例談注重“聯(lián)系”的高中數(shù)學(xué)公開課教學(xué)

☉浙江省臨海市大田中學(xué) 黃 柯

各級各類的公開課能夠有效地促進教師的專業(yè)成長，本文結(jié)合公開課教學(xué)的兩個方面談?wù)劰_課教學(xué)在促教促研上的巨大作用和意義，思考如何通過注重“聯(lián)系”的課堂教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生在聯(lián)系中進行對比、分析與反思并最終生成智慧.

一、聯(lián)系“舊課”并探查教學(xué)深加工的空間

區(qū)域教研的目標(biāo)之一就是讓教師以公開課為實踐園地來推動教學(xué)優(yōu)化，承載著對教研主題進行實踐性詮釋任務(wù)的公開課教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)研討的基礎(chǔ).因此，授課教師首先應(yīng)該做的便是根據(jù)主題回顧“舊課”并對教學(xué)深加工的空間進行探查，實實在在地解決教學(xué)中的問題與困惑，然后推動教學(xué)優(yōu)化.

案例1：兩角和與差的余弦.

教學(xué)片段1：促進認(rèn)知

眾生：一臉困惑的表情.

師：看來這是一個新問題，那么大家能否對兩角差的余弦的一般結(jié)論進行猜想與表述呢？

學(xué)生給出了“cos（α-β）=cosα-cosβ”之類的猜想，用α和β的三角函數(shù)來表示cos（α-β）是主基調(diào)，筆者對學(xué)生的猜想及時進行了肯定并引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系反例對猜想進行了否定.學(xué)生雖然對具體的公式不甚明了，但卻表現(xiàn)出了極大的探究興趣.不僅如此，學(xué)生對cosθ能否用α和β的三角函數(shù)來表示也進行了思考，筆者及時作出了在單位圓中兩次計算任意兩單位向量的數(shù)量積的引導(dǎo)：在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊分別作角α和角β并使其終邊分別與單位圓相交于A、B兩點，則A、B兩點的坐標(biāo)如何？向量的坐標(biāo)如何？假如把向量的夾角記作θ，大家是否能從向量的數(shù)量積定義與坐標(biāo)表示來求得呢？

學(xué)生很快得出cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ，問題也就轉(zhuǎn)化成了角θ、α、β之間關(guān)系的探究，這是一個一般性問題.

教學(xué)片段2：解決一般性問題

師：cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ我們得到了，不過角θ、α、β之間的關(guān)系是怎樣呢？大家能否結(jié)合教材內(nèi)容對這一問題進行初步的解決呢？

生1：畫出單位圓并設(shè)α=75°，β=15°，可得α-β=θ.

師：很好，從無“圓”到有“圓”的發(fā)現(xiàn)很不錯，不過大家對于θ、α、β之間的猜想有沒有錯呢？

生2：錯的，比如當(dāng)α=15°，β=75°時，α-β=-θ.

師：換成其他特殊角會怎樣呢？比如α=80°，β=10°或α=10°，β=80°呢？

生3：角α、β的終邊狀態(tài)在實質(zhì)上并沒有不同，因此仍有α-β=θ或α-β=-θ.

師：會不會是巧合？是否可以從終邊相同的角的集合的角度進行新的思考呢？是否有其他的可能？

生4：當(dāng)α=370°，β=80°時，有α-β=360°-θ；當(dāng)α=80°，β=370°時，有α-β=-360°+θ.

生5：還有α=440°，β=10°或α=10°，β=440°的情況，當(dāng)α=440°，β=10°時，α-β=360°+θ；當(dāng)α=10°，β=440°時，α-β=-360°-θ.

師：很好，大家能否從以上特殊化的探索中歸納猜想出角θ、α、β之間的關(guān)系呢？

生6：α-β=k·360°±θ，k∈Z.

師：很棒，你的猜想是對的，教材后面的習(xí)題也能使大家感受到這種一般化分類的方法，大家對于“余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù)”應(yīng)該也能理解了，那么是不是只要考慮0≤α-β≤π這一種情況呢？

生7：誘導(dǎo)公式有cos（α-β）=cos（k·360°±θ）=cosθ，這是余弦函數(shù)周期性與奇偶性的反映，當(dāng)0≤α-β≤π時，α-β即為向量的夾角θ.教材中表述的余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù)，且只需考慮0≤α-β≤π這一情況就是這個意思.

設(shè)計意圖：這是圍繞課程資源的教學(xué)交流活動，降低了提問的起點，且從方法論的角度上引導(dǎo)學(xué)生解決一般化問題的探究，并令學(xué)生在特殊化的探索中獲得了結(jié)論，課堂思維含量充足，恰到好處的課堂留白也讓學(xué)生活躍起來.

二、聯(lián)系“同課”并探查“異構(gòu)”之處

不同教學(xué)思維的碰撞和對比往往能夠更好地發(fā)現(xiàn)“同”中的“異”，也能將教師對教材的不同理解與處理方法充分地展現(xiàn)出來.

案例2：兩角和與差的余弦.

