存在等式約束的時差頻差聯(lián)合定位性能分析

張冠杰

(中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081)

0 引 言

隨著無源定位技術(shù)的發(fā)展，基于多平臺的高精度無源定位，在軍用和民用領域都有著非常廣泛的應用前景。在多平臺無源定位技術(shù)中，利用多個觀測平臺接收目標信號的到達時差(TDOA)定位技術(shù)，從定位算法到誤差分析都已有研究成果。針對空中運動平臺，時差定位技術(shù)并未充分利用平臺的運動特性。平臺的運動特性導致接收信號的頻率上產(chǎn)生多普勒頻移，因此該頻移隱含了目標的位置信息和相對運動信息。如果在測量TDOA的基礎上，增加測量接收信號的到達頻差(FDOA)信息，則可能會提高目標的定位精度。為了衡量運動多平臺時差頻差聯(lián)合定位方法的定位性能，采用定位誤差下界實現(xiàn)定位性能的度量。

文獻[1]給出了多星對地面目標單次TDOA/FDOA聯(lián)合定位的克拉美-羅界(CRLB)計算方法，分析了在地球表面方程約束條件下的單次定位CRLB分布圖，驗證了在單次定位情況下，聯(lián)合定位比單獨利用時差或者頻差定位可以獲得更高的定位精度。文獻[2]給出了固定多站對運動輻射源的TDOA/FDOA定位方法，分析了單次定位誤差的CRLB，以及利用濾波擴展卡爾曼(EKF)協(xié)方差估計了多次定位誤差的CRLB。文獻[3]分析了在等式約束條件下TDOA/FDOA單次定位的CRLB計算方法，并證明了帶等式約束的CRLB比無約束的CRLB更精確。文獻[4]分析了運動多站時差定位的多次定位誤差CRLB。文獻[5]分析了存在觀測站位置誤差時的多站時差定位誤差CRLB。文獻[6]分析了主動和被動2種情況下機動目標的CRLB，提供了一種矩陣理論分析方法。文獻[7]分析了衛(wèi)星干擾源定位中的誤差影響因素。在以上文獻的基礎上，本文提出了一種運動多平臺對地面固定目標的連續(xù)多次TDOA/FDOA定位的誤差性能分析方法，推導了在有等式約束條件下的連續(xù)多次定位過程中的定位誤差CRLB，并通過仿真實例驗證了時差頻差聯(lián)合定位的性能優(yōu)勢。

1 TDOA和FDOA的定位模型

1.1 定位原理

目標輻射源到任何1對觀測站i和j的頻差與時差可表示為：

(1)

(2)

由公式(1)和公式(2)可知，TDOA與FDOA都與目標位置有關，而且FDOA與相對運動速度有關，因此觀測量TDOA與FDOA可以同時提供關于目標位置的信息。對于二維定位，利用2個觀測站可以得到1對TDOA和FDOA曲線，2條曲線的交點即為目標的位置，如圖1所示。

圖1 二維平面TDOA/FDOA定位原理圖

1.2 多次定位分析

在實際定位系統(tǒng)中，往往可以連續(xù)測量到多個TDOA和FDOA參數(shù)，而且利用連續(xù)多次測量的觀測信息可以提高定位精度，為此需要研究多次定位的誤差分析[2]。

假設目標是地面固定目標，則k時刻的目標狀態(tài)定義為：

(3)

式中：A為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Γ為擾動矩陣；噪聲w～N(0,Q),為x、y、z方向上的加速度噪聲；T為采樣時間間隔。

觀測矢量Z由時差和頻差組成，并且真實測量的時差值和頻差值存在測量誤差，可以建模為理論值加上高斯白噪聲矢量，k時刻的觀測矢量表示為：

(4)

假設uk服從高斯隨機分布，其協(xié)方差矩陣為：

(5)

2 TDOA/FDOA定位的CLRB推導

克拉美-羅界(CRLB)表征了無偏估計量所能達到的最小協(xié)方差陣，為無偏估計量的方差確定了一個下限，這為比較無偏估計量的性能提供了標準。

2.1 單次定位誤差的CRLB

針對地面固定目標，研究受地球方程約束的運動多站無源定位的CRLB更符合實際情況。首先，研究無約束情況下的單次定位誤差的CLRB；然后，在此基礎上，推廣到有等式約束的CRLB。

根據(jù)系統(tǒng)模型，構(gòu)建k時刻測量數(shù)據(jù)的聯(lián)合條件概率密度函數(shù)為：

(6)

似然函數(shù)為：

(7)

構(gòu)造Fisher矩陣：

(8)

將對數(shù)似然函數(shù)經(jīng)過求偏導以及期望運算后，得到Fisher信息矩陣為：

(9)

