沒有“約”還能估算嗎？

王穎

【摘? ?要】估算能力并不只是簡單的計算能力，它是一種數(shù)學(xué)推理能力。課標(biāo)要求培養(yǎng)學(xué)生的估算意識，發(fā)展學(xué)生的估算能力。而在實際教學(xué)中，學(xué)生往往習(xí)慣于精算，不愿意運用估算，不能靈活地選擇估算策略來解決具體問題。教師可通過“創(chuàng)設(shè)選擇性情境，體會估算需要”“引入不等式概念，簡化估算步驟”“設(shè)計多元化練習(xí)，發(fā)展估算意識”開展課堂學(xué)習(xí)，為估算教學(xué)實踐提供思路。

【關(guān)鍵詞】估算;實踐 ;策略

一、問題的緣起

估算是一種非常重要的計算策略。在解決實際問題時，根據(jù)不同的需要，可以采取不同的估算策略。然而，正是估算策略的多樣化，導(dǎo)致學(xué)生往往很難選準(zhǔn)估算策略。常?？梢月牭浇處焸兏袊@：“這道題明明可以采用更為簡便的估算來計算，為什么還要用復(fù)雜的精確計算來解決呢？”究竟是什么原因?qū)е聦W(xué)生舍易就難？帶著這個困惑，我們提出了以下三個問題：在學(xué)生正式學(xué)習(xí)估算之前，他們會估算嗎？學(xué)習(xí)估算后，他們能根據(jù)解決問題的需要正確選擇估算方法或精算方法嗎？怎么培養(yǎng)學(xué)生的估算意識？

二、分析與思考

（一）教材編排比較與分析

帶著疑問，筆者選擇了人教版、浙教版兩個版本教材進(jìn)行整理與分析。

1.人教版“估算與近似數(shù)”教學(xué)內(nèi)容整理

2.浙教版“估算與近似數(shù)”教學(xué)內(nèi)容整理

通過對兩個版本教材的梳理，我們發(fā)現(xiàn)無論是人教版還是浙教版，在估算內(nèi)容的安排上都有近似數(shù)、加減法估算、乘除法估算、四舍五入法估算等學(xué)習(xí)內(nèi)容，只不過在認(rèn)識順序上教材的安排各有差異。那么這些內(nèi)容編排上的差異對教學(xué)實踐會有什么影響呢？

（二）素材內(nèi)容選擇與分析

兩個版本的教材都將二年級下冊作為估算正式教學(xué)的起始時間，且都是在學(xué)習(xí)了《萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識》以后，將《三位數(shù)加減法估算》作為估算教學(xué)的第一課。那么對于估算教學(xué)的起始課，教材又是選擇怎樣的素材情境開展教學(xué)的？為什么選擇這些素材呢？為此，筆者對兩個版本的《三位數(shù)加減法估算》這一課的例題素材進(jìn)行了比較與分析。

1.人教版教學(xué)素材分析

人教版教材選擇了學(xué)生生活中常遇到的人民幣購物作為教學(xué)素材（見教材第96頁例13）。通過判斷500元錢是否夠買兩件商品，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以估算的解決策略。在此之前學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了近似數(shù)、萬以內(nèi)各數(shù)以及整百、整千數(shù)的計算，但還沒有學(xué)習(xí)三位數(shù)加減法的計算。因此，教材將估算教學(xué)的起始課安排在這里，一是因為學(xué)生已經(jīng)具有一定的估算知識的基礎(chǔ)，二是三、四位數(shù)的數(shù)值較大，學(xué)生又還沒有學(xué)過多位數(shù)的加減法計算，由于沒有精確計算作為基礎(chǔ)，學(xué)生在計算上存在一定的困難，采用估算的意識會更強(qiáng)。

