基于凸優(yōu)化Chirplet字典的線性調(diào)頻信號稀疏重構(gòu)算法

姜 凱，李小波，周青松

(國防科技大學(xué)，安徽 合肥 230037)

0 引 言

線性調(diào)頻信號作為一種寬帶信號，在雷達(dá)信號中廣泛應(yīng)用。目前針對線性調(diào)頻信號的參數(shù)估計方法主要采取時頻分析的方法，常見的如短時傅里葉變換(STFT)、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FrFT)等，近年來壓縮感知[1]的方法也得到了廣泛應(yīng)用，如基于正交匹配追蹤(OMP)算法等。文獻(xiàn)[2]提出了基于STFT的參數(shù)估計方法，其問題在于時頻聚集性弱。文獻(xiàn)[3]基于OMP算法實現(xiàn)了對線性調(diào)頻信號的參數(shù)估計，其優(yōu)點在于算法復(fù)雜度低，但估計精度不夠。文獻(xiàn)[4]提出了基于Gabor字典的凸優(yōu)化稀疏重構(gòu)算法，但Gabor字典對線性調(diào)頻信號的匹配性能不夠理想。針對上述問題，本文提出了基于Chirplet字典的凸優(yōu)化基追蹤重構(gòu)算法。

1 信號時頻原子表示模型

線性調(diào)頻(LFM)信號是一種大時寬帶寬積信號，其瞬時頻率隨時間線性變化。其信號表示如下：

(1)

式中：A為信號幅度；f0為載頻；μ為調(diào)頻斜率。

圖1 線性調(diào)頻信號

字典構(gòu)建在稀疏重構(gòu)中極其重要，Mallt首次基于冗余字典進(jìn)行了稀疏重構(gòu)[5]，字典構(gòu)建中最重要的是時頻原子的選擇。由測不準(zhǔn)原理可知，Gabor原子具有最小的時頻窗口，因此其時頻聚集性較好。Gabor原子由時移、頻移、尺度因子3個參數(shù)決定，是一種三參數(shù)原子。其缺點在于原子頻率不隨時間變化而變化，在識別線性調(diào)頻信號時，效果相對四參數(shù)Chiplet原子[6]較差。Chirplet原子在Gabor原子的基礎(chǔ)上增加了調(diào)頻率，1999年Bultan首次提出時頻分析的Chirplet原子[7]，其表達(dá)形式如下：

(2)

式中：r=(s,u,ζ,β)，為參數(shù)集；g(t)選擇標(biāo)準(zhǔn)高斯函數(shù)；β為調(diào)頻率，當(dāng)β=0時，此時只有3個參數(shù)，上述公式簡化得到Gabor字典，其公式如下：

(3)

對上述2種原子進(jìn)行Wigner分布仿真，其結(jié)果如圖2所示。

圖2 原子實部及其Wigner分布圖

由時頻圖可以看出，Gabor原子的頻率不隨時間變化，Chirplet原子的頻率隨時間線性變化。因此，對于線性調(diào)頻信號而言，Chirplet字典具有更好的匹配效果。

2 凸優(yōu)化基追蹤模型

信號的稀疏重構(gòu)目前常用的有貪婪算法和凸松弛算法2種。貪婪算法具有計算復(fù)雜度低的優(yōu)點，但其無法確保全局最優(yōu)解；而凸松弛算法的優(yōu)點是可以獲得全局最優(yōu)解，但問題是算法復(fù)雜度高。本文采用凸優(yōu)化基追蹤算法，其信號重構(gòu)模型可以表示為：

(4)

上述問題是一個非凸的NP難問題，針對該問題進(jìn)行l(wèi)1范數(shù)凸松弛，即可得到基追蹤表示模型：

(5)

上述模型可以改寫為如下形式：

(6)

