)實(shí)情境等類型.合適的問題情境是考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.設(shè)計(jì)高考試題一般是先立意，然后設(shè)計(jì)情境（即選擇試題的背景、素材等），最后是設(shè)計(jì)問題.本文以2019年高考數(shù)學(xué)試題為例，對(duì)一些情境新穎的試題作分析與評(píng)價(jià).

二、情境視角下2019年高考數(shù)學(xué)試題評(píng)析

（一）數(shù)學(xué)情境

數(shù)學(xué)情境主要是指數(shù)學(xué)問題情境.數(shù)學(xué)情境是基于數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（問題）運(yùn)動(dòng)、數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)審美旨趣等而產(chǎn)生的新穎情境.數(shù)學(xué)情境分為數(shù)學(xué)問題情境、數(shù)學(xué)史情境以及數(shù)學(xué)審美情境等類型.高質(zhì)量的數(shù)學(xué)情境能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、探究的興趣，從而使學(xué)生分析問題和解決問題的能力得以提高.

1.數(shù)學(xué)問題情境

數(shù)學(xué)問題情境主要以純粹數(shù)學(xué)（知識(shí)、模型、思想和方法等）為載體，是考查學(xué)生“四基”的一種情境.

例1 ? （2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第11題）關(guān)于函數(shù)[f（x）=sin|x|+|sin x|]，有下述四個(gè)結(jié)論：①f（x）是偶函數(shù);②f（x）在區(qū)間（[π2]，[π]）單調(diào)遞增;③f（x）在[[-π，π]]有4個(gè)零點(diǎn);④f（x）的最大值為2.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ? ?）.

A.①②④ B.②④

C.①④ D.①③

評(píng)析：本題屬于準(zhǔn)多選題.題目中兩個(gè)絕對(duì)值讓考生耳目一新，這正是本題情境的新穎之處，初看有似曾相識(shí)的感覺，細(xì)看卻無(wú)從下手.當(dāng)考生面對(duì)“兩個(gè)絕對(duì)值”的情境時(shí)，應(yīng)把去掉絕對(duì)值作為化歸的方向和目標(biāo)，這就需要考生具備運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力.再看問題的四個(gè)結(jié)論，涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)、最值，這些都屬于三角函數(shù)的性質(zhì).首先確定奇偶性，得到[f（x）]是偶函數(shù)，函數(shù)的研究區(qū)間可以減少一半，比如只考慮[[0，π]]的情況，兩個(gè)絕對(duì)值立即可去掉得到[f（x）=2sinx]，不難得到選項(xiàng)①④，故選C.

2.數(shù)學(xué)史情境

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)容.《新課標(biāo)》指出，數(shù)學(xué)承載思想和文化，是人類文明的重要組成部分.讓學(xué)生了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)成就，能夠增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感與民族自信心，激發(fā)愛國(guó)情感，真正落實(shí)立德樹人的根本任務(wù).

例2 ? （2019年浙江卷第4題）祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家.他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容易”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體體積公式V柱體=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示，則該柱體的體積是（ ? ?）.

A. 158 ?B. 162

C. 182 ?D. 32

評(píng)析：祖暅原理是我國(guó)古代最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)理論之一，具有重大的理論價(jià)值和實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值，它是推導(dǎo)體積公式、計(jì)算體積的通性通法，在立體幾何中占有重要地位.可惜現(xiàn)行教材把祖暅原理作為非必修的閱讀材料.本題的立意可能有以下幾點(diǎn)：一是體現(xiàn)“立德樹人”的教育根本任務(wù);二是通過(guò)介紹“祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家”，對(duì)考生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化教育和愛國(guó)主義教育;三是讓考生學(xué)習(xí)祖暅的探究精神和高超的數(shù)學(xué)智慧，增強(qiáng)民族自信心;四是學(xué)習(xí)柱體體積公式，并應(yīng)用該公式解決實(shí)際問題;五是通過(guò)三視圖還原立體圖形的思維過(guò)程，考查學(xué)生識(shí)圖、想圖、畫圖、用圖等空間想象能力;六是彌補(bǔ)教材（新課標(biāo)）之不足，給考生提供一次學(xué)習(xí)祖暅原理的機(jī)會(huì)，是一道不可多得的好題.本題以“我國(guó)南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖暅提出的祖暅原理”為情境，考查空間幾何體的三視圖及體積.先將三視圖還原為立體圖形，然后根據(jù)柱體體積公式進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案B.

