油墨組分比例預(yù)測模型與方法

李 嬋，萬曉霞*，呂 偉

(1. 武漢大學(xué) 印刷與包裝系，湖北 武漢 430079； 2. 深圳勁嘉集團(tuán)股份有限公司，廣東 深圳 518105)

1 引 言

計算機配色是紡織、印染、涂料等著色相關(guān)行業(yè)用于產(chǎn)品研發(fā)和質(zhì)量控制的一種方法與技術(shù)[1]，它徹底改變了依賴人工經(jīng)驗配色為主的行業(yè)現(xiàn)狀，降低了生產(chǎn)成本，是長期以來科研院校和行企關(guān)注的熱點，其技術(shù)的核心是建立用于預(yù)測目標(biāo)色樣各基色組分比例的配色模型[2]。

在包裝印刷領(lǐng)域，目前使用的配色模型大多以Kubelka-Munk(簡稱K-M)理論為依據(jù)，將色料的光學(xué)特性(吸收系數(shù)和散射系數(shù))與組分比例用線性加和的數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行描述[3-5]。有學(xué)者經(jīng)實踐后指出，K-M配色模型中色料的光學(xué)特性與組分比例不總成線性關(guān)系[6]；另外用加和關(guān)系描述色料在混合時的光學(xué)行為也是不準(zhǔn)確的。以上兩點致使其在實際應(yīng)用中出現(xiàn)了無法準(zhǔn)確預(yù)測組分比例問題[7]。事實上，加和模型雖使用廣泛但從未被驗證過。針對K-M配色模型“非線性”和“非加和性”問題，有學(xué)者認(rèn)為引起非線性的原因是材料表面反射，因而提出了Saunderson修正[8]、Pineo修正[9]等方法試圖通過修正光譜反射率值而提高K-M配色模型的線性程度。此外還提出了采用遞歸、擬合、正則化、非線性規(guī)劃等數(shù)值處理方法優(yōu)化配色模型求解過程，以上建模方法在一定程度上提高了配色預(yù)測精度，但本質(zhì)上光學(xué)系數(shù)與比例仍然是線性相關(guān)的。與此同時，基于復(fù)頻譜理論[10]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11]、粒子群優(yōu)化算法[12]等非線性配色模型不斷被提出和研發(fā)，取得了較好的配色效果，但這類算法計算過程復(fù)雜，模型待定參數(shù)較多。

針對K-M配色模型中存在的問題，本文在K-M單常數(shù)配色理論的基礎(chǔ)上，首先尋找與組分比例具有強線性相關(guān)特征的值替換散射系數(shù)和吸收系數(shù)構(gòu)建油墨混合呈色模型的線性部分；然后引入非線性項，減小由單組分混合等因素引起的建模誤差；最后采用加和方式整合線性部分和非線性部分，并給出非線性項的具體表達(dá)式以及待定參數(shù)確定方法，從而建立油墨組分比例預(yù)測模型與方法。

2 油墨組分比例預(yù)測模型

經(jīng)多次試驗觀察，混合樣本的組分比例與某些波長處的光譜反射率倒數(shù)[13]呈線性關(guān)系。據(jù)此，油墨混合呈色機理可用公式(1)所示的模型進(jìn)行描述。該模型表示，油墨混合時，混合色的光譜反射率倒數(shù)與各組分基墨的光譜反射率倒數(shù)線性相關(guān)，混合色的光譜反射率倒數(shù)Pt(λ)大小由各基墨的光譜反射率倒數(shù)Pc,i(λ)大小、各基墨的組分比例ci(λ)以及非線性項ε(λ)決定。公式(1)中，m表示基墨數(shù)量，Pt(λ)和Pc,i(λ)均可用分光光度計測量得到的光譜反射率求倒得到：

(1)

根據(jù)油墨混合呈色模型，油墨配方預(yù)測實際就是已知Pt(λ)，求解ci(λ)的過程，由于ci(λ)表示各基墨的組分比例，所以它的解應(yīng)具有非負(fù)性和有界性。求解ci(λ)的數(shù)學(xué)模型可表示為：

s.t.c1+c2+…+cn=1

c1,c2,…，cn≥0,

(2)