式中：‖Ax-y‖2為擬合誤差；γ為調(diào)整因子。

凸優(yōu)化基追蹤模型可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題[4]，可以通過內(nèi)點算法解決。本文采用原對偶內(nèi)點算法解決該大規(guī)模優(yōu)化問題，利用基于同質(zhì)模型和Mehrotra預(yù)估-矯正算法[8]提高了算法的魯棒性，相比于障礙函數(shù)內(nèi)點法性能有較大的提升。

二階錐規(guī)劃的原問題可以表示如下：

(7)

對偶問題可以表示為：

(8)

式中：K為凸錐；K*為對偶錐。

上述對偶問題的同質(zhì)模型可表示為：

(9)

原對偶內(nèi)點算法的步驟如下：

(1) 初始點選擇(x0,τ0,y0,s0,κ0)，其中(x0,τ0,s0,κ0)>0。εf,εg>0，γ∈(0,1)，η=1-γ。

(2) 迭代次數(shù)k=0。

(3) 計算：

(10)

(5) 解線性方程組：

(11)

式中：Xk=diag(xk)；Sk=diag(sk)。

(6) 對θ∈(0,1)，令αk為優(yōu)化目標(biāo)值：

(12)

(7) 進(jìn)入下一次迭代k=k+1。

(8) 跳至步驟(3)。

針對Chirplet字典的調(diào)頻斜率選擇，本文采用迭代方式，在一定范圍內(nèi)進(jìn)行循環(huán)迭代，通過計算重構(gòu)信號與原始信號的誤差和來確定最優(yōu)Chirplet原子，進(jìn)而利用篩選獲得的最優(yōu)原子進(jìn)行信號重構(gòu)，通過解模糊相位重構(gòu)獲得瞬時相位，對相位進(jìn)行差分獲得瞬時頻率，二階差分獲得調(diào)頻斜率信息。

3 仿真分析

設(shè)信號為基帶線性調(diào)頻信號，信號幅度為1，帶寬20 MHz，脈寬5 μs，采樣頻率40 MHz。仿真結(jié)果如圖3～圖7所示。

實驗1：最優(yōu)原子調(diào)頻斜率

設(shè)迭代次數(shù)為200，通過迭代尋找重構(gòu)信號與原始信號誤差和最小的調(diào)頻斜率，由實驗仿真得此時斜率應(yīng)設(shè)為6.1e12，誤差和為3.819e-6。

圖3 原子調(diào)頻斜率選擇

實驗2：信號重構(gòu)及重構(gòu)誤差

由仿真圖像(圖4)可知，重構(gòu)信號各點的誤差極小，能夠?qū)崿F(xiàn)對信號的精確重構(gòu)。

圖4 重構(gòu)信號及重構(gòu)誤差

實驗3：信號相位重構(gòu)及調(diào)頻斜率

通過對重構(gòu)復(fù)信號進(jìn)行反正切運算，得到重構(gòu)信號的瞬時相位，但此時相位存在卷繞現(xiàn)象，通過相位解卷繞運算，得到瞬時相位，對瞬時相位進(jìn)行差分即可得到瞬時頻率。仿真結(jié)果如圖5、圖6所示。

圖5 相位重構(gòu)

圖6 瞬時頻率重構(gòu)

實驗4：算法對比

將本文算法與文獻(xiàn)[4]算法進(jìn)行對比，其結(jié)果如圖7所示。

圖7 誤差對比

通過對比可知本文算法誤差極小。

4 結(jié)束語

寬帶線性調(diào)頻信號參數(shù)估計問題在雷達(dá)信號偵察中意義重大，本文基于Chirplet字典構(gòu)建了一種基于凸優(yōu)化基追蹤的稀疏重構(gòu)算法，通過將原來的基追蹤問題轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題，再通過原對偶內(nèi)點算法進(jìn)行求解。仿真分析證明本文算法能夠精確重構(gòu)寬帶線性調(diào)頻信號，實現(xiàn)瞬時頻率和相位信息的精確重構(gòu)。本文的不足之處在于Chirplet原子的調(diào)頻斜率需要通過迭代搜索，這導(dǎo)致算法運算復(fù)雜度較高，針對算法復(fù)雜度的問題有待進(jìn)一步研究。