基于改進(jìn)龍格-庫(kù)塔法反艦導(dǎo)彈貯存壽命研究

李 強(qiáng)，謝春思，蓋 強(qiáng)，吳 帥

(海軍大連艦艇學(xué)院，遼寧 大連 116018)

0 引 言

可靠性是產(chǎn)品在使用時(shí)間內(nèi)不發(fā)生故障的性質(zhì)[1]。對(duì)數(shù)正態(tài)分布在可靠性工程中是一種重要的壽命分布，常用于描述產(chǎn)品的耐磨壽命與疲勞壽命[2]，廣泛應(yīng)用于半導(dǎo)體器件的壽命實(shí)驗(yàn)、加速壽命實(shí)驗(yàn)、電子設(shè)備的平均維修時(shí)間和電子元器件的可靠性增長(zhǎng)過程[3-4]。

長(zhǎng)期不工作或不使用的狀態(tài)通常稱為非工作狀態(tài)(包括庫(kù)房貯存、運(yùn)輸、戰(zhàn)備值班等)，也稱為貯存狀態(tài)。反艦導(dǎo)彈具有“長(zhǎng)期貯存、一次使用”[5]的特點(diǎn)，導(dǎo)彈從發(fā)射到擊中目標(biāo)，工作時(shí)間較短，絕大部分時(shí)間都處于貯存狀態(tài)，對(duì)于具有高可靠度的反艦導(dǎo)彈，貯存壽命直接影響其可靠性。因此，研究反艦導(dǎo)彈的貯存壽命，提高反艦導(dǎo)彈的可靠性具有現(xiàn)實(shí)意義。

在可靠性工程中，失效率作為可靠性特征量具有重要的意義。通常情況下，產(chǎn)品失效率是時(shí)間的函數(shù)，失效率函數(shù)曲線一般呈浴盆狀，分為3個(gè)階段：早期失效期、偶然失效期和耗損失效期，例如指數(shù)分布的失效率函數(shù)為常數(shù)，威布爾分布則能全面地描述浴盆曲線的各個(gè)階段，正態(tài)分布的失效率函數(shù)隨時(shí)間增長(zhǎng)呈遞增趨勢(shì)。因此問題隨之而來，對(duì)于任意分布的失效率函數(shù)是否滿足浴盆曲線值得研究，而對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)正是一個(gè)例外，隨著產(chǎn)品使用時(shí)間的增長(zhǎng)，它的失效率并不符合浴盆曲線，有文獻(xiàn)稱之為“倒浴盆”形[6]，文獻(xiàn)[6]從理論上證明了對(duì)數(shù)正態(tài)分布失效率函數(shù)的單調(diào)性。本文通過龍格-庫(kù)塔法，運(yùn)用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真得到其失效率函數(shù)曲線，分析曲線變化趨勢(shì)，得到失效率的漸近值。

1 對(duì)數(shù)正態(tài)分布失效率函數(shù)

設(shè)隨機(jī)變量t的自然對(duì)數(shù)lnt服從均值為μ和標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布，則此對(duì)數(shù)正態(tài)分布失效概率密度函數(shù)f(t)，累積失效概率函數(shù)F(t)，可靠度函數(shù)R(t)，這些特征量可表示為[7]：

(1)

(2)

(3)

由失效概率密度函數(shù)f(t)、可靠度函數(shù)R(t)與失效率函數(shù)λ(t)三者關(guān)系可知故障率為：

(4)

2 反艦導(dǎo)彈可靠度的龍格-庫(kù)塔法仿真

龍格-庫(kù)塔法常用于微分方程的數(shù)值計(jì)算，是一種在工程上應(yīng)用廣泛的高精度單步算法。龍格-庫(kù)塔法的理論基礎(chǔ)來源于泰勒公式和使用斜率近似表達(dá)微分，利用在積分區(qū)間內(nèi)多預(yù)估幾個(gè)點(diǎn)的斜率，進(jìn)行加權(quán)平均，以此為平均斜率的近似值，抑制誤差，從而構(gòu)造出精度更高的數(shù)值積分[8]。