公式(2)為一個典型的約束最優(yōu)化問題，利用最小二乘法可對ci(λ)進(jìn)行求解。以兩種基墨混合而成的混合色為例，求解該混合色組分比例ci(λ)的目標(biāo)函數(shù)可寫為：

minc1×Pc,1(λ)+c2×Pc,2(λ)+ε(λ)-Pt(λ)，

(3)

其中，Pc,1(λ)和Pc,2(λ)為兩種基色油墨的光譜反射率倒數(shù)，Pt(λ)為混合油墨的光譜反射率倒數(shù)，c1和c2為待求的基墨1和基墨2的組分比例。另外，為了順利求解c1和c2，令公式(3)中非線性項ε(λ)為以兩種基墨的光譜反射率倒數(shù)乘積為底的冪函數(shù)，具體表達(dá)式如下：

(4)

經(jīng)多次試驗獲知，指數(shù)n的取值范圍為[0.2～2]較為合適。

綜上所述，提出的油墨組分比例預(yù)測模型計算過程簡潔，無復(fù)雜的迭代運算，僅選擇線性程度較高的特征波段進(jìn)行運算，與利用全波段光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行組分預(yù)測的算法相比，精度可大大提高。應(yīng)用油墨組分比例預(yù)測模型首先需制作若干組比例已知的混和色樣，在此基礎(chǔ)上計算并選擇組分比例與光譜反射率倒數(shù)線性程度較好的波段代入公式(2)進(jìn)而解得目標(biāo)樣的組分比例，為保證計算精度，波段數(shù)不能小于基墨數(shù)量。

3 實驗數(shù)據(jù)處理與分析

為了驗證提出方法的有效性，本文設(shè)計了若干油墨混合方案，將UV膠印油墨中常用的四色紅、四色黃和四色藍(lán)3種基色油墨按照預(yù)定的配比混合，制成混合樣本。各樣本的基墨組分比例如表1所示。制樣時，首先根據(jù)表1準(zhǔn)確稱量基墨，充分混合后再利用IGT適性儀在230 g/m2的白卡紙上進(jìn)行打樣，待樣本在UV紫外燈下固化干燥后，使用分光光度計測量所有樣本在400～700 nm波長范圍內(nèi)的光譜反射率。為減少實驗誤差，每個樣本的光譜反射率由3次測量取平均確定。表1所示的樣本中，T01、T02和T12為四色藍(lán)與四色紅油墨混合配方預(yù)測實驗的建模樣本，T10、T11、T13、T14為目標(biāo)樣本，以上樣本統(tǒng)歸為第一組實驗樣本；T01、T03和T17為四色藍(lán)與四色黃油墨混合配方預(yù)測實驗的建模樣本，T15、T16、T18、T19為目標(biāo)樣本，以上樣本統(tǒng)歸為第二組實驗樣本。

表1 樣本基色油墨比例設(shè)置

3.2 油墨組分比例預(yù)測

根據(jù)第2節(jié)介紹的方法，混合油墨組分比例預(yù)測首先需確定建模樣本光譜反射率倒數(shù)與已知的組分比例線性相關(guān)程度最佳的兩個波段。圖1(a)、(b)分別為第一組和第二組建模樣本的光譜反射率倒數(shù)。由于建模樣本組分比例已知，兩組樣本在400～700 nm波長范圍內(nèi)，光譜反射率倒數(shù)與組分比例線性程度最佳的波段和線性相關(guān)系數(shù)R2如表2所示，均屬強線性相關(guān)，符合模型計算要求。

由公式(4)可知，確定了最佳波段后，非線性項ε(λ)的指數(shù)n仍未知。此外，實際應(yīng)用中，公式(3)和(4)求得的僅是組分比例，而目標(biāo)樣本的組分比例未知，無法對預(yù)測結(jié)果直接進(jìn)行評價，但光譜反射率值是已知的，故可以先為n賦值，代入模型求得組分比例，然后估計目標(biāo)樣本的光譜反射率，以光譜反射率差異最小對應(yīng)的n值作為最終的非線性項指數(shù)，輸出該n值對應(yīng)的計算結(jié)果即為目標(biāo)樣本的預(yù)測組分比例。

