基于FDTD算法研究超短脈沖與二能級(jí)原子系統(tǒng)的相互作用

孫 龍，吳 博，馮大政,，王石語,，邢孟道,

(1. 西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071；2. 西安電子科技大學(xué) 信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，陜西 西安 710071；3. 中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088；4. 安徽大學(xué) 信號(hào)與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230039；5. 西安電子科技大學(xué) 技術(shù)物理學(xué)院，陜西 西安 710071)

1 引 言

超短激光脈沖與物質(zhì)的相互作用是現(xiàn)代光學(xué)乃至物理學(xué)上重要的研究熱點(diǎn)問題，兩者之間相互影響，一方面不同的物質(zhì)影響光的傳播過程，另一方面光場(chǎng)也能改變物質(zhì)的性質(zhì)[1-3]。此外，超強(qiáng)超短脈沖因其強(qiáng)度大、作用時(shí)間短等特點(diǎn)，在激光化學(xué)和激光生物學(xué)等領(lǐng)域也有一些重大的應(yīng)用[4]。對(duì)其研究一般采用慢變波近似和旋轉(zhuǎn)波近似等進(jìn)行解析求解[5]，但是，這種方法會(huì)忽略部分有用的信息，如在超短脈沖與二能級(jí)原子系統(tǒng)的相互作用中，在導(dǎo)數(shù)為零的位置會(huì)對(duì)系統(tǒng)上下能級(jí)的粒子分布產(chǎn)生重大的影響，這些影響在使用上述近似進(jìn)行解析求解時(shí)，就會(huì)被完全忽略掉。因此，本文針對(duì)超短脈沖與二能級(jí)原子系統(tǒng)的相互作用，采用半經(jīng)典的麥克斯韋-布洛赫(Maxwell-Bloch)方程進(jìn)行描述[6]，光場(chǎng)看作經(jīng)典的電磁場(chǎng)，用麥克斯韋方程描繪;原子系統(tǒng)進(jìn)行量子化，用量子力學(xué)描述。而對(duì)于這一耦合方程的求解，則采用廣泛應(yīng)用于雷達(dá)目標(biāo)電磁特性分析及目標(biāo)識(shí)別的FDTD算法[7-11]和預(yù)測(cè)-校正法相結(jié)合，進(jìn)行協(xié)同仿真計(jì)算。計(jì)算結(jié)果表明，應(yīng)用該數(shù)值算法可以準(zhǔn)確地求解Maxwell-Bloch方程，具有普適性，能夠作為一種行之有效的研究自感應(yīng)透明現(xiàn)象[12](Self-induced transparency)的方法。

2 麥克斯韋-布洛赫方程的FDTD算法

在半經(jīng)典框架下，考慮一維Maxwell方程，如下:

(1)

(2)

描述二能級(jí)原子系統(tǒng)的布洛赫(Bloch)方程可描述為

(3)

(4)

(5)

由于公式(3)～(5)中的布洛赫量有指數(shù)衰減項(xiàng)的存在，會(huì)使得計(jì)算過程變得非常復(fù)雜。因此，可以先將指數(shù)衰減項(xiàng)通過下面的形式與布洛赫矢量分離，通過計(jì)算得到分離后的布洛赫矢量的數(shù)值，最終再通過逆過程求解。除此之外，為了進(jìn)一步簡(jiǎn)便計(jì)算公式(5)，還需要對(duì)該式作如公式(8)所示的修正。依照上述的方式，引入變量ui(z,t)：

ρ1(z,t)=exp[-t/T2]u1(z,t)，

(6)

ρ2(z,t)=exp[-t/T2]u2(z,t)，

(7)

ρ3(z,t)=ρ30+exp[-t/T1]u3(z,t)，

(8)

可得到如下電場(chǎng)和原子系統(tǒng)的耦合方程

(9)

?tu1=ω0u2，

(10)

?tu2=-ω0u1+C+Exu3+DEx，

(11)

?tu3=-C-Exρ2，

(12)

其中與時(shí)間相關(guān)的系數(shù)定義如下

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

依照常規(guī)的FDTD差分格式對(duì)公式(13)～(17)中各個(gè)位置和時(shí)刻的場(chǎng)值點(diǎn)差分離散。其中，磁場(chǎng)方程需要在(n+1/2)Δt時(shí)刻和(m+1/2)Δz的空間位置求解，電場(chǎng)和布洛赫矢量與磁場(chǎng)方程相差半個(gè)時(shí)間步和空間網(wǎng)格，在nΔt時(shí)刻和mΔz網(wǎng)格點(diǎn)求解。離散后的Maxwell-Bloch方程如下。

Maxwell方程對(duì)應(yīng)的離散格式為：

(18)

(19)

Bloch方程對(duì)應(yīng)的離散格式為

u1(m,n+1)=u1(m,n)+

u2(m,n+1)=u2(m,n)-

(20)

