☉江蘇省儀征市第二中學(xué) 俞仁宗

“試卷評(píng)析”是每個(gè)數(shù)學(xué)教師都必須完成的一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生總結(jié)得失并根據(jù)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行尋根思底是試卷評(píng)析最基本的任務(wù)，除此以外，教師還應(yīng)在試題研析的基礎(chǔ)上進(jìn)行專題的開發(fā)，使學(xué)生能夠在有意義的試題拓展和延伸中得到能力的發(fā)展.

以下面的典型試題為例進(jìn)行試題評(píng)析如下：

題目：若不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則滿足條件的實(shí)數(shù)a組成的集合為_____.

測試評(píng)析：

考查統(tǒng)計(jì)：528名考生中答對(duì)的僅有31人，得分率在6%以下.

錯(cuò)因分析：①時(shí)間緊迫而放棄此題的解答；②存在根據(jù)絕對(duì)值的意義求解的思路，但最終在系數(shù)問題上止步而無法求解；③分類討論時(shí)覺得煩瑣而欠缺條理致使解題半途而廢.

教學(xué)反思：①教學(xué)趨于常態(tài)，對(duì)歸納、提煉、經(jīng)驗(yàn)積累等環(huán)節(jié)較為忽略；②教學(xué)中未對(duì)學(xué)生進(jìn)行探究的策略引導(dǎo)，致使學(xué)生的思維在低層次的訓(xùn)練中未能達(dá)到應(yīng)有的深度；③對(duì)“通性通法”過于重視而忽略了“技巧”訓(xùn)練.

評(píng)析教學(xué)預(yù)設(shè)：①從最簡單的入手并逐步深入，引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)“區(qū)間套”的探索與思考中獲得“最優(yōu)點(diǎn)”；②引導(dǎo)學(xué)生在此題的評(píng)析、探索與反思中獲得對(duì)此類題目的解題領(lǐng)悟，并因此獲得經(jīng)驗(yàn)的積累和持久的掌握.

教學(xué)過程：

教師：研究|x-1|+|x-3|的最小值有哪些方法呢？

學(xué)生2：借助數(shù)軸來研究也行得通，如圖1，當(dāng)x2∈［1，3］時(shí)，|x2-1|+|x2-3|是最小的.

圖1

教師：大家能對(duì)其中的一般性結(jié)論進(jìn)行總結(jié)嗎？

學(xué)生3：（|x-a|+|x-b|）min=|a-b|.

教師：不錯(cuò)，事實(shí)上，閉區(qū)間［1，3］上所有的點(diǎn)都能令其取得最小值.那么如果我們將絕對(duì)值增加至3個(gè)，如|x-1|+|x-2|+|x-5|，是否還能得出一個(gè)結(jié)論呢？

學(xué)生討論……

學(xué)生4：觀察發(fā)現(xiàn)|x-1|+|x-2|+|x-5|=|x-1|+|x-5|+|x-2|，經(jīng)過這樣的調(diào)整，我們?nèi)菀椎贸觯▅x-1|+|x-5|）min=4，2也正好在區(qū)間［1，5］之內(nèi)，若把x=2代入即可獲得最小值4.

學(xué)生鼓掌.

教師：若是4個(gè)呢？比如|x-m1|+|x-m2|+|x-m3|+|x-m4|？

學(xué)生5：從圖2的觀察中可以得出，閉區(qū)間［m2，m3］上的點(diǎn)既能令|x-m2|+|x-m3|取得最小值，同時(shí)也能令|x-m1|+|x-m4|最小.因此可得出以下結(jié)論：若是2n（n∈N*）個(gè)絕對(duì)值相加，當(dāng)x=mn或x=mn+1時(shí)，均能取得最小值.

圖2

圖3

學(xué)生6：可以發(fā)現(xiàn)x∈［mn，mn+1］時(shí)能取得最小值.

教師：若是奇數(shù)個(gè)絕對(duì)值相加又會(huì)怎樣？

教師：還有其他一般性的結(jié)論嗎？

學(xué)生進(jìn)入再次的探究中…

學(xué)生8：從分析中可以得出，取閉區(qū)間上的點(diǎn)和取中間點(diǎn)均能歸結(jié)為“特征點(diǎn)”問題，也就是說對(duì)于K個(gè)絕對(duì)值相加，第即為需要的“特征點(diǎn)”.

教師：非常好！我們在線性規(guī)劃問題中曾經(jīng)探尋過“尖點(diǎn)”來解決最值問題，這一“以點(diǎn)帶面”的經(jīng)典范例也是處理數(shù)學(xué)問題的重要舉措.那么，絕對(duì)值前面的系數(shù)不是“1”的問題又應(yīng)該怎樣解決呢？例如：求3|x-1|+5|x-3|的最小值.