具體估計目標(biāo)樣本的光譜反射率時，以3個建模樣本的組分比例、光譜反射率倒數(shù)以及目標(biāo)樣本預(yù)測組分比例為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，利用三次樣條插值法估計目標(biāo)樣本在可見光范圍內(nèi)各采樣波長處的光譜反射率倒數(shù)，再將計算結(jié)果求倒以獲得目標(biāo)樣本的光譜反射率。目標(biāo)樣本預(yù)測光譜反射率與真實光譜反射率之間的差異可以用光譜均方根誤差RMS衡量，另外考慮到光譜反射率不能直觀反映人眼感知，增選色差指標(biāo)ΔE與RMS共同用于確定最適合的n值。圖2和圖3表示兩組樣本在n值不同的情況下目標(biāo)樣本的估算光譜反射率與真實光譜反射率的差異。

表2 二組建模樣本光譜反射率倒數(shù)與比例線性程度最佳的兩組波段

Tab.2 Two sets of wave bands with the best degree of linearity between the reciprocal of spectral reflectance and the components proportion

第一組建模樣本第二組建模樣本λ/nmR2λ/nmR2500 0.999 7490 0.997 7610 0.995 0580 0.999 9

圖1 二組建模樣本的光譜反射率倒數(shù)

Fig.1 Reciprocal of spectral reflectance of two groups of modeling samples

圖2 n值對第一組樣本色差和光譜均方根誤差的影響

Fig.2 Influences ofnvalue on the chromatic difference and RMS of the first group

圖3 n值對第二組樣本色差和光譜均方根誤差的影響

Fig.3 Influences ofnvalue on the chromatic difference and RMS of the second group

從圖2和圖3可以看出，n值取0.4是第一組樣本色差和光譜均方根誤差曲線的拐點，分別對應(yīng)第一組目標(biāo)樣本平均色差和譜差的最小值，故第一組組分樣本比例預(yù)測模型非線性項指數(shù)n值取0.4較為合適；第二組樣本的色差和光譜均方根誤差曲線在n大于1后，曲線均趨于平緩，此時增大n值對模型預(yù)測結(jié)果影響不大，故第二組樣本組分比例預(yù)測模型非線性項指數(shù)n取大于1的值即可，本文取2。表5和表6分別對應(yīng)第一組樣本和第二組樣本n分別取0.2、0.4、1、2時模型預(yù)測的精度評價。需要說明的是，表5和表6所示的色差和光譜均方根誤差來源于組分比例預(yù)測和光譜反射率估算兩個過程，它不代表真實的目標(biāo)樣本預(yù)測的色差和光譜均方根誤差，但可用作確定最佳n值的參考。

表5和表6為n確定后，模型計算的目標(biāo)樣本組分比例結(jié)果。由預(yù)測結(jié)果可知，n的取值對組分比例的影響較大，從預(yù)測比例與真實比例的偏差角度分析，第一組樣本n取0.4時，各樣本的紅基色組分比例預(yù)測結(jié)果與實際比例非常接近，平均偏差為1.57%，誤差最??；第二組樣本n取2時，各樣本黃基色組分比例的平均偏差為3.6%，在可接受范圍內(nèi)。此外，表5和表6均給出了采用全波段預(yù)測組分比例的結(jié)果，由比較可知，該方法精度明顯低于僅采用強線性特征波段預(yù)測組分比例的結(jié)果。其原因是：雖然兩種方法的計算模型、參數(shù)估計和計算過程均相同，但全波段預(yù)測得到的是光譜反射率在所有采樣波段處配色模型誤差最小的解，其中大多波段與組分比例不具有嚴(yán)格的線性相關(guān)關(guān)系，因而產(chǎn)生較大誤差。