3.數(shù)學(xué)審美情境

德智體美勞是學(xué)生發(fā)展的根本目標(biāo).我國(guó)長(zhǎng)期的應(yīng)試教育對(duì)美育比較淡化甚至缺位，嚴(yán)重影響了人的全面發(fā)展.美育常常起到“潤(rùn)物無(wú)聲”的奇效，美育就是讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)感受美、欣賞美、發(fā)現(xiàn)美和創(chuàng)造美，以美怡情，以美修身，以美促思，以美成事.數(shù)學(xué)中充滿了美，甚至可以說(shuō)，數(shù)學(xué)是美的王國(guó).數(shù)學(xué)以圖形的對(duì)稱美、符號(hào)的簡(jiǎn)單美、理論的統(tǒng)一美、邏輯的和諧美、思維的奇異美，激發(fā)無(wú)數(shù)學(xué)子對(duì)數(shù)學(xué)美的濃厚興趣.2019年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題中的“維納斯”“一朵云”（“云朵”）“心形線”等受到社會(huì)熱捧與盛贊，對(duì)國(guó)民是一次很好的審美教育.這對(duì)引導(dǎo)教師今后將美育融入數(shù)學(xué)課堂具有積極意義.

例3 ? （2019年全國(guó)Ⅰ卷第4題）古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是[5-12]（[5-12]≈0.618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是[5-12].若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105 cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm，則其身高可能是（ ? ?）.

A. 165 cm ?B. 175 cm ?C. 185 cm ?D. 190 cm

評(píng)析：本題成了公眾熱議的明星題目，褒貶不一，可謂見仁見智.由于題干較長(zhǎng)，閱讀量較大，致使不少考生費(fèi)時(shí)較多，且難解題意.破解本題的關(guān)鍵是，從煩瑣的文字?jǐn)⑹鲋刑崛￡P(guān)鍵的信息.本題以古希臘時(shí)期著名的“斷臂維納斯”為背景，考查學(xué)生估算思想、數(shù)學(xué)閱讀能力、信息提取能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力以及數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng).本題源自人教版小學(xué)六年級(jí)（上冊(cè)）數(shù)學(xué)教材，看似簡(jiǎn)單實(shí)則不易.從問題“其身高可能是”中的“可能”可知，本題并不需要求出身高的精確值，事實(shí)上也求不出來(lái).解答本題的思維有三個(gè)層次：“硬算”“估算”“不算”.最低層次是“硬算”，即先推算出此人身高的準(zhǔn)確范圍，然后做選擇;第二層次是“估算”;最高層次是憑借生活經(jīng)驗(yàn)（“歐美人平均身高比亞洲人高”;“模特的身高不低于170 cm”）而“不算”，可直接選B.

此外，2019年全國(guó)Ⅲ卷第22題以一朵美麗的“云”為情境精心設(shè)計(jì)問題，新穎有趣，廣獲好評(píng).本題以“云朵”為情境，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)源于生活”“數(shù)學(xué)用于生活”的理念，由此啟發(fā)學(xué)生善于從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、善于用數(shù)學(xué)解釋（解決）實(shí)際生活中的問題.這片“云朵”雖然很美，但也刺痛了一些考生的心.其原因是平時(shí)訓(xùn)練的題目一般只有一個(gè)半圓，現(xiàn)在的題目是三個(gè)半圓，這顯然不在考生的“題型范圍”和“解題經(jīng)驗(yàn)”之內(nèi)，這就必須要考生能夠“具體問題具體分析”了，這恰好是多數(shù)考生的“軟肋”.

（二）科學(xué)情境

自然科學(xué)的發(fā)展或進(jìn)步依賴于數(shù)學(xué).而數(shù)學(xué)的發(fā)展又推動(dòng)自然科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的發(fā)展也有賴于自然科學(xué)給數(shù)學(xué)提出的新問題和新挑戰(zhàn).數(shù)學(xué)可以為自然科學(xué)提供通用的概念、符號(hào)、模型與算法.數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到各門學(xué)科，如物理、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、考古學(xué)、信息學(xué)等學(xué)科.因此，數(shù)學(xué)具有廣泛的科學(xué)情境背景.創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膶W(xué)科科學(xué)情境，有利于加強(qiáng)各學(xué)科之間的聯(lián)系，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

1.物理情境

如果說(shuō)物理是科學(xué)的皇冠，那么數(shù)學(xué)就是科學(xué)的皇后.在學(xué)界常有“數(shù)理不分家”“要當(dāng)物理學(xué)家必須先當(dāng)數(shù)學(xué)家”的說(shuō)法.這都說(shuō)明，數(shù)學(xué)和物理學(xué)有密切的關(guān)系.其實(shí)，不少數(shù)學(xué)知識(shí)直接依賴（源）于解決物理學(xué)中計(jì)算的困難，如導(dǎo)數(shù)的發(fā)明是基于對(duì)瞬時(shí)速度的研究，定積分的一個(gè)背景是變力做功，三重積分的物理背景是尋找不均勻物體的重心，向量的產(chǎn)生直接源于力的合成與分解等.例如，2019年全國(guó)Ⅱ卷理科第4題以“嫦娥”四號(hào)實(shí)現(xiàn)人類歷史首次月球背面軟著陸的技術(shù)為情境，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和近似估算的能力.本題以物理學(xué)科知識(shí)為背景，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解，讓考生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與物理之間的緊密聯(lián)系.試題反映了我國(guó)航天事業(yè)取得的成就，激發(fā)了學(xué)生的民族自豪感和愛國(guó)情懷.