2.浙教版教學(xué)素材分析

浙教版教材選取了圖書館藏書、購書這一學(xué)生生活中常見的實際問題作為估算教學(xué)的載體，結(jié)合情境提供的信息，提出數(shù)學(xué)問題，通過問題中的“大約”引出估算。從教材中我們可以發(fā)現(xiàn)，浙教版除了要學(xué)習(xí)怎樣估算，其實也學(xué)習(xí)了什么是“近似數(shù)”。如389接近400，308接近300等，這是因為在問題中出現(xiàn)了“大約”，這里的近似數(shù)正是基于估算的需要。此外，第一次出現(xiàn)了“≈”，約等號的出現(xiàn)有助于學(xué)生更好地表達(dá)估算結(jié)果，區(qū)分精算與估算的區(qū)別。

那么將是否有相應(yīng)精算經(jīng)驗作為基礎(chǔ)來學(xué)習(xí)估算，學(xué)生在算法選擇上又會有什么差異呢？

（三）學(xué)情調(diào)查分析與思考

為了進(jìn)一步了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，找到問題的癥結(jié)所在，筆者進(jìn)行了兩次調(diào)查，對象分別是二上學(xué)生和三上學(xué)生。調(diào)查二上學(xué)生主要是為了了解學(xué)生在學(xué)習(xí)估算之前是否具有一些估算的技能，調(diào)查三上學(xué)生主要是為了了解在學(xué)習(xí)乘法估算之前學(xué)生是否能夠利用知識的遷移，解決乘法的估算問題，同時了解學(xué)生在學(xué)習(xí)了近一年的估算計算后，是否形成一定的估算意識。下面就來看看我們的調(diào)查結(jié)果。

二上年級學(xué)生的調(diào)查情況如下（共45人）：

（分析：在這一連線題中，45位學(xué)生都是用精確計算出得數(shù)的方法來完成這一題的，可見在學(xué)生學(xué)習(xí)估算之前，他們還不會運用估算來解決問題。）

三上年級學(xué)生的調(diào)查情況如下（共43人）：

題1：估一估，連一連。

（分析：這一題有38位學(xué)生已經(jīng)能夠把兩位數(shù)看成整數(shù)，把8、9看成10來進(jìn)行計算，只有5位學(xué)生采用了精確計算的方法?？梢姰?dāng)學(xué)生有了估算的體驗，而缺少兩位數(shù)乘一位數(shù)精算經(jīng)驗時，能夠自發(fā)地將估算策略運用到乘法中去。）

題2：湖邊種著4排柳樹，每排有62棵。一共約有多少棵？

（分析：這一題有33位學(xué)生能夠運用估算的方法正確解決問題，有5位學(xué)生采用了精確計算的方法，有1位學(xué)生方法錯誤，還有4位學(xué)生采用了左圖這樣的方法。這樣的做法只是對數(shù)進(jìn)行了估計，而不是估算，更沒有用到估算的方法。）

題3：一篇文章400字，張叔叔平均每分鐘打53個字，8分鐘能打完嗎？

（分析：這道題在解決問題的方法上其實和題2是一樣的。但是學(xué)生采用的策略卻截然不同。43位同學(xué)中有40位是采用計算出準(zhǔn)確得數(shù)來判斷的，只有3位同學(xué)采用的是估算方法。）

從中我們可以發(fā)現(xiàn)，在二年級學(xué)習(xí)了估算之后，三年級學(xué)生對估算有了一定的認(rèn)識，能夠把一個數(shù)看成整十或者整百數(shù)來計算。但是到了第3題，學(xué)生卻都喜歡用準(zhǔn)確計算的方法來解決問題，原因是問題中沒有“大約”這樣的文字。由此可見，學(xué)生的估算還是機(jī)械式的，還沒有形成自主估算的意識。

三、方法與策略

難道沒有“約”學(xué)生就不會“估”了嗎？在估算教學(xué)的起始課中，我們該怎么做才能提升學(xué)生的估算意識，提高學(xué)生的估算能力呢？

（一）從課標(biāo)教參中尋找方向

讓我們先來看看課標(biāo)中關(guān)于“估算”的目標(biāo)要求：能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡單的估算（第一學(xué)段）;在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進(jìn)行估算（第二學(xué)段）。

