善抓要點(diǎn)提思維 活化方法升素養(yǎng)
——淺議《數(shù)學(xué)歸納法》的教學(xué)

☉江蘇省金湖中學(xué) 陳萬斌

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指學(xué)生通過數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的積累與掌握、運(yùn)用與內(nèi)化，在實(shí)際情境中經(jīng)歷從數(shù)學(xué)的角度思考問題，用數(shù)學(xué)思想分析問題，用數(shù)學(xué)方法解決問題，進(jìn)而形成的能力、習(xí)慣和品質(zhì)等.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備的數(shù)學(xué)品格和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所應(yīng)達(dá)成的有特定意義的一種綜合性能力，應(yīng)當(dāng)在教與學(xué)的過程中引起教師與學(xué)生的關(guān)注.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是以數(shù)學(xué)知識(shí)與技能為基礎(chǔ)，以運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與技能解決問題為表現(xiàn)形式，數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握與相關(guān)的數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中形成的.而通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)，就能極大的提高思維能力，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

數(shù)學(xué)歸納法是高中階段的一種重要的證明方法，用來解決與自然數(shù)“n”有關(guān)的問題，有著其他證明方法不可替代的作用.學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)歸納法，不僅要解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，還要通過解決問題，來深化對(duì)數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)涵的理解，不是套用兩個(gè)機(jī)械的步驟，而是充分利用“有限”的手段來解決“無限”的問題；掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題的基本要點(diǎn)和注意事項(xiàng)；加深數(shù)學(xué)歸納法與其他知識(shí)和方法的聯(lián)系，從而提高解決問題的綜合能力；同時(shí)會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，不能固化；更重要的是通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)和運(yùn)用，強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法的數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提高學(xué)生善于聯(lián)系、擅長(zhǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng).

一、掌握歸納法要點(diǎn)

（一）注意兩個(gè)步驟

1.確定初始值n0

例題1比較2n與n2的大小并證明.

解析：當(dāng)n=1時(shí)，2n＞n2，當(dāng)n=2時(shí)，2n=n2，當(dāng)n=3時(shí)，2n＜n2，當(dāng)n=4時(shí)，2n=n2.

猜測(cè)：當(dāng)n≥5時(shí)，2n＞n2.

證明：（1）當(dāng)n=5時(shí)，25＞52，不等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥5）時(shí)，不等式成立，即2k＞k2.

則當(dāng)n=k+1時(shí)，2k+1=2·2k＞2·k2. 因?yàn)?k2-（k+1）2=k2-2k-1=k（k-2）-1＞0，

所以2k+1＞（k+1）2，故不等式也成立.

所以由（1）（2）可知：當(dāng)n≥5時(shí)，2n＞n2.

評(píng)議：從數(shù)值比較中確定初始值，進(jìn)而找到數(shù)學(xué)歸納法“遞推的基礎(chǔ)”.

2.觀察“項(xiàng)”的變化

評(píng)議：從“n=k”到“n=k+1”時(shí)要注意差異性，即“項(xiàng)”的變化，進(jìn)而推導(dǎo)出數(shù)學(xué)歸納法“遞推的根據(jù)”.

3.探尋兩步驟聯(lián)系

（1）尋找遞推的關(guān)系

例題3…（1+nx）（其中n∈N*且n≥2），其展開后含xr項(xiàng)的系數(shù)為

（2）設(shè)a2=h（n），a1=g（n），求證：h（n）

解析：（1）易知：a1=1+2+…

h（n+1）=h（n）+（n+1）g（n）.

證明：①當(dāng)n=2時(shí)，a2=2，而h（2）=

所以等式成立.

由①②可知：等式得證.

評(píng)議：第二步的“假設(shè)”本身就是一個(gè)“證明”.

（2）尋覓數(shù)式結(jié)合的橋梁

例題4已知數(shù)列{an}滿足的通項(xiàng)公式，并證明.

解析：可以利用特殊值運(yùn)算后猜測(cè)an=2n.

證明：①當(dāng)n=1，a1=1+1=2，猜想成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即ak=2k.

所以ak+1=2ak=2×2k=2k+1，所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.

由①②知：an=2n，n∈N*.

評(píng)議：抓住“假設(shè)”對(duì)數(shù)式進(jìn)行“分解與組合”.