表3 第一組樣本組分比例預(yù)測精度評價(色差計算條件：D65光源/2°視場)

表4 第二組樣本組分比例預(yù)測精度評價(色差計算條件：D65光源/2°視場)

Tab.4 Chromatic difference assessment of ink components proportion prediction of the second group under the condition D65/2°

樣本編號n=0.2n=0.4n=1n=2ΔERMSΔERMSΔERMSΔERMST030.036 4 0.004 1 0.000 0 0.000 0 0.003 7 0.000 4 0.003 8 0.000 4 T1510.135 8 0.733 3 4.690 6 0.326 0 2.761 8 0.192 1 2.725 4 0.189 2T1610.949 1 0.466 9 4.449 1 0.176 2 1.708 5 0.073 1 1.613 6 0.069 7 T179.078 7 0.280 8 2.288 7 0.064 5 0.048 9 0.001 3 0.137 9 0.003 8 T187.067 1 0.157 5 2.764 6 0.059 4 0.747 0 0.027 4 0.685 2 0.027 1 T1910.620 3 0.324 4 6.191 2 0.143 7 3.614 6 0.089 1 3.476 9 0.086 2 T010.025 0 0.001 3 0.001 7 0.000 1 0.001 3 0.000 1 0.001 3 0.000 1 Avg.6.844 6 0.281 2 2.912 3 0.110 0 1.269 4 0.054 8 1.234 9 0.053 8

表5 第一組樣本四色紅基色(T02)組分比例預(yù)測結(jié)果

表6 第二組樣本四色黃基色(T03)組分比例預(yù)測結(jié)果

結(jié)合表5和表3、表6和表4可知，確定非線性項指數(shù)n值方法得到的最佳n值與預(yù)測結(jié)果最優(yōu)對應(yīng)的n值一致，該方法簡便有效，具有實用性。圖4為T10、T11、T14和T13樣本和其分別采用表5預(yù)測的組分比例重新打樣制作的樣本在標(biāo)準(zhǔn)光源箱中的對比，目視觀察，4組樣本色相一致，色差最大值2.06，最小值0.79，滿足顏色復(fù)制要求。一般情況下，預(yù)測比例越接近真實比例，重制樣本與目標(biāo)樣本色差越小。

圖4 目標(biāo)樣本(左側(cè))與重制樣本的目視比較

Fig.4 Visual comparison of four groups of target samples (left) and remade samples

利用本文提出的預(yù)測模型進(jìn)行目標(biāo)樣組分比例預(yù)測的方法與流程可總結(jié)為圖5，其中建模樣本必須包含所有基色油墨樣本和至少一個基色墨混合樣本，基色樣本用于組分比例預(yù)測計算，混合樣本則用于確定線性程度最佳的特征波段和確定非線性項指數(shù)。

圖5 組分比例預(yù)測方法與流程

Fig.5 Proposed method and process of ink components proportion prediction

4 結(jié) 論

基于油墨組分比例與光譜反射率倒數(shù)的關(guān)系，提出了油墨組分比例預(yù)測模型，建立了組分比例預(yù)測方法與流程，并通過實驗對模型預(yù)測精度進(jìn)行了研究。實驗結(jié)果表明，本文提出的油墨組分比例預(yù)測模型在目標(biāo)樣本基墨組分已知的前提下可準(zhǔn)確預(yù)測目標(biāo)樣本的比例，兩組實驗樣本的預(yù)測平均偏差分別為1.57%和3.6%，且具有模型簡潔、計算復(fù)雜度低等特點。另外該方法所需的建模樣本數(shù)量少，無需制作基墨梯尺，可應(yīng)對油墨批次不穩(wěn)定的問題。目前該模型僅用二元混色的樣本進(jìn)行了驗證，對三元混色目標(biāo)樣本的組分比例預(yù)測精度有待驗證。另外，研究確定混合樣本各單組分的方法以及研究各單組分在混合狀態(tài)下的光學(xué)行為機制，建立更為科學(xué)的非線性項表達(dá)式也是非常有必要的。