高中數(shù)學(xué)數(shù)列學(xué)習(xí)中換元法的運(yùn)用

馮依形

【摘要】本文將從高中數(shù)學(xué)中的換元法概況出發(fā)，對高中數(shù)列中換元法解題技巧、應(yīng)用進(jìn)行分析與探究，希望為同處高中階段的同學(xué)提供一些幫助和建議，更好地將換元法運(yùn)用到數(shù)列學(xué)習(xí)之中。

【關(guān)鍵詞】換元法;數(shù)列學(xué)習(xí);高中數(shù)學(xué)

引言

在高中階段，數(shù)列知識的學(xué)習(xí)不但是數(shù)學(xué)知識的重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容，更是高考考查的熱門題型，掌握有效的數(shù)列學(xué)習(xí)方法，能夠利用多種方法對通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)至關(guān)重要，換元法對于我們的數(shù)列學(xué)習(xí)就是一個(gè)很好的方法，研究其應(yīng)用具有現(xiàn)實(shí)意義。

一、在高中數(shù)學(xué)中的換元法概況

當(dāng)數(shù)學(xué)因式分解題型相對復(fù)雜的時(shí)候，我們經(jīng)常會(huì)使用換元法進(jìn)行解答，也就是說，對于結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜的一個(gè)多項(xiàng)式，若將一部分當(dāng)作整體來看待，然后進(jìn)行換元（即使用全新字母替換），那么復(fù)雜問題就會(huì)變得相對明朗、簡單，發(fā)揮著簡化多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)、縮減多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)等多種作用。一般來講，換元法又被稱作變量替換法、變元代換法、輔助未知數(shù)法等，是重要的解答數(shù)列題型的方法，在高中數(shù)學(xué)中非常普遍，其意義在于變難為易、變繁為簡、將高次變成低次、將分式變成整式、將無理式變成有理式、將超越式變成代數(shù)式，不僅大量應(yīng)用于數(shù)學(xué)數(shù)列，還被應(yīng)用到三角、函數(shù)、不等式、方程等高中數(shù)學(xué)問題中。

二、在高中數(shù)列中換元法解題技巧與應(yīng)用

（一）換元法的種類

通常來講，我們在高中數(shù)學(xué)中使用的換元法一般包括整體換元與三角換元。其中，整體換元即以元換式，指的是在未知、已知之中，反復(fù)出現(xiàn)某一代數(shù)式，通過一個(gè)字母對其進(jìn)行替代，使問題得到簡化，部分時(shí)候要借助變形才可發(fā)現(xiàn)。而三角換元即以式換元，主要用在去根號、變換成三角形式容易解答的時(shí)候使用代數(shù)式里和三角知識的關(guān)聯(lián)進(jìn)行換元。除此之外，換元法還包括萬能換元、均值換元、對稱換元等多個(gè)種類，在數(shù)學(xué)題解答中具有非常廣泛的應(yīng)用。

（二）數(shù)列解題的技巧

首先，沒有規(guī)律的數(shù)列求和技巧。在多種數(shù)列的數(shù)學(xué)問題中，我們經(jīng)常會(huì)遇見一些數(shù)列題型不存在特定規(guī)律。乍一看該數(shù)列題不能發(fā)現(xiàn)任何的規(guī)律性，既非等比數(shù)列也非等差數(shù)列，不過，若拆分該數(shù)列，那么就能夠找到數(shù)列中所蘊(yùn)含的規(guī)律，我們應(yīng)學(xué)會(huì)正確的數(shù)列拆分方式，然后獲得等比數(shù)列或者等差數(shù)列并運(yùn)用相應(yīng)計(jì)算方式。

其次，注重?cái)?shù)列基礎(chǔ)概念知識。我們能遇到的數(shù)列題型中，數(shù)列的知識點(diǎn)作為考察重點(diǎn)經(jīng)常出現(xiàn)，主要包括數(shù)列的定理、基礎(chǔ)的公式等。歷年高考數(shù)學(xué)試題中對通項(xiàng)公式的考察居多，能夠借助相關(guān)公式對結(jié)果進(jìn)行直接計(jì)算，這要求我們應(yīng)更加透徹、更為清晰地學(xué)會(huì)與掌握數(shù)列基礎(chǔ)性的概念知識。