2.生物情境

2019年全國(guó)Ⅱ卷文科第4題以“兔子試驗(yàn)”為情境，考查古典概型知識(shí).本題創(chuàng)設(shè)生物實(shí)驗(yàn)情境，將數(shù)學(xué)與生物學(xué)聯(lián)系起來(lái)，具有啟發(fā)學(xué)生思考和聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)在生物中的廣泛應(yīng)用的作用.本題難度不大，容易得到答案選B.

3.天文學(xué)情境

2019年北京卷理科第6題以天文學(xué)中如何刻畫天體的明暗程度為背景，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、信息提取能力以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算.依據(jù)“太陽(yáng)的星等是[-26.7]，天狼星的星等是[-1.45]”的真實(shí)情境，假設(shè)太陽(yáng)、天狼星的星等和亮度分別記為[m1，m2，E1，E2]，再利用兩顆星的星等與亮度滿足的關(guān)系，就不難得到答案選A.

（三）現(xiàn)實(shí)情境

數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)世界，現(xiàn)實(shí)世界包括人們生活的物理世界、社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)狀、工業(yè)生產(chǎn)實(shí)踐、商品物流運(yùn)輸、人員互動(dòng)交往、真實(shí)生活情況等方方面面.數(shù)學(xué)是源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象而得到的數(shù)量關(guān)系和空間形式.“現(xiàn)實(shí)→數(shù)學(xué)”實(shí)質(zhì)上就是水平數(shù)學(xué)化，也是建立數(shù)學(xué)模型的基本路徑;“數(shù)學(xué)→現(xiàn)實(shí)”體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用功能.

2019年全國(guó)Ⅲ卷文理科第16題以“3D打印技術(shù)”“到工廠勞動(dòng)實(shí)踐”為情境，真實(shí)可信，展現(xiàn)數(shù)學(xué)與高新技術(shù)的完美結(jié)合，充分體現(xiàn)立德樹人的教育理念.“到工廠勞動(dòng)實(shí)踐”意在培養(yǎng)考生的勞動(dòng)意識(shí)和勞動(dòng)態(tài)度，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注勞動(dòng)、尊重勞動(dòng)、參加勞動(dòng)、學(xué)會(huì)勞動(dòng)，樹立勞動(dòng)光榮的思想，這屬于“立德”;應(yīng)用“3D打印技術(shù)”意在讓考生重視高新技術(shù)的學(xué)習(xí)和研究，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)技術(shù)、愛技術(shù)、用技術(shù)，這可歸結(jié)為“樹人”（培養(yǎng)人才）.“立德”“樹人”一起放在填空題中的壓軸題位置來(lái)考查，意在引起社會(huì)關(guān)注，因?yàn)閴狠S題是最容易被社會(huì)所關(guān)注的.此題考查了立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)、空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).答案為118.8.

（四）其他情境

2019年全國(guó)高考試卷中涉及的其他情境包括趣味邏輯型、中國(guó)古代文學(xué)名著和易經(jīng)八卦等.

例4 ? （2019年全國(guó)Ⅱ卷文科第5題）在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).

甲：我的成績(jī)比乙高.乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高.丙：我的成績(jī)比乙高.

成績(jī)公布后，三人的成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)椋?? ?）.

A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙

評(píng)析：“趣味邏輯”情境的創(chuàng)設(shè)有利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)習(xí)興趣.本題設(shè)計(jì)具有新穎性、趣味性，命題思路新穎別致.本題的基本特點(diǎn)是不需要“算”，只需“思”，體現(xiàn)多想少算的思想[2].根據(jù)乙和丙同學(xué)的預(yù)測(cè)中都有丙的成績(jī)比乙的成績(jī)高，可以推出丙的成績(jī)比乙的成績(jī)低，即丙和乙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，所以甲預(yù)測(cè)正確，故選A.此外，本題以“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)為情境，將高考與黨的政策巧妙結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心國(guó)家大事，關(guān)注社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，積極踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀，使學(xué)生樹立正確的人生觀、價(jià)值觀，體現(xiàn)對(duì)學(xué)生德育的滲透.本題是一道考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的好題.

2019年全國(guó)Ⅲ卷理科第3題以學(xué)生閱讀中國(guó)古典文學(xué)“四大名著”的調(diào)查數(shù)據(jù)為背景，巧妙地考查韋恩圖和統(tǒng)計(jì)等知識(shí).試題展現(xiàn)我國(guó)古代文學(xué)名著的魅力，鼓勵(lì)大家讀名著、思名著，吸取名著的文化精髓，引導(dǎo)學(xué)生正確對(duì)待名著中的故事、人物、事物，讓學(xué)生逐步形成正確的“三觀”即人生觀、世界觀與價(jià)值觀.通