王第成老師曾經(jīng)就“兩角和與差的余弦”的教學(xué)做過思考，他的教學(xué)和案例1中的教學(xué)片段2在變換特殊量的“序”上并不相同.王第成老師的解決思路如下：根據(jù)向量的終點所在象限的不同，固定向量sin67°），（cos110°，sin110°），（cos260°，sin260°），這與案例1的教學(xué)片段2中的α-β=-θ、α-β=-360°+θ是相當(dāng)?shù)?，這種隨意的特殊化往往容易令學(xué)生獲得錯誤的結(jié)論；依托課本內(nèi)容的教學(xué)片段2從“隨意的特殊化”中發(fā)現(xiàn)了問題與可能的解決途徑，接著從α、β的大小以及終邊相同的角的集合的角度變換對應(yīng)向量中的角來引導(dǎo)學(xué)生體會本質(zhì)的“序”，順利建立“系統(tǒng)的特殊化”并歸納出一般化的結(jié)論：α-β=k·360°±θ，k∈Z.有學(xué)生在王第成老師的教學(xué)中這樣回答：不等于，不過由誘導(dǎo)公式可得到向量的夾角的余弦值與cos（α-β）是相等的.筆者認(rèn)為，對于學(xué)生的這一回答，教師應(yīng)作出以下引導(dǎo)：一定不等于？向量的夾角和α-β之間的關(guān)系是怎樣的？引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合特殊向量來完善“隨意的特殊化”，并建立“系統(tǒng)的特殊化”，最終獲得一般化的結(jié)論：α-β=k·360°±θ，k∈Z.這也是讓學(xué)生看到了過程的補充化說明.

三、聯(lián)系“異課”并探究“同構(gòu)”教學(xué)規(guī)律

教師對教材、教學(xué)設(shè)計、教學(xué)過程、學(xué)生活動等多個環(huán)節(jié)的有效反思與監(jiān)控能令其課堂教學(xué)效果不斷提高，筆者曾認(rèn)真考察過三位省級優(yōu)課評比一等獎授課教師的課堂教學(xué)，三位老師的教學(xué)內(nèi)容分別為數(shù)系的擴充、幾何概型和對數(shù)，筆者發(fā)現(xiàn)三位老師的授課內(nèi)容雖然不同，但在學(xué)生活動的思維疑惑處設(shè)計問題是其共同的特點，不僅如此，數(shù)學(xué)史的融入也使三位老師的課堂更加富有感染力.下面對這三位老師的課堂教學(xué)作淺要的分析.

師1將學(xué)生熟悉的負數(shù)、分?jǐn)?shù)、無理數(shù)等問題在解方程的環(huán)節(jié)中一一呈現(xiàn)，將數(shù)系的歷史發(fā)展規(guī)律在“做數(shù)學(xué)”中引入，使學(xué)生在回憶舊知的過程中獲得了數(shù)系的擴充規(guī)律與辦法.然后讓學(xué)生在面臨新問題時獲得認(rèn)知沖突：接受還是不接受方程x2+1=0無解呢？實數(shù)不夠用的形勢必然需要數(shù)集的擴充.實數(shù)集的擴充是怎樣的呢？將意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹解決“和為10的兩部分乘積等于40”的問題適時引入，令學(xué)生理解虛數(shù)產(chǎn)生的必要性的同時也理解了新數(shù)i的引入的合理性.

師2首先將法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯的畫像進行了投影并口述了他的名言，在學(xué)生注意力都相當(dāng)集中的時候以參賽抽簽為例進行了教學(xué)的過渡，和教材中的呈現(xiàn)不同的是，師2對剪繩子、射箭等概率問題還進行了整體分析并對不同于古典概型的特點進行了歸納整理，使學(xué)生在過渡中獲得認(rèn)知沖突并對新問題的解決產(chǎn)生探究的欲望.課后對布豐試驗的表述又令學(xué)生的求知欲望再次得到激發(fā)，德育教育也在無形中得到了滲透.

師3所設(shè)計的客觀實際需求問題使學(xué)生在能夠感知并挑戰(zhàn)的數(shù)學(xué)活動中更加活躍，引發(fā)學(xué)生困惑與認(rèn)知沖突的同時也令課堂教學(xué)活動更為生動.

問題一：光在某種介質(zhì)中每經(jīng)過1cm即會在強度上減弱成原來的一半，若最初的強度為1.

（1）經(jīng)過2cm后的強度是多少？

（2）經(jīng)過xcm后的強度y是多少？

（3）強度是0.125時，光經(jīng)過了多少cm？

問題二：方程有解嗎？等于多少？

師：大家認(rèn)為這個方程有解嗎？是不是唯一的？

生：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像可以說明它是有解的，如圖1，解為在函數(shù)中和函數(shù)值相對應(yīng)的自變量x的值.

圖1

師：很好，確實如此，有解且唯一.我們用以前學(xué)的知識根本求不出這個解，大家以前遇到過這樣的困境嗎？

師3及時給出了“分?jǐn)?shù)問題”“平方根問題”并引導(dǎo)學(xué)生對前人發(fā)現(xiàn)的歷史進行了追溯，這是為對數(shù)的生成所做的鋪墊.不僅如此，師3在學(xué)生發(fā)現(xiàn)需要新的符號來表的解時又及時進行了跟進：太棒了，指所確定的，這種新形式的“數(shù)”早在400年以前便被創(chuàng)造出來，其創(chuàng)造者是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾.解決指數(shù)運算困境的同時所融入的數(shù)學(xué)史教育令學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的價值再添印象.

總之，教師在公開課的設(shè)計與教學(xué)中應(yīng)經(jīng)歷問題的確認(rèn)、想法的形成、教學(xué)的設(shè)計、課堂的觀察以及課后的評價反思等環(huán)節(jié)，這也是發(fā)展教育理解力、批判力、建構(gòu)力的豐厚土壤.W