那么，如何理解“選擇適當(dāng)?shù)膯挝弧边M(jìn)行簡單的估算？筆者認(rèn)為，這里的“單位”并不僅僅是指度量單位，同時也指計數(shù)單位，即個、十、百、千、萬。學(xué)習(xí)估算方法首先要學(xué)會對數(shù)的估計，而對數(shù)的估計其實質(zhì)就是對計數(shù)單位的選擇。從表述中我們可以發(fā)現(xiàn)，課標(biāo)對于“估算”的要求比較側(cè)重于“能估算”，強(qiáng)調(diào)“理解估算的意義”，但沒有明確具體地提出估算的方法。

那么，二年級下冊的教參對于估算又有哪些要求呢？

從兩個版本教參的教學(xué)目標(biāo)來看，人教版的教學(xué)目標(biāo)從物的估計、數(shù)的估計一直到算的估計，具體詳細(xì)，體現(xiàn)了梯度性;浙教版的教學(xué)目標(biāo)則從口算、筆算、估算一直到算法的意識，順應(yīng)了計算的發(fā)展過程，從中體會估算的價值。

（二）在已有設(shè)計中發(fā)現(xiàn)思路

那么，在具體教學(xué)中我們又是怎樣處理教材，開展教學(xué)的呢？以三位數(shù)加減法估算為例，從平時的教學(xué)研討以及通過上網(wǎng)查閱，我們發(fā)現(xiàn)了這樣一些做法（如下表）。

有“約”版教學(xué)設(shè)計的流程是：提出問題—區(qū)分問題—探討新知—認(rèn)識估算。有“約”版是帶有指向性的，在教學(xué)開始就明確了精算與估算的區(qū)別。帶“約”的數(shù)學(xué)問題對于學(xué)生來說要求更加明確，更具可操作性，同時在解決問題時，使用“≈”也更符合學(xué)生的列式習(xí)慣。但這樣的設(shè)計教學(xué)容量過大，教學(xué)時容易流于表面。

無“約”版教學(xué)設(shè)計的流程是：解讀問題—探究方法—體驗新知—認(rèn)識估算。無“約”版的教學(xué)設(shè)計則更加開放，內(nèi)容更加集中。它將近似數(shù)的認(rèn)識、整百整千的計算分別單獨作為一課時，在學(xué)習(xí)估算之前就進(jìn)行了教學(xué)，保證了估算教學(xué)的基礎(chǔ)，留給估算教學(xué)更多的體驗時間。雖然數(shù)學(xué)問題中缺少“大約”“估計”這樣的指向性詞語，學(xué)生在實際解決問題時仍然容易使用精算的方法，對于后30%的學(xué)生來說理解的難度較大，但是學(xué)生經(jīng)歷了算法選擇的過程，并且把估算的結(jié)果回到具體的情境中去分析，有利于估算意識的培養(yǎng)。

那么如何才能讓學(xué)生自覺地運用估算的方法解決問題呢？能不能將以上兩種設(shè)計思路融合起來解決我們教學(xué)時遇到的困難呢？

（三）將素材設(shè)計予以重組更新

我們嘗試將有“約”的具有可操作性的估算教學(xué)活動方式與無“約”的基于生活經(jīng)驗的估算教學(xué)活動方式相結(jié)合，力圖兼顧兩者的特色及長處，對課堂教學(xué)進(jìn)行重組與更新。下面的教學(xué)設(shè)計片段就以人教版二年級下冊《三位數(shù)加減法估算》為例。

1.創(chuàng)設(shè)選擇性情境，體會估算需要

什么情況需要運用精算，什么時候運用估算策略更合適，這是在估算課堂教學(xué)時需要培養(yǎng)學(xué)生形成的一種解決問題的意識。教材現(xiàn)有的例題情境既可以用估算也可以用精算。為了幫助學(xué)生更清晰地區(qū)分估算與精算在解決問題時的差異，引導(dǎo)學(xué)生選擇更合適的問題解決策略，我們對教材原有的例題進(jìn)行了改編。

