經(jīng)驗(yàn)積累與方法內(nèi)化

汪杰

【課前思考】

“一般三角形的面積”一課，在面積公式推導(dǎo)序列中處于承前啟后的地位。在本課教學(xué)之前學(xué)生學(xué)習(xí)了直角三角形的面積公式，在本課教學(xué)之后將繼續(xù)探究其他平面圖形的面積公式，需要學(xué)生具備比較熟練的圖形轉(zhuǎn)化技能，積累相應(yīng)的公式推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)。而這些經(jīng)驗(yàn)與方法的儲備，都需要借助本課中“圖形轉(zhuǎn)化”與“公式推導(dǎo)”兩項(xiàng)活動來進(jìn)行。圍繞這兩項(xiàng)活動，筆者重點(diǎn)思考了以下兩方面問題。

1.圖形轉(zhuǎn)化方法有幾種？按照學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知基礎(chǔ)，一般會出現(xiàn)三種方法。第一種是“倍拼法”，即將三角形沿高線分割成兩個(gè)直角三角形，通過翻倍旋轉(zhuǎn)拼成一個(gè)大長方形。第二種是“剪拼法”，即將三角形沿高線中點(diǎn)并垂直于高剪開后旋轉(zhuǎn)拼成一個(gè)長方形。第三種是“分割法”，即把三角形沿高線分割成兩個(gè)直角三角形，求出面積和。

倍拼法與剪拼法依托的是直覺思維，通過直觀操作來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，不管是兩次倍拼，還是利用中位線實(shí)現(xiàn)雙向剪拼，都有助于發(fā)展學(xué)生的想象能力與創(chuàng)造思維。而分割法蘊(yùn)含著化繁為簡的思想，適用范圍最廣，但在公式推導(dǎo)時(shí)需運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行公式合并，對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力要求較高。

2.公式推導(dǎo)路徑是怎樣的？在圖形轉(zhuǎn)化后，首先進(jìn)行新舊圖形關(guān)系判斷，其中“倍拼法”屬于非等積轉(zhuǎn)化，其形成的長方形面積是三角形的2倍。其次進(jìn)行公式的演繹推理，把新圖形公式中的元素替換成與之對應(yīng)的三角形中的元素，從而得到新的公式。例如，“三角形的面積=長方形的面積÷2=長×寬÷2=底×高÷2”，整個(gè)過程就是一種等量代換。最后，由一個(gè)三角形的研究結(jié)論推廣到所有的三角形，滲透從特殊到一般的論證思路，感受數(shù)學(xué)結(jié)論的科學(xué)性與嚴(yán)密性。

【課堂實(shí)踐】

環(huán)節(jié)一：回顧舊知，激活經(jīng)驗(yàn)

（板貼一個(gè)銳角三角形圖）

師：這節(jié)課我們繼續(xù)來研究三角形的面積，這是一個(gè)銳角三角形，你認(rèn)為它的面積與哪些知識有關(guān)呢？

生：與它的底和高有關(guān)系。因?yàn)槲覀円褜W(xué)的直角三角形與長方形的面積都跟底和高有關(guān)。（呈現(xiàn)上述圖形面積公式）

師：有道理，那銳角三角形的面積公式該怎樣研究呢？

生：想辦法把銳角三角形轉(zhuǎn)化成長方形或者直角三角形。（板書：轉(zhuǎn)化）

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)已有知識和方法，激活經(jīng)驗(yàn)，明確目標(biāo)。）

環(huán)節(jié)二：探究一個(gè)銳角三角形的面積計(jì)算方法

1.呈現(xiàn)任務(wù)：銳角三角形的面積計(jì)算。

（1）想一想：把銳角三角形轉(zhuǎn)化成什么圖形呢？把想法畫出來。

（2）說一說：銳角三角形面積與新圖形面積之間的關(guān)系。

（3）寫一寫： 銳角三角形的面積如何計(jì)算呢？

2.學(xué)生獨(dú)立探究，教師巡視指導(dǎo)。

3.個(gè)體匯報(bào)，全班交流。

反饋一：倍拼法。

師：（指著高）為什么要沿著這條線分呢？它是三角形的哪部分？

生：它是高，這樣分就有兩個(gè)直角三角形了，翻倍就能形成長方形。

師：哦，你們懂他的方法嗎？試著說說是如何倍拼的。

（全班同學(xué)自由說后，繼續(xù)匯報(bào)學(xué)習(xí)單）

生：我發(fā)現(xiàn)：銳角三角形的面積=大長方形的面積。算式是5×4÷2=10。

生：不對，翻倍才得到長方形，三角形的面積應(yīng)該是它的一半。（學(xué)生認(rèn)同后，增添“的一半”三字）

師：那5×4÷2每個(gè)數(shù)字表示的是什么意思呢？

組織學(xué)生說理達(dá)成共識：“5×4”表示長方形的面積，“÷2”表示一半，并在下面標(biāo)注為“底×高÷2”。

反饋二：剪拼法。

（1）觀察剪拼的過程，辨析：為什么要沿著高的一半剪開？

得出：只有將一半處剪下來的三角形與缺的部分才能完全重合。

（2）討論：算式“5×2”中每個(gè)數(shù)到底表示什么？

重點(diǎn)理解“2”其實(shí)是高的一半得來的，把算式修改為“5×（4÷2）”，并在下面標(biāo)注為“底×（高÷2）”。

4.比較分析。

（同一張PPT出示2種方法的圖、算式及文字標(biāo)注）

師：同學(xué)們，想一想這些方法之間有什么共同的地方？

生：都把三角形轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的圖形。這樣就可以用已有的公式計(jì)算了。

