高中函數(shù)概念起始課教學(xué)案例研究*

馬延紅

(河南省汝州市第一高級中學(xué) 河南 汝州 467599)

學(xué)生們在初中時已經(jīng)初步接觸了函數(shù)概念，到了高中將進行深入學(xué)習(xí)，而高中函數(shù)的概念強調(diào)對應(yīng)，是運用集合與對應(yīng)的關(guān)系來幫助學(xué)生認識函數(shù)，因此函數(shù)定義更加抽象，具有高度的形式化，因此理解起來有一定難度。所以在高中函數(shù)概念起始課的教學(xué)中，教師應(yīng)當明確教學(xué)重點為幫助學(xué)生理解高中函數(shù)的概念，結(jié)合已學(xué)的數(shù)集知識，形成對比分析。

1.創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實生活情境理解高中函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

初中函數(shù)概念強調(diào)x和y之間的變量關(guān)系，即，出現(xiàn)一個變量x，則有另一個唯一確定的變量y與之對應(yīng)，學(xué)生是通過運動和變化的關(guān)系來理解函數(shù)概念的。而高中函數(shù)的概念強調(diào)的是x和y之間的對應(yīng)關(guān)系，借助集合的概念理解函數(shù)。所以在起始課上為幫助學(xué)生順利進行思維轉(zhuǎn)變，教師可以聯(lián)系現(xiàn)實生活，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，幫助學(xué)生感受函數(shù)的對應(yīng)邏輯關(guān)系，如，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生的邏輯思維從研究常量向研究變量進行轉(zhuǎn)變，感受兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系[1]。

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，教師提出以下現(xiàn)實生活案例讓學(xué)生分析。

情境1：某蓄水池的水位高低以及蓄水量的變化列表如下：

水位(m)105120137蓄水量(m3)2.10×1076.09×1072.09×108

情境2：小明一家每天都要買一條魚，小明從媽媽的賬本上看到了每天買魚的花銷：

稱重(斤)11.52……花銷(元)14.9822.4729.96……

1.2 提問環(huán)節(jié)和分組討論，教師提出問題引導(dǎo)學(xué)生思考兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生圍繞問題進行討論。

教師：認真觀察兩個表格，考慮一下在這兩個變化過程中，存在幾個變量？這些變量之間有什么樣的關(guān)系？你是從哪看出變量關(guān)系的？嘗試用數(shù)學(xué)語言描述一下。

學(xué)生A：“兩個表格都有兩個變量，水位和蓄水量，承重和花銷?！?/p>

學(xué)生B：“水位和蓄水量是對應(yīng)的，水位高的話，蓄水量就大，而且每個水位都有一個對應(yīng)的蓄水量?！?/p>

學(xué)生C：“表2中魚的承重和買魚的花銷也是對應(yīng)的，稱重越大，花銷就越多。”

……

根據(jù)學(xué)生的回答，教師繼續(xù)進行引導(dǎo)：“從以上兩個表格中你們印象最深的是什么？”

部分學(xué)生的重點在于兩個變量上面，教師可以和學(xué)生繼續(xù)進行交流：“兩個變量之間存在著什么關(guān)系？一個任意的變量，另一個是唯一確定的變量，它們之間的關(guān)系用符號應(yīng)該怎么描述？”

接著教師板書：A→B，啟發(fā)學(xué)生的思考，學(xué)生經(jīng)過教師的反復(fù)引導(dǎo)之后，注意到：“兩個變量之間是對應(yīng)的關(guān)系?！?/p>

教師：“很好，那么你們再舉出一些現(xiàn)實生活的實例，看看現(xiàn)實生活中存在那些對應(yīng)思想?！?/p>

學(xué)生舉出了更多實例，如，汽車里程表的數(shù)據(jù)由于車輪的周長是固定的，那么汽車行駛中車輪轉(zhuǎn)了多少圈就是一個變量集合A，里程表的數(shù)據(jù)根據(jù)轉(zhuǎn)數(shù)來確定，就是一個集合B，兩者對應(yīng)關(guān)系是：車輪周長×轉(zhuǎn)數(shù)。