由于龍格-庫(kù)塔法利用數(shù)值積分求解積分域0～t的微分方程，而可靠度R(t)的積分域?yàn)閠～∞，為了使其滿足龍格-庫(kù)塔法使用條件，通過累積失效概率函數(shù)與可靠度函數(shù)的關(guān)系式：

R(t)=1-F(t)

(5)

首先構(gòu)造微分方程：

(6)

式中：均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ均為給定常數(shù)。

取步長(zhǎng)h為0.001，由龍格-庫(kù)塔法[9]：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

由式(3)、(4)、(5)，通過Matlab對(duì)可靠度函數(shù)R(t)與失效率函數(shù)λ(t)進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖1～圖4所示。

圖1 當(dāng)μ=0.5時(shí)，對(duì)數(shù)正態(tài)分布可靠度函數(shù)圖

圖2 當(dāng)μ=0.5時(shí)，正態(tài)分布可靠度函數(shù)圖

由圖1和圖2可知，當(dāng)均值μ=0.5時(shí)，對(duì)數(shù)正態(tài)分布與正態(tài)分布的可靠度函數(shù)均在短時(shí)間內(nèi)降低，呈遞減趨勢(shì)，通過延長(zhǎng)仿真時(shí)間，可靠度函數(shù)最終趨于零。對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)的可靠度明顯高于正態(tài)分布函數(shù)的可靠度，對(duì)于反艦導(dǎo)彈的壽命，自然環(huán)境和人為因素影響其均值大小，從而影響其可靠度，在可靠度高于0.5的范圍內(nèi)，標(biāo)準(zhǔn)差越小，壽命的可靠度隨時(shí)間下降速率減緩。

圖3 當(dāng)μ=0.5時(shí)，對(duì)數(shù)正態(tài)分布失效率函數(shù)圖

圖4 當(dāng)μ=0.5時(shí)，正態(tài)分布失效率函數(shù)圖

由圖3知，當(dāng)均值μ=0.5時(shí)，對(duì)數(shù)正態(tài)分布的失效率函數(shù)在短時(shí)間內(nèi)隨時(shí)間迅速增大，達(dá)到最大值，然后呈遞減趨勢(shì)，通過延長(zhǎng)仿真時(shí)間，失效率函數(shù)最終趨于零。由圖4知，當(dāng)均值μ=0.5時(shí)，正態(tài)分布的失效率函數(shù)表現(xiàn)為隨時(shí)間增加呈遞增趨勢(shì)。通過比較對(duì)數(shù)正態(tài)分布與正態(tài)分布失效率函數(shù)圖，得到了不同失效機(jī)理對(duì)應(yīng)的失效率函數(shù)，對(duì)于反艦導(dǎo)彈的壽命，標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)其失效率影響較大，盡管當(dāng)貯存壽命的標(biāo)準(zhǔn)差較小時(shí)，它有較低的失效率，但在短時(shí)間內(nèi)失效率又迅速增大，因此標(biāo)準(zhǔn)差并不能作為失效率唯一的評(píng)判依據(jù)。

反艦導(dǎo)彈的貯存可靠壽命可根據(jù)其貯存失效率求得[10-11]，如式(12)所示：

(12)

式中：L為反艦導(dǎo)彈貯存可靠壽命；λ為反艦導(dǎo)彈貯存失效率；R為臨界可靠度的要求值。

通過式(12)，可以根據(jù)不同要求值的臨界可靠度，計(jì)算反艦導(dǎo)彈的貯存可靠壽命。例如：對(duì)于貯存失效率λ=0.134 976 3×10-6/h，滿足可靠度R=99%，反艦導(dǎo)彈貯存壽命為：

3 結(jié) 論