生：每種轉(zhuǎn)化方法都畫了高。

師：高有什么用呢？

生：高是垂直于底的線段，它有直角，這樣才能變成長方形或直角三角形。

生：每種方法都有÷2，還有底×高。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)首先讓學(xué)生親歷轉(zhuǎn)化過程，獲得直接的操作經(jīng)驗(yàn);其次再組織觀察、辨析、想象等活動，積累豐富的替代性經(jīng)驗(yàn);再依托算式進(jìn)行說理，建立圖形間的聯(lián)結(jié)，為公式的推導(dǎo)埋下伏筆;最后通過比較分析，體會高作為三角形基本要素的關(guān)鍵作用。）

環(huán)節(jié)三：推導(dǎo)所有銳角三角形與鈍角三角形的面積公式

（課件呈現(xiàn)不同的銳角三角形與鈍角三角形圖）

師：那是不是任意一個(gè)銳角三角形面積都是“底×高÷2”呢？如果是鈍角三角形呢？是不是所有的三角形面積都是“底×高÷2”？讓我們打開學(xué)習(xí)單，同桌合作來展開證明。

1.同桌合作完成學(xué)習(xí)單。

2.集體反饋。

（1）展示倍拼法作品，教師追問：所有三角形都可以倍拼成大長方形嗎？

生：是的，每個(gè)三角形都有底和高，只要沿著高分開，左右翻倍都可以。

課件動態(tài)旋轉(zhuǎn)上述三個(gè)圖形后，教師追問：這樣斜放置的三角形也行？

學(xué)生演示說明：以這條邊做底，它可以分成兩個(gè)直角三角形，倍拼后的長方形是這樣的?。ㄕn件呈現(xiàn)對應(yīng)的長方形圖）

（2） 師生合作借助遞等式完成推理后，組織全體學(xué)生修正自己的推理過程。

（3）解釋：“底×高”指的是什么？為什么一定要“÷2 ”呢？

（4）展示剪拼法作品，學(xué)生互相解釋，完成推理過程，講清“高÷2”是什么。

（5）總結(jié)公式。

3.回顧過程，整理結(jié)論。

師：下面我們來回顧三角形面積公式的推導(dǎo)過程。

根據(jù)學(xué)生回答板書：圖形轉(zhuǎn)化—關(guān)系判斷—公式推導(dǎo)—結(jié)論推廣。

（設(shè)計(jì)意圖：借助多個(gè)不同類型、不同長度、不同位置的三角形進(jìn)行圖形轉(zhuǎn)化與公式推導(dǎo)，錘煉學(xué)生的推理能力，形成完整的公式探究程序。）

環(huán)節(jié)四：應(yīng)用公式解決問題

1.銳角三角形的底是7cm，高是4cm，求面積。

2.直角三角形三條邊分別是3 cm，4 cm，5 cm，求面積。

3.等腰三角形三條邊分別是5 cm，5 cm，6 cm，求面積。

討論（1）：“7×4”表示什么？能在你所說的圖形上指一指嗎？為什么“÷2”？

討論（2）：有同學(xué)列式：“7×（4÷2）”，你看得懂嗎？能來講給大家聽嗎？

討論（3）：第2題為什么不選擇數(shù)據(jù)5 cm？

討論（4）：第3題為什么不能用所學(xué)公式求出面積？

（設(shè)計(jì)意圖：做習(xí)題的目的不僅是為了公式的應(yīng)用，更是為了挖掘知識背后更深層次的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生建立圖示、算式、公式之間的意義聯(lián)結(jié)，體會對應(yīng)的底與高是求面積的關(guān)鍵。）

【課后思考】

一、合理使用載體，讓經(jīng)驗(yàn)生長有跡可循

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)需要在“做”中積淀，它是一個(gè)逐步積累的過程。在初次探究銳角三角形面積時(shí)，教師提供方格背景，讓隱藏的高線與中位線顯性化，從而降低操作與驗(yàn)證難度，使學(xué)生獲得豐厚的圖形轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)。在得到多種算法后，借助算式辨析含義，讓學(xué)生尋找數(shù)與形的對應(yīng)，溝通形與形的聯(lián)結(jié)，充分感悟公式背后的幾何意義。最后完成公式推導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、模仿、修正等過程，在不斷的等量代換中，形成嚴(yán)密而又簡潔的書寫格式，為后續(xù)的公式推導(dǎo)提供實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

二、精心設(shè)計(jì)問題，讓數(shù)學(xué)理解入木三分

數(shù)學(xué)深度理解是對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)的理解。例如在交流圖形轉(zhuǎn)化方法后，教師設(shè)問：“為什么都用到了高？”引導(dǎo)學(xué)生把視角聚焦于高的本質(zhì)是垂直線段，從而感悟到轉(zhuǎn)化前要思考新舊圖形間的特征;又如在公式推廣的過程中，動態(tài)旋轉(zhuǎn)圖形后設(shè)問：“這樣斜放置的三角形也行？”打破底在水平位置的定式，發(fā)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的本質(zhì)是能割成兩個(gè)直角三角形。

參考文獻(xiàn)：

[1]華建鋒.夯實(shí)基礎(chǔ) 厚積薄發(fā)[J].小學(xué)教學(xué)參考，2014（10）：8-11.

[2]吳偉林.教學(xué)過程要順應(yīng)學(xué)生的思維[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2015（10）：38-39.

（浙江省寧波市奉化區(qū)松岙鎮(zhèn)中心小學(xué)? ?315500）