接著，教師繼續(xù)提出問題：“大家考慮一下為什么要研究這些變量和它們之間的對應(yīng)關(guān)系？”

學(xué)生D：“因為研究了它們之間的關(guān)系，我們知道一個變量就可以推導(dǎo)出另一個變量，比如，表2中，可以看出一條魚的單價是14.98元，每天買魚的花銷就是14.98×魚的重量?！?/p>

教師：“那么，如果我買了一條一斤的魚，我說花了兩份錢，一份是14.98，一份是21元，而且沒有打折沒有優(yōu)惠沒有特價，你們覺得可能嗎？”

學(xué)生E：“不可能，如果外界條件不變的話，一條魚的重量對應(yīng)一個總價?！?/p>

1.3 探索和升華，將現(xiàn)實情境進行邏輯思考和歸納總結(jié)，上升到數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)思維上。教師帶領(lǐng)學(xué)生回憶初中時學(xué)過的函數(shù)概念，在探討的基礎(chǔ)上對實例中的變量進行總結(jié)，并結(jié)合之前學(xué)過的數(shù)集的概念，將上述兩個例子運用數(shù)學(xué)概念進行解讀，實例中都涉及到兩個非空數(shù)集，也都存在某種對應(yīng)關(guān)系，而且根據(jù)討論，一個變量的變化會引起另一個變量的變化，而且一個變量只對應(yīng)唯一的另一個變量，那么用數(shù)集的概念來解釋就是：非空數(shù)集A和B，存在某種對應(yīng)關(guān)系，A中的任意一個變量X，在B中都有唯一的一個變量與之對應(yīng)。

在函數(shù)中對應(yīng)關(guān)系用y來表示，函數(shù)的形式可以表示為：y=f(x)，數(shù)集A為定義域，其中的任意x，在對應(yīng)關(guān)系下都會產(chǎn)生一個唯一的y，即：

方向性：A→B，(非空數(shù)集)

對應(yīng)關(guān)系：y；

關(guān)鍵詞：x(任意一個)，y(唯一確定)

注意：A→B中，A中的任意一個數(shù)，B都有唯一一個確定的數(shù)與之對應(yīng)，而B中的變量在A中對應(yīng)變量可以不唯一。

2.教學(xué)案例的研究和反思

2.1 教學(xué)過程解讀。高中函數(shù)的概念是在初中函數(shù)概念的基礎(chǔ)上發(fā)展和延伸的，但本質(zhì)上是一個新概念的產(chǎn)生，在起始課上教師可以用大量案例讓學(xué)生感受新概念對應(yīng)的現(xiàn)實生活情境，并通過案例中的對應(yīng)關(guān)系感受數(shù)學(xué)概念中的對應(yīng)關(guān)系，對于學(xué)生理解函數(shù)中的對應(yīng)關(guān)系幫助較大。在感受和理解變量之間的對應(yīng)關(guān)系之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生將看到的觀察到的真實案例進行提煉，這個過程也是概念形成的過程，學(xué)生參與其中就能明白函數(shù)的概念是怎么來的，是基于大量現(xiàn)實情境，用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)概念描述客觀事物的數(shù)量關(guān)系，再經(jīng)過抽象思維的處理形成新的數(shù)學(xué)概念[2]。

2.2 反思。函數(shù)起始課教學(xué)中，重點應(yīng)當是讓學(xué)生理解變量之間的對應(yīng)關(guān)系，關(guān)鍵詞是對應(yīng)關(guān)系，而經(jīng)過起始課教學(xué)后，部分學(xué)生的學(xué)習(xí)重點卻放在變量上面。所以在教學(xué)中，教師可以通過不同的圖表、表格和計算公式聯(lián)系所舉的實例，結(jié)合學(xué)生學(xué)過的知識，讓學(xué)生在新的情境下感受兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，不至于教學(xué)中出現(xiàn)重點偏移的現(xiàn)象。