問題一：下面哪種情況你會運用估算來解決問題，為什么？

A.售貨員阿姨要將微波爐和電飯煲這兩種電器的價格輸入收銀機(jī)的時候。

B.圍裙媽媽要確定700元錢是否夠買微波爐和電飯煲這兩種電器的時候。

C.當(dāng)售貨員阿姨告訴圍裙媽媽微波爐和電飯煲一共要付多少錢的時候。

D.當(dāng)售貨員阿姨在清點圍裙媽媽的付款的時候。

（分析：本題的四個選項中有三個選項是需要精算的，一個選項是可以估算的。在不需要計算只需要判斷的情況下，通過合理的觀察與思考，引導(dǎo)學(xué)生在對比中發(fā)現(xiàn)估算與精算在實際運用中的范圍差異，初步體會估算的作用。）

問題二：600元錢夠買上面哪兩種電器呢？（小組討論）

（分析：這是個開放性的問題，范圍比較廣，因此教學(xué)時運用了小組討論的模式。這個問題如果采用精算的方法也可以解決，但是計算會比較復(fù)雜。如果運用估算方法，以“百”作為計算單位，那么計算將會變得極為簡單。在這個研討的過程中，學(xué)生將充分體會估算在實際使用中的價值與意義，對估算產(chǎn)生好感。）

2.引入不等式概念，簡化估算步驟

估算在計算上雖然比精算要簡單，但其思維復(fù)雜程度卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于精算。估算雖然僅僅呈現(xiàn)一個近似值，但這個近似值必須是在合理范圍內(nèi)的。而教師又往往要求學(xué)生將估算的思路用算式的方式呈現(xiàn)出來，這就導(dǎo)致估算的步驟遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于精算的步驟。再加上現(xiàn)有的估算練習(xí)往往也可以用精算來解決，學(xué)生自然愿意用思維、步驟更簡單的精算來解讀問題了。

（1）弱化估大估小。

估大估小是估算教學(xué)中常常要面對的一個教學(xué)難點。很多學(xué)生能根據(jù)估算正確判斷出結(jié)果，但其估大估小的策略卻有可能是錯誤的。

比如“圍裙媽媽要買微波爐和電飯煲這兩種電器，700元錢夠嗎？”這個問題，在完成練習(xí)的41位學(xué)生中，有35位都能夠判斷是不夠的。但是在這35位學(xué)生中，有9位是估大的，他們估成430+360=790。有6位是一個數(shù)估大，一個數(shù)估小，他們估成420+360=780。而他們的判斷結(jié)果又都是一致的，都認(rèn)為700元不夠。這樣做能算對嗎？下面是課堂教學(xué)中師生的一段對話。

師：為什么估成430+360=790？

生1：430、360只比原數(shù)估大一點，但是兩個數(shù)加起來要比700多很多，所以原來的數(shù)加起來肯定比700大。

師：為什么估成420+360=780？

生2說：420少估了3，358多估了2，一共少估了1，少估了1還比700大這么多，原來數(shù)的和一定比700大。

（分析：多美妙的回答！可見學(xué)生在根據(jù)估算情況判斷結(jié)果時，對數(shù)據(jù)信息的處理過程、思考過程更為復(fù)雜，估算的思路也并不是只有一條。因此，筆者認(rèn)為是否可以嘗試弱化對估大估小的要求，即在某些問題中只要學(xué)生能夠理解具體題目的含義，能夠根據(jù)估算進(jìn)行正確判斷，就不必規(guī)定一定要用估大或者估小的方法。）

（2）引入不等式概念。

弱化估大估小最直接的方式就是在估算教學(xué)中引入不等式概念。在人教版二年級下冊估算起始課《三位數(shù)加減法估算》中，由于學(xué)生還沒有認(rèn)識“≈”，教材采用了敘述估算方法加列式的方式來呈現(xiàn)估算的過程（如右下圖）。但對于一些孩子來說，他們能夠理解估算的意思，但是不會表述。因此，我們能不能用一種更簡化的方式來幫助表述估算的意思？其實，估算就是根據(jù)不等式性質(zhì)來判斷結(jié)果的一種解題策略。我們可以運用這個性質(zhì)簡化估算步驟，體會估算性質(zhì)。