由此得到聯(lián)合定位的理論誤差下界為：

(10)

式中：tr(·)表示矩陣跡運算。

式(10)表示無約束條件下的無偏估計器誤差下界，然后將其推廣到有等式約束情況下的誤差估計下界，經(jīng)過整理得到有約束的克拉美羅界[8]：

CRLBTDOA/FDOA=

(11)

(12)

式中：e=0.081 819 191 04，為地球曲率；K為等式約束條件關于輻射源運動狀態(tài)的梯度矩陣。

考慮到目標輻射源位于地球表面，輻射源坐標滿足地球約束條件：

(13)

2.2 多次定位誤差的CRLB

(14)

(15)

式中：Jl(θ)為到l時刻為止的Fisher信息矩陣；Z為到l時刻為止的累積觀測量。

由獨立觀測性條件可知：

(16)

于是有：

(17)

3 仿真試驗

以3個運動平臺定位為例，說明時差頻差聯(lián)合定位的性能優(yōu)勢，首先分析單次定位誤差的CRLB，然后分析多次定位誤差的CRLB。假設3個運動平臺，構(gòu)成一主兩輔折線陣列形式，主站與輔站相距10 km，主輔站連線夾角150°，主站初始位置(114°,38°,5 000 m)，載機速度為(0 m/s,-340 m/s,0 m/s)，兩輔站與主站保持固定的相對位置同速飛行，目標位置(117°,38.15°,5 000 m)，載機位置誤差50 m，TDOA測量誤差60 ns，F(xiàn)DOA測量誤差10 Hz，載頻2 GHz。

為了分析當前時刻不同位置的定位誤差，可以將目標處于不同位置的CRLB進行分析，繪制成等高線圖，即定位誤差的幾何分布。根據(jù)GDOP的定義，位置GDOP為：

(18)

可得，TDOA/FDOA聯(lián)合定位GDOP分布如圖 2所示，TDOA定位GDOP分布如圖3所示。

圖2 TDOA定位誤差GDOP圖

圖3 TDOA/FDOA聯(lián)合定位誤差GDOP圖

由圖 2可知，利用時差頻差聯(lián)合定位的GDOP分布與運動平臺的速度相關，在航線的垂直方向聯(lián)合定位精度最高，而在航線方向定位精度最低，這與時差頻差聯(lián)合定位的可觀測性是一致的。對比圖 2和圖 3可知，在300 km范圍內(nèi)，聯(lián)合定位誤差下界為45 km，時差定位誤差下界為70 km；因此，與僅利用時差的定位相比，聯(lián)合定位的精度更高。

為了分析多運動平臺對固定目標連續(xù)多次定位的CRLB，將所有時刻的測量信息聯(lián)合起來作為測量信息。假設TDOA和FDOA的測量數(shù)據(jù)更新率為1 s一次,則連續(xù)多次定位的CRLB如圖 4所示。

從圖 4中可以看出，隨著觀測量的累積，聯(lián)合定位的CRLB和僅測TDOA參數(shù)定位的CRLB不斷減少，定位精度不斷提高。與僅測TDOA參數(shù)的連續(xù)多次定位相比，TDOA/FDOA聯(lián)合定位的CRLB曲線下降速度更快，說明在增加了FDOA信息后，定位精度有了較大的提高。FDOA信息可以提高定位精度，最主要原因是FDOA的相對精度較高。根據(jù)工程經(jīng)驗，達到這種FDOA測量水平還是可能的。

圖4 TDOA/FDOA多次定位的CRLB曲線

4 結(jié)束語

本文針對多運動平臺對地面固定目標定位的精度問題，推導了在地球橢圓方程約束條件下的多次聯(lián)合定位誤差的CRLB，給出了單次定位誤差GDOP分布和多次定位的CRLB曲線，描述了運動多平臺連續(xù)定位的定位精度理論下界。在此基礎上，對比了運動多平臺僅測時差定位技術(shù)，仿真結(jié)果表明：

(1) 在相同的定位條件下，通過增加目標的FDOA信息可以有效提高運動平臺無源定位系統(tǒng)的定位精度；

(2) 與僅測時差定位系統(tǒng)的誤差分布相比，時差頻差聯(lián)合定位系統(tǒng)的定位誤差分布與平臺的運動速度有關。

本文重點推導了多運動平臺對地面固定目標的多次定位CRLB下界，但是對于地面機動目標的定位誤差下界還有待進一步推導分析。該聯(lián)合定位方法可以應用于現(xiàn)有的僅測時差的定位系統(tǒng)以提高定位精度，而不用對現(xiàn)有系統(tǒng)進行較大改動。