離散后的Maxwell-Bloch方程中，公式(19)和(20)由于等式右端不僅存在當(dāng)前時(shí)刻的場(chǎng)值，同樣存在下一時(shí)刻的場(chǎng)值，因此需要按照下面的格式進(jìn)行預(yù)測(cè)-修正：

(21)

式中，Ui分別表示U1=Ex、U2=u1、U3=u2和U4=u3，函數(shù)Fi表示待求解的Maxwell-Bloch方程，經(jīng)過數(shù)次的預(yù)測(cè)-校正，結(jié)合分離的布洛赫量進(jìn)行逆運(yùn)算，求得u1、u2和u3的值。

3 超短脈沖與二能級(jí)原子系統(tǒng)的相互作用

利用上一節(jié)所構(gòu)建的關(guān)于Maxwell-Bloch方程的求解方法，求解分析超短脈沖在二能級(jí)原子系統(tǒng)中的傳播情況。用于仿真的激勵(lì)源為調(diào)制的雙曲正割脈沖[13]:

(22)

脈沖包絡(luò)為

(23)

下面為包絡(luò)的脈沖面積的定義(脈沖的面積為脈沖包絡(luò)在所有時(shí)刻的積分)：

(24)

其大小為2π的整數(shù)倍。式中，普朗克常數(shù)?=h/(2π)=1.0546×10-34，γ表示電偶極矩。由面積定理中關(guān)于自感應(yīng)透明現(xiàn)象的描述可知，2π脈沖可以在一個(gè)拉比周期TRabt=2π/ωRabt內(nèi)維持激發(fā)脈沖形狀不變[14]。脈沖包絡(luò)面積Apulse改寫成如下形式：

(25)

脈沖在初始時(shí)刻的值設(shè)置為

Ex(z=0,t)=E0sech(10Γ)sin(ω,t)，

(26)

其中，Γ=[t-(Tp/2)]/(Tp/2)。設(shè)載波頻率與原子躍遷頻率一樣，ω=ω0=2πf0，f0=2.0×1014s-1。脈寬設(shè)定為Tp=20T0=20/f0=100.0 fs，耦合系數(shù)γ=1.0×10-29。因此，選定脈沖的振幅為

(27)

當(dāng)脈沖面積為2π時(shí)，電場(chǎng)振幅為4.2186×109。

仿真區(qū)域兩端均為自由空間各7.5 μm寬，中間部分為二能級(jí)原子介質(zhì)長(zhǎng)度為135.0 μm，Yee元胞數(shù)總計(jì)為20 000，原子數(shù)目為Natoms=1024m-3。FDTD網(wǎng)格大小為Δz=λ0/200=7.5 nm，時(shí)間間隔Δt=0.5×Δz/2=1.25×10-17s。研究系統(tǒng)的瞬間相干作用需要滿足條件T1,T2?Tp，故設(shè)T1=T2=1.0×10-10。

如圖1所示為t=200.0，300.0,400.0 fs 3個(gè)時(shí)刻的數(shù)值仿真結(jié)果。由圖可見，脈沖在傳播過程中沒有受到非線性原子介質(zhì)的影響而產(chǎn)生形變，無損耗地穿過原子介質(zhì)區(qū)域。這與光吸收的比爾定律(Beer’s Law)的推廣，即面積定理所描述的一致[14-15]。

圖2描述了2π脈沖在t=187.5 fs時(shí)刻的歸一化電場(chǎng)和粒子布居差ρ3。粒子初始時(shí)全部位于二能級(jí)系統(tǒng)的基態(tài)，在2π脈沖的作用下，全部躍遷到激發(fā)態(tài)，之后又重新回到基態(tài)。這是由于在光脈沖峰值的前半段，原子介質(zhì)吸收了光脈沖的能量，原子由基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)；而在光脈沖峰值的后半段，原子受激輻射出能量，并重新回到基態(tài)。而且如同面積定理所描述，光場(chǎng)的導(dǎo)數(shù)效應(yīng)引起粒子數(shù)分布是振蕩的。

圖1 脈沖面積為2π的激勵(lì)源在二能級(jí)原子系統(tǒng)中傳播的自感應(yīng)透明現(xiàn)象

Fig.1 Self-induced transparency of the excitation source with 2π pulse area spreads in two-level atom system

圖2 2π脈沖在t=187.5 fs時(shí)刻的歸一化電場(chǎng)和粒子布居差ρ3

Fig.2 Normalized electric field of 2π-pulse and the particle populationρ3att=187.5 fs

圖3 4π脈沖在t=187.5 fs時(shí)刻的歸一化電場(chǎng)和粒子布居差ρ3

Fig.3 Normalized electric field of 4π-pulse and the particle populationρ3att=187.5 fs

為了更清楚地觀察脈沖作用下介質(zhì)中粒子反轉(zhuǎn)的情況，將使用如下的激勵(lì)脈沖進(jìn)行模擬

Ex(z=0,t)=E0f(t)，

(28)

時(shí)間信號(hào)如下

(29)

