論教材中向量習(xí)題編排之“用心良苦”

☉江蘇省連云港市海濱中學(xué) 宋麗萍

☉山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)雪野鎮(zhèn)中心中學(xué) 張光發(fā)

《平面向量》是蘇教版必修4第二章的內(nèi)容，它不僅是高中數(shù)學(xué)中非常重要的知識點(diǎn)，也是我們解決諸多數(shù)學(xué)問題時常用的數(shù)學(xué)工具之一.平面向量是每年高考的必考內(nèi)容，它的考查內(nèi)容主要集中于向量的線性表示、向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的數(shù)量積這幾個方面，且在選擇題、填空題和解答題中都有出現(xiàn)過，難度不算大，以基礎(chǔ)題和中檔題為主，這類考題應(yīng)該是考生比較容易得分的題目，因此，在平時的學(xué)習(xí)過程中，我們要認(rèn)真研讀教材，弄清教材編寫者的意圖，只有對一類問題窮追不舍、舉一反三，才能在考試時做到“萬無一失”.本文就和大家一起來體會教材在處理向量的線性表示這一基本問題時的“用心良苦”.

【教材原題1】教材第69頁練習(xí)題第8題：如圖1，在△OAB中，C是AB的中點(diǎn)，設(shè)

【教材解讀】這個練習(xí)題安排在向量的數(shù)乘這一小節(jié)后面，我想編者的意圖應(yīng)該是希望學(xué)生可以借助于向量的數(shù)乘的知識來表示并加深對向量的數(shù)乘的理解，因此我們可以這樣來解：

圖1

其實(shí)，如果我們對題設(shè)條件中“C是AB的中點(diǎn)”仔細(xì)推敲，不難發(fā)現(xiàn)，可以借助這個中點(diǎn)將圖形補(bǔ)成一個平行四邊形，如圖2所示，然后根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，

圖2

【教材原題2】如圖3，在任意四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn).求證

圖3

圖4

【教材解讀】教材在此處安插本題，是對上面一道練習(xí)題的跟進(jìn)，此題中隱含了原題1中的基本圖形：連接EB、EC，如圖4所示，根據(jù)原題1中的結(jié)論，我們就能迅速將向量，然后再由向量加法的三角形法則，得

另外，此題也是對教材第64頁的思考“如果平面內(nèi)有n個向量依次首尾連接組成一條封閉的折線，那么這n個向量的和是什么？”的實(shí)踐，根據(jù)這個思考的結(jié)論：這n個向量的和是0，那么在封閉折線EFBA和封閉折線EFCD中，我們就有0，將兩式相加，有2

以上兩道教材原題都是從中點(diǎn)的角度來考慮，那么如果點(diǎn)不是中點(diǎn)，又該如何呢？教材在第71頁練習(xí)題第7題中給出了這類情形：

【教材原題3】如圖5，在△OAB中，C是AB上一點(diǎn)，且

圖5

圖6

【教材解讀】本題是將教材原題1中的中點(diǎn)C修改為三等分點(diǎn)C，雖然圖形稍有變化，但是仍然沒有擺脫原題1中的基本圖形的影響，我們可以取CB的中點(diǎn)D，構(gòu)造向量OD，如圖6所示，根據(jù)原題1中的基本圖形和結(jié)論，在△OAD中，有而這種解法所涉及的圖形在教材中又進(jìn)一步加強(qiáng)，如教材第72頁習(xí)題2.2中第10題：

【教材原題4】如圖7，設(shè)點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)，若試用a，b表示向量

圖7

這里我們就不再重復(fù)解答此題了，其解法和上題類似.

由此可以看到在教材原題1、原題3、原題4中，都是將點(diǎn)O與線段AB上某個定點(diǎn)之間所對應(yīng)的向量用不共線的向量來表示，而且我們發(fā)現(xiàn)向量前的系數(shù)之和為常數(shù)1，在這里我們自然就要思考這樣的問題：如果將點(diǎn)O與線段AB上的任意一點(diǎn)之間所對應(yīng)的向量用不共線的向量來表示，是不是向量前的系數(shù)之和也為常數(shù)1呢？教材上考慮到了這一點(diǎn)，我們一起來看課本第71頁例4：

【教材原題5】如圖8，在△OAB中，C為直線AB上一點(diǎn)，■

圖8

【教材解讀】此題只要將中的向量用向量表示即可解出，即，整理得（.有沒有發(fā)現(xiàn)向量前的系數(shù)相加為.從教材的編排順序上，我們不難看出編者的“用心良苦”，由直線上的定點(diǎn)逐步過渡到直線上的動點(diǎn)，這就把定向量問題轉(zhuǎn)變到動向量問題上來，這種潛在的轉(zhuǎn)變，符合學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)中的從熟悉到陌生、從特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想，至此，我們不難得出以下結(jié)論：

【結(jié)論】已知向量不共線，C為直線AB上任一點(diǎn)，若那么s+t=1.

上述結(jié)論是教材原題5的結(jié)論的延伸，其證明思路與方法和教材原題5類似，根據(jù)C為直線AB上任一點(diǎn)，得共線，再據(jù)平面向量共線定理，有而后用向量表示向量即可得到.讀到這里，你會不會問：如果將向量用兩個不共線的向量且s+t=1，那么A、B、C這三點(diǎn)是否共線呢？對于這個問題，我們教材在習(xí)題上也有了安排，請看教材第73頁第15題：

【教材原題6】已知向量不共線，設(shè)實(shí)數(shù)，且滿足a+b=1，求證：A，B，P三點(diǎn)共線.

【教材解讀】此題主要還是為了增強(qiáng)學(xué)生對向量共線定理的理解，在此處證明三點(diǎn)共線，其本質(zhì)就是向量共線，即證明以點(diǎn)A，B，P中的任意兩點(diǎn)構(gòu)成的具有公共點(diǎn)的兩個向量共線，而向量共線的證明正是向量共線定理的作用所在，只要將b=1-a代入，化簡即可得到共線得證，因此實(shí)施有效的轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.

向量的線性表示是向量的一種重要的表達(dá)形式，是向量部分的入門知識，也是后續(xù)學(xué)習(xí)向量知識的基石，因此我們在平時的學(xué)習(xí)中要對教材認(rèn)真研讀，細(xì)細(xì)品味，體會編者在教材中安排相關(guān)習(xí)題的意圖，并適時加以小結(jié)、歸納，如果我們對每個知識板塊都能如此用心，那么高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就會變得順暢起來.