學(xué)生9：可以將3|x-1|+5|x-3|轉(zhuǎn)化成3（|x-1|+|x-3|）+2|x-3|，從前面看，只要x∈［1，3］，|x-1|+|x-3|總有最小值，|x-3|最小能令整個(gè)式子取得最小值，則令x=3即可，其最小值是2.

學(xué)生10：化歸到上面的研究中也是可行的，將3|x-1|+5|x-3|拆成|x-1|+|x-1|+|x-1|+|x-3|+|x-3|+|x-3|+|x-3|+|x-3|，將前面3個(gè)“1”看成不同的點(diǎn)，原問題即轉(zhuǎn)化成了“8個(gè)點(diǎn)”的問題，中間一個(gè)即為|x-3|，把3代入就解決問題了.

學(xué)生鼓掌.

教師：大家再來看看以下兩個(gè)式子，大家能否以最快的速度求出其最小值呢？

①6|x-1|+5|x-2|+17|x-3|；

②|x+1|+2|x+2|+|x-1|+4|x-7|.

學(xué)生11：①（6|x-1|+5|x-2|+17|x-3|）min=6|3-1|+5|3-2|+17|3-3|=17.

學(xué)生12：②（|x+1|+2|x+2|+|x-1|+5|x-7|）min=|7+1|+2|7+2|+|7-1|+5|7-7|=32.

教師：大家在探究的過程中有什么體會(huì)？

學(xué)生13：我在探究時(shí)感受到了“重心”的味道.

教師：為什么呢？

學(xué)生13：我感覺在系數(shù)不同的情況下，系數(shù)較大能占據(jù)較大的主動(dòng)權(quán).

教師：太棒了！其他同學(xué)可有什么看法？

學(xué)生14：我的看法跟他不同，對(duì)于6|x-1|+5|x-2|+17|x-3|，三點(diǎn)的“重心”應(yīng)該為：如果以2.5來代入運(yùn)算，結(jié)果為20，還是比17大啊.

教師：大家能對(duì)其中的緣由進(jìn)行解釋嗎？

學(xué)生15：“區(qū)間套”的最小子區(qū)間與“重心”并不一定是同一回事，略有“傾斜”的現(xiàn)象也不影響我們的判斷.

教師：那么，在“區(qū)間套”和“重心”這兩者之間，我們應(yīng)看好哪個(gè)呢？

學(xué)生15：區(qū)間套.

教師：那么我最后作一下總結(jié)吧.

學(xué)生16：如果有2n-1（n∈N*）個(gè)絕對(duì)值相加，最中間的一個(gè)即為“特征點(diǎn)”；如果有2n個(gè)絕對(duì)值相加，將區(qū)域［mn，mn+1］的右端點(diǎn)作為“特征點(diǎn)”.

學(xué)生17：對(duì)于k1|x-m1|+k2|x-m2|+…+kn|x-mn|，首先求出k1+k2+…+kn，假如k1+k2+…+kn是奇數(shù)，選擇第個(gè)點(diǎn)代入運(yùn)算；假如k1+k2+…+kn是偶數(shù)，選擇第+1個(gè)點(diǎn)代入運(yùn)算.

學(xué)生19：絕對(duì)值內(nèi)x的系數(shù)不是1又該怎么辦呢？

學(xué)生20：將系數(shù)從絕對(duì)值里提出來就沒有問題了.

教師：這一探究正好是華羅庚教授的一個(gè)觀點(diǎn)的印證，我們在解決復(fù)雜問題時(shí)要能夠“退”并“退”到最原始且又不失重要性的地方，這種足夠的“退”也是解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)訣竅.正確的“退”有利于我們探尋問題的出處，不僅如此，合理的“退”還能對(duì)命題者的心理與意圖進(jìn)行準(zhǔn)確的揣摩并因此在解題中順利搭建思維臺(tái)階，最終發(fā)現(xiàn)題目中的基本原理而令問題順利得解.大家要懂得復(fù)雜源于簡單、抽象源于具體，并因此在解決問題時(shí)對(duì)問題進(jìn)行拆解、類比、圖示、列舉并最終順利獲得解題的突破.

（多媒體投影）

解：由題意可得|2x-a|+|3x-2a|≥a2恒成立?（|2x-a|+|3x-2a|）min≥a2.問題立即轉(zhuǎn)化成了求（|2x-a|+|3x-2a|）min問題.由

大家在上述探究之后還會(huì)一五一十地進(jìn)行分類討論嗎？大家對(duì)于此題有沒有感覺這甚至是一條心算口答題呢？我相信很多同學(xué)都能脫口而出，給一答案.W