師：600元錢夠買上面哪兩種電器呢？請用算式表示你的思考過程。

生1：我覺得能買電飯煲和電風(fēng)扇，把358看成360，218看成220。360+220=580，所以358+218<600。（師板書算式）

生2：因為兩個數(shù)都估大了也只有580，所以它們的和一定小于600。

（分析：簡單的一個小于號，幫助學(xué)生清晰地理解了估算的推理過程，也幫助學(xué)生更好地區(qū)分了估大與估小在方法上的差異，讓學(xué)生能夠選擇更為恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行估算。估算的推理過程就是不等式性質(zhì)在第一學(xué)段的滲透過程。）

3.設(shè)計多元化練習(xí)，發(fā)展估算意識

（1）比較區(qū)分，加深理解。

問題一：媽媽買這兩件商品大約要帶多少錢？

問題二：要付給收銀員阿姨多少錢？

師：先請大家思考，這兩道題你覺得應(yīng)該用什么方法計算？

生1：問題一應(yīng)該用估算，而且要估得大一點。

生2：問題一問的是大約要帶多少錢，估計一下就可以了，要估大。

生3：問題二是要付多少錢，要準(zhǔn)確數(shù)，所以用精算。

（分析：運用兩個生活中的典型事例，通過對問題的辨析與比較，在解決問題的過程中加深對估算在實際運用中的理解與感受。）

（2）變式提升，發(fā)展能力。

下面的三種情況分別應(yīng)該用什么計算方法來解決，請你算一算。

①青山鎮(zhèn)電影院有3000個座位。青山鎮(zhèn)的三所小學(xué)各有八百多名學(xué)生。如果這三所小學(xué)的學(xué)生同時來看電影，能坐下嗎？

②汽車每小時大約行駛80千米，飛機(jī)每小時大約行駛810千米，飛機(jī)每小時大約比汽車快多少千米？

③小明說：“五一期間參觀天文館的人真多啊，都超過2萬人了?！蹦阌X得小明說得對嗎？為什么？

（分析：上面三個問題，問題①只能用估算的方法做，因為題目中并沒有準(zhǔn)確的學(xué)生數(shù)。問題②表面上看有“大約”這樣的文字，但由于汽車和飛機(jī)的速度就是一個估計的數(shù)字，因此解決問題時不需要把數(shù)字再次估算，只要根據(jù)數(shù)字直接精算就可以了。問題③可以用估算也可以用精算，但是學(xué)生會發(fā)現(xiàn)精算十分煩瑣，而估算則一目了然。通過這樣三道題的辨析與思考，可以幫助學(xué)生知道，有“約”不一定要估算，無“約”不一定不用“估”，要根據(jù)解決問題的實際情況選擇合適的計算方法。）

四、成效與反思

通過對教學(xué)內(nèi)容和設(shè)計進(jìn)行重組與更新，我們再一次進(jìn)行課例探討和教學(xué)實踐，并對其進(jìn)行了后測，情況如下：

從后測情況我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對估算的理解、使用能力都有了明顯的提高，尤其是對“既可精算也可估算的題目”愿意運用估算來解決問題了。

由于第一次后測是在課堂教學(xué)結(jié)束后一周內(nèi)進(jìn)行的檢查，是“趁熱打鐵”的結(jié)果。那么經(jīng)過一個學(xué)期后學(xué)生對估算的掌握情況又會有怎樣的變化呢？我們在新學(xué)期開學(xué)后又進(jìn)行了第二次后測，結(jié)果如下：

從第二次后測我們發(fā)現(xiàn)，前兩項測試結(jié)果與第一次差別不大，但對第三項“既可精算也可估算的題目”中，有近三分之一的學(xué)生選擇了用精算的方法來解決問題，可見學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中有反復(fù)現(xiàn)象。對于估算意識的培養(yǎng)不是一兩堂課就能完成的，需要我們在整個教學(xué)系列中不斷加強(qiáng)估算意識、估算能力的培養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]白改平.中美小學(xué)數(shù)學(xué)估算教學(xué)的差異分析及啟示[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（5）：70-71.

（浙江省杭州市余杭區(qū)塘棲三小教育集團(tuán)? ?311106）