積極引導探究，讓數(shù)學教學更有效

☉江蘇省揚州市邗江區(qū)瓜洲中學 沈 亮

從某個角度來說，數(shù)學教學就是教會學生如何學數(shù)學.教師講學生聽的這種教學模式雖然由來已久，但已經(jīng)不能適應當前的教學形勢.讓學生變被動學習為主動學習，把學習的權(quán)利交還給學生，讓學生主動探究，已經(jīng)成為數(shù)學教學模式的主流.那么，教師應如何積極引導學生探究，讓數(shù)學教學變得更有效呢？在此，筆者談談在數(shù)學課堂教學中滲透探究性學習的一些體會，供同行參考.

一、在新授課的概念教學中引導探究性學習

數(shù)學學習一般是從概念與定義開始.在這些概念與定義的教學中，由數(shù)學概念與定義的產(chǎn)生，該如何得到概念與定義？又該如何理解這個概念與定義呢？這些都由教師一人承擔，而學生只是默默地聽，默默地記，長此以往的后果就是學生的思維能力不斷下降，甚至萎縮，學生學習的積極性蕩然無存.

如，在《雙曲線》教學中，部分教師這樣展開教學：

我們已經(jīng)知道，與兩定點的距離的和為常數(shù)的點的軌跡通常是橢圓，那么與兩定點的距離的差為非零常數(shù)的點的軌跡是怎樣的曲線呢？我們一起做個實驗?。ń處熢诤诎迳涎菔荆?/p>

工具：圖釘，筆，拉鏈.

方法：將拉鏈拉開一部分，在拉開的兩邊上各選取一點，分別固定在F1，F(xiàn)2上，點F1到點F2的長為2c（c＞0）.把筆尖放在M處，隨著拉鏈逐漸拉開或閉攏，筆尖就畫出一條曲線.

請大家想一想：這條曲線是滿足什么條件的點的集合？（引出下面問題）

平面上與兩定點的距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點的軌跡是什么？

教師講解：設這兩個定點分別為F1與F2，動點為P，非零常數(shù)為2a，則有||PF1|-|PF2||=2a，

（1）在0＜2a＜|F1F2|條件下：|PF1|-|PF2|=2a時為雙曲線的一支（含F(xiàn)2的一支）；|PF2|-|PF1|=2a時為雙曲線的另一支（含F(xiàn)1的一支）.

（2）當2a=|F1F2|時，||PF1|-|PF2||=2a表示兩條射線.

（3）當2a＞|F1F2|時，||PF1|-|PF2||=2a不表示任何圖形.

教師引導：在雙曲線的定義中應當注意2a=||MF1|-|MF2||＜|F1F2|=2c這一條件.例如：平面內(nèi)一點M到兩定點F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0）的距離差是6時，點M的軌跡是雙曲線的右支，當差等于8時，點M的軌跡是兩條射線，當差大于8時無軌跡，這幾種情形都不是雙曲線.理解雙曲線應注意理解定義中的條件.

上述教法，從數(shù)學知識的角度來看，無可挑剔，而從引導學生學習的角度來看，有待商榷.因為在這個教學過程中，教師充其量就是一個表演者和解說員，學生都成了看客，不能夠主動加入到探究雙曲線概念的活動中來.那么如何讓學生主動參與到探究活動中去呢？教師必須要創(chuàng)設探究情境.

例如在《雙曲線》這節(jié)概念課中，教師應該讓學生主動動手實驗，通過畫雙曲線的實驗活動，讓學生自己總結(jié)雙曲線的定義，并思考|PF1|，|PF2|與|F1F2|的數(shù)量關(guān)系.這樣把問題拋向?qū)W生，學生自然會通過主動探究，來獲知利用雙曲線定義時的幾個注意點.

筆者以為，要想讓學生學會探究，教師應該從概念教學開始，積極創(chuàng)設探究情境，并積極引導學生主動探究.