其中x=(2T/Tp)-1，該脈沖在所有位置的二階導(dǎo)數(shù)均是連續(xù)的。為了準(zhǔn)確找到該寬帶寬脈沖的原子躍遷頻率f0，總脈沖寬度設(shè)置為公式(22)中正弦曲線的一個(gè)周期的寬度，Tp=5.0 fs，頻譜的最大值出現(xiàn)在f0處。該脈沖通過二能級(jí)原子介質(zhì)時(shí)僅有微小的變化，但是這對(duì)原子的狀態(tài)卻有著較大的影響。原因在于公式(28)中脈沖持續(xù)時(shí)間較短為Tp=5.0 fs，長(zhǎng)度約為1.5 μm，該脈沖的仿真區(qū)域只需要設(shè)置成Ncells=2 000(或者長(zhǎng)度為15.0 μm)。圖4所示為t=12.5 fs時(shí)刻脈沖振幅為E0=8.205×109的短脈沖仿真結(jié)果，圖中為歸一化電場(chǎng)幅度和粒子分布差ρ3。

圖4t=12.5 fs時(shí)刻超短脈沖(E0=8.205×109)與二能級(jí)原子介質(zhì)的相互作用

Fig.4 Interaction of ultrashort pulses(E0=8.205×109) with two-level atomic media att=12.5 fs

而當(dāng)增大激發(fā)脈沖的幅度時(shí)，依然能夠有類似于脈沖面積為4π時(shí)上下能級(jí)粒子發(fā)生兩次反轉(zhuǎn)的現(xiàn)象。圖5描述了脈沖振幅為E0=2.272×1010時(shí)的歸一化電場(chǎng)和粒子分布差，雖然粒子依然發(fā)生兩次對(duì)稱的反轉(zhuǎn)過程，但是每次僅翻轉(zhuǎn)了大約70%的粒子。

單脈沖情況的仿真結(jié)果表明，如果有足夠的時(shí)間，則可以提供多次的粒子反轉(zhuǎn)。首先，脈沖激發(fā)原子介質(zhì)實(shí)現(xiàn)第一次粒子反轉(zhuǎn)，經(jīng)過一段時(shí)間的延遲后，脈沖以相同的形式激發(fā)介質(zhì)實(shí)現(xiàn)下一次的粒子反轉(zhuǎn)。圖6所描繪的傳播過程中激勵(lì)脈沖形式為

圖5t=12.5 fs時(shí)刻超短脈沖(E0=2.272×1010)與二能級(jí)原子介質(zhì)的相互作用

Fig.5 Interaction of ultrashort pulses(E0=2.272×1010) with two-level atomic media att=12.5 fs

Ex(z=0,t)=E0[f(t)+αf(t-mTp)]，

(30)

其中，α=0.96，m=3。

為了適應(yīng)更長(zhǎng)的脈沖持續(xù)時(shí)間，仿真區(qū)域增加到Ncells=5 000，激勵(lì)脈沖振幅為E0=8.235×109。從圖6中可以看出，第一段脈沖完全反轉(zhuǎn)了二能級(jí)原子介質(zhì)中的粒子，之后在第二段脈沖的作用下完全退激發(fā)這一過程。但是，第二段脈沖(圖6的左端)的幅度略低于初始的脈沖幅度，這是由于仍然有部分能量存在于二能級(jí)介質(zhì)的上下能級(jí)所引起的，它們?cè)趂0處以極小的幅度振蕩。以上實(shí)驗(yàn)說明，使用不同的脈沖序列能夠控制原子介質(zhì)的最終狀態(tài)。

圖6t=62.5 fs時(shí)刻超短脈沖(激勵(lì)源的形式為公式(30))與二能級(jí)原子介質(zhì)的相互作用

Fig.6 Ultrashort pulse(excitation source is in the form of (30)) interacts with two-level atom medium att=62.5 fs

4 結(jié) 論

Maxwell-Bloch方程作為激光物理的核心，在通過解析法對(duì)其進(jìn)行求解時(shí)，并不能很好地反映出光場(chǎng)與非線性介質(zhì)作用時(shí)的全部性質(zhì)。因此，本文沒有采用傳統(tǒng)方式對(duì)該作用采用部分近似處理(如旋轉(zhuǎn)波近似和慢變包絡(luò)近似等)，而是借助于FDTD算法和預(yù)測(cè)-校正法相結(jié)合的方式計(jì)算該耦合方程，數(shù)值模擬了超短脈沖與二能級(jí)原子系統(tǒng)的相互作用，驗(yàn)證了面積定理所描述的關(guān)于光場(chǎng)與原子系統(tǒng)相互作用的規(guī)律。研究結(jié)果表明光場(chǎng)會(huì)對(duì)該原子系統(tǒng)的粒子布居產(chǎn)生重大的影響，基于此構(gòu)建出能夠完全反轉(zhuǎn)原子系統(tǒng)上下能級(jí)粒子布居的脈沖信號(hào)。相關(guān)結(jié)果可應(yīng)用于目標(biāo)電磁特性分析及目標(biāo)檢測(cè)中。