（三）換元法在數(shù)列中主要的應(yīng)用

由于數(shù)列相關(guān)的數(shù)學(xué)題會(huì)考察解題技巧、基礎(chǔ)知識等多個(gè)方面，因此我們解答數(shù)列的題型時(shí)最好盡可能多地掌握解答技巧。作為重要的數(shù)學(xué)解題方法，換元法就能夠統(tǒng)一地化簡復(fù)雜數(shù)列，為了更好地將換元法應(yīng)用到數(shù)列之中，我們應(yīng)從以下幾點(diǎn)入手：

首先，借助換元法付題目的形式進(jìn)行簡化。換元法能夠統(tǒng)一地處理問題里相對繁瑣的數(shù)列形式，讓問題呈現(xiàn)出更為簡潔的形式，使我們在解答過程中的錯(cuò)誤盡可能地減少與避免，有效增加了題目解答的質(zhì)量。

其次，借助換元法對數(shù)列解題過程進(jìn)行簡化。高中數(shù)學(xué)試題不但會(huì)考察數(shù)列基礎(chǔ)的概念知識，還會(huì)以此為基礎(chǔ)對更為復(fù)雜的題型進(jìn)行考察，有時(shí)也會(huì)使用疊乘、疊加等途徑考察學(xué)生掌握的數(shù)列知識，這種題目會(huì)對通項(xiàng)公式有很多的設(shè)計(jì)，我們進(jìn)行解答的過程中經(jīng)常不知道從哪里入手，于是就使題目解答的難度有所增加。例如，有一個(gè)數(shù)列{an}，該數(shù)列中的a₁為-1，并且a_n+1-a_n等于a_n×a_n+1問{an}這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么。解答該題就可以充分利用換元法化簡解題的過程，我們可以采用這樣解題思路：因?yàn)閍_n+1-a_n等于a_n×a_n+1，所以，我們將1/a_n設(shè)成b_n，那么{b_n}這個(gè)數(shù)列則為將b₁=-1當(dāng)作首項(xiàng)且公差d為-1的一個(gè)等差數(shù)列，所以b_n=-1+（-1）×（n-1）=-n，所以a_n=-1/n。于是這道題就簡單地解答了出來，需要注意的是，此題的解答重點(diǎn)在于將1/a_n設(shè)成b_n，然后對{b_n}這個(gè)全新數(shù)列進(jìn)行構(gòu)造，然后借助b_n通項(xiàng)公式對a_n通項(xiàng)公式進(jìn)行求解。

最后，借助換元法表現(xiàn)問題的本質(zhì)。為了有效解題，我們就應(yīng)明確考察的是何種知識點(diǎn)，這樣在題目解答的過程中才能更好i也弄清題意，針對性地解答題目，尋找適合的解答方法，不過在具體解答的過程中有時(shí)遇到的數(shù)列形式極為繁瑣，容易誤導(dǎo)我們解題的思路，這時(shí)我們就應(yīng)借助換元法來化解當(dāng)前題目的結(jié)構(gòu)，更為清楚地展現(xiàn)出問題的性質(zhì)。

結(jié)語

總而言之，研究高中數(shù)列中換元法解題技巧與應(yīng)用具有十分重要的意義。作為高中生的我們，應(yīng)對高中數(shù)學(xué)中的換元法概況有一個(gè)全面認(rèn)識，了解換元法的各個(gè)種類，掌握數(shù)列解題的技巧，學(xué)會(huì)借助換元法對題目的形式進(jìn)行簡化、對數(shù)列解題過程進(jìn)行簡化、表現(xiàn)問題的本質(zhì)，從而更加快速、便捷地解答數(shù)學(xué)數(shù)列問題，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，有效提升考試成績。

【參考文獻(xiàn)】

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