二、在習題教學中引導學生探究性學習

習題教學既是數(shù)學教學的重要組成部分，也是引導學生探究性學習的主要環(huán)節(jié)之一.在教學過程中，教師可以從不同角度引導學生進行思考，從而誘發(fā)新問題，發(fā)展新思維，進而把學生引向探究境地.因此可以是對問題的變式進行探究，以問題串的形式出現(xiàn)，由淺入深，由簡單到復雜，環(huán)環(huán)相扣，步步為營，讓學生探究起來欲罷不能，也可以是一題多解式探究，讓學生通過對多種解法的探究，感悟數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，欣賞數(shù)學世界的無限風光.尤其是在高三復習課上，要讓學生通過一題多解的方式來展現(xiàn)自我的探究能力.

如，在平面向量一輪復習中，筆者讓學生以下面一題為載體，探究多種解法.

例題給定兩個長度為1的平面向量，它們的夾角為120°.如圖1所示，點C在以點O為圓心的圓弧

圖1

經(jīng)過學生集思廣益，從多角度進行探究，竟然發(fā)現(xiàn)了7種解法，令人贊嘆.

學生分別從特殊值法，坐標法，函數(shù)法，不等式法，利用數(shù)量積轉(zhuǎn)化為方程問題等多個角度加以探究，最終獲得7種解法.限于篇幅，本文選摘其中的兩種思路來求解，以饗大家.

1.考慮向量的數(shù)量積的運算

所以x+y=2［cosα+cos（120°-α)］=2sin（α+30°）.

所以當α=60°時，（x+y）max=2.

解法2：（兩邊平方法）因為

所以x+y≤2，當且僅當x=y=1時取等號.

所以（x+y）max=2.

2.考慮平行四邊形法則

解法3：過點C作CM∥OB交OA的延長線于點M，作CN∥OA交OB于點N，則四邊形OMCN是平行四邊形.由向量加法的平行四邊形法則得：△OMC中，設∠AOC=α，則∠BOC=120°-α，且|OM|=x，|MC|=y.

圖2

由正弦定理可得：

所以x+y=2sin（α+30°）.

所以當α=60°時，（x+y）max=2.

解法4：由余弦定理可得|MC|2-2|OM|·|MC|cos60°，

即1=x2+y2-xy=（x+y）2-3xy≥（x+y）2-3·

所以x+y≤2，當且僅當x=y=1時取等號.

所以（x+y）max=2.

從以上學生的探究過程中不難發(fā)現(xiàn)，只要教師因勢利導，學生的數(shù)學能力必將得到極致的發(fā)揮.常言道：群眾的力量是無窮的，讓學生合作學習，通過探究，往往能起到1+1＞2的效果，也更能體現(xiàn)出探究性學習的價值.

三、在開放式問題的解決中引導探究性學習

數(shù)學問題具有嚴謹性的特點，雖然可以訓練學生思維的嚴謹性，但數(shù)學問題更需要具有開放性的特點，因為開放式問題更能引導學生積極探究，主動創(chuàng)新.因此，在數(shù)學教學過程中，設計開放式問題，甚至答案不唯一，不確定的數(shù)學課題，是學生開展探究性學習的最有效的載體.在平時的教學中，可以讓學生總結(jié)解題規(guī)律，總結(jié)某知識點的用途，甚至可以讓學生研究歷年高考題的題型分布，讓學生從學習的初級階段向高層次的探究階段轉(zhuǎn)化.

比如，在學習了函數(shù)單調(diào)性之后，筆者給學生布置了這樣一道開放題：

函數(shù)單調(diào)性有哪些用途，試舉例說明.

這是一個開放式探究性問題，學生經(jīng)過合作探究，得到了如下成果（例題解答略）：

1.利用函數(shù)單調(diào)性解方程，如：解方程2x3+x=18；

5.利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，如：已知a，b，c∈R+，c＜a+b且c＞a-b，求證：

在數(shù)學教學過程中，創(chuàng)設數(shù)學開放式問題，既是培養(yǎng)學生探究能力的需要，也是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的體現(xiàn).

總之，選擇適當?shù)慕虒W方法進行數(shù)學教學，引導學生進行探究性學習，是培養(yǎng)學生綜合能力的重要環(huán)節(jié)，是教學改革的必然趨勢，是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.