（3）尋求內(nèi)在的規(guī)律

證明：（1）①當(dāng)n=2時(shí)，因?yàn)?＜x1，x2＜1，則（1-x1）（1-

②假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，結(jié)論成立.

由①的“證明規(guī)律”可知：

所以原題得證.

評(píng)議：通過第（1）問的證明發(fā)現(xiàn)內(nèi)在隱含的關(guān)系或規(guī)律，再將其用于第（2）問.

（二）注意二次證明

例題6求證（3n+1）·7n-1能被9整除（n∈N*）.

解析：預(yù)備證明7n+2能被3整除（數(shù)學(xué)歸納法證明，證明略）.

本題證明：設(shè)Dn=（3n+1）·7n-1，

（1）當(dāng)n=1時(shí)，D1=4×7-1=27=3×9，結(jié)論成立.

（2）假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立.

即Dk=（3k+1）·7k-1是9的倍數(shù)，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

由假設(shè)及預(yù)備證明可知Dk+1＝7ak+3（7k+1+2）也是9的倍數(shù)，所以結(jié)論也成立.

由（1）（2）知：對(duì)?n∈N*，（3n+1）·7n-1能被9整除.

評(píng)議：有時(shí)需要二次證明，即“預(yù)備”證明.

二、學(xué)會(huì)歸納法拓展

例題7已知x+x-1=2cosθ，求證：xn+x-n=2cosnθ（n∈N*）.

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，等式成立.

當(dāng)n=2時(shí)，x2+x-2=（x+x-1）2-2=（2cosθ）2-2=2cos2θ，所以等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)，等式成立.

即xk+x-k=2coskθ，xk-1+x-（k-1）=2cos（k-1）θ，

所以由（1）（2）可知：xn+x-n=2cosnθ.

評(píng)議：對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的拓展，俗稱“第二數(shù)學(xué)歸納法”.

三、開展多角度聯(lián)想

（一）與函數(shù)有關(guān)

例題8對(duì)任意x＞1，n∈N*，求證

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，只需證ex-1＞x.設(shè)F（x）=ex-1-x（x＞1），則F（1）=0.又x＞1時(shí)，F(xiàn) ′（x）=ex-1-1＞0，所以F（x）是（1，+∞）上的增函數(shù).故當(dāng)x＞1時(shí)，即有F（x）＞0，則ex-1＞x結(jié)論成立.

由（1）（2）可知：原題得證.

評(píng)議：建構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)本身的性質(zhì).

（二）與二項(xiàng)展開式有關(guān)

例題9已知n≥2且n∈N*，比較（n+1）n與2n·n！的大小.

證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，a2＞b2，不等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，不等式成立，ak＞bk，即

所以bk+1＜ak+1，則不等式也成立.

由（1）（2）可知：當(dāng)n≥2且n∈N*時(shí)，（n+1）n＞2n·n！.

評(píng)議：掌握證明過程中的知識(shí)交匯、方法交叉和交融.

數(shù)學(xué)歸納法雖然只有兩個(gè)步驟，只是解決與自然數(shù)“n”有關(guān)的命題，看似形式簡(jiǎn)單、步驟機(jī)械、應(yīng)用面狹窄，其實(shí)不然.其一數(shù)學(xué)歸納法本身格式嚴(yán)謹(jǐn)、內(nèi)涵豐富，理解數(shù)學(xué)歸納法需要感悟并深化其本質(zhì)；另外數(shù)學(xué)歸納法的步驟二本身就是一個(gè)“證明”，要求學(xué)生善于運(yùn)用“假設(shè)”；其二數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用廣泛，方法獨(dú)特；其三數(shù)學(xué)歸納法與其他知識(shí)、方法聯(lián)系密切，知識(shí)和方法的交叉能極大地提高學(xué)生的想象能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.通過教師的積極引導(dǎo)、學(xué)生的反思，不僅使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟、基本要領(lǐng)、基本應(yīng)用，而且能進(jìn)行靈活地運(yùn)用，特別是學(xué)會(huì)分析問題并能解決問題，更重要的是在學(xué)習(xí)過程中提高了學(xué)生的邏輯推理能力和善于聯(lián)想的意識(shí)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也因此得到了很大的提高，這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的最終目的.W