思維互動(dòng)課例設(shè)計(jì)及教學(xué)啟示

[摘? 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教給學(xué)生已發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)理論，更重要的是還要教給學(xué)生如何進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng);要教給學(xué)生如何像數(shù)學(xué)家那樣去活動(dòng)，那樣去思維. 筆者執(zhí)教一堂研究課：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程——像數(shù)學(xué)家那樣去思維，這是一堂數(shù)學(xué)純思維課. 以“問(wèn)題鏈”引領(lǐng)思維;以“對(duì)話(huà)”營(yíng)造自然的沖動(dòng)和向往，引導(dǎo)觀念的轉(zhuǎn)變;以平板（Pad）電腦輔助，用技術(shù)加快思維的腳步.

[關(guān)鍵詞] 思維活動(dòng);問(wèn)題鏈;互動(dòng)課堂

教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）過(guò)程與方法：經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué);解題中滲透代數(shù)法與幾何法.

（3）情感態(tài)度價(jià)值觀：在知識(shí)生成的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活并應(yīng)用于生活，在圖形到方程的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，提高數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)以及措施

（1）重點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

（2）難點(diǎn)：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并解決實(shí)際問(wèn)題.

（3）措施①：在課堂中通過(guò)問(wèn)題營(yíng)造本原、自然的沖動(dòng)和奮發(fā)的學(xué)習(xí)氛圍，引起學(xué)生的求知欲，使其在和諧的課堂氛圍中，自覺(jué)參與課堂學(xué)習(xí). 教師和學(xué)生一起揭示數(shù)學(xué)的神奇，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的完美，探索數(shù)學(xué)的應(yīng)用，表達(dá)數(shù)學(xué)的精深. 具體地說(shuō)，突出重點(diǎn)的措施是：通過(guò)問(wèn)題鏈2-1至2-7環(huán)環(huán)相扣，引領(lǐng)學(xué)生研究重點(diǎn).突破難點(diǎn)的措施是：通過(guò)問(wèn)題3-1至問(wèn)題3-4由淺入深的設(shè)計(jì)，層層突破難點(diǎn).從整堂課來(lái)看，問(wèn)題1回答：數(shù)學(xué)研究什么？問(wèn)題2和問(wèn)題3回答：怎么研究數(shù)學(xué)？問(wèn)題4和問(wèn)題5回答：為什么要研究數(shù)學(xué)？

措施②（技術(shù)措施）：平板（Pad）電腦和智學(xué)網(wǎng)絡(luò)的利用，使得師生查閱資料方便及時(shí)，重難點(diǎn)練習(xí)反饋及時(shí)，師生課上課下互動(dòng)交流及時(shí)，課后發(fā)送作業(yè)具有更強(qiáng)的針對(duì)性，實(shí)現(xiàn)從“人找資源”到“資源找人”的轉(zhuǎn)變，為突破教學(xué)難點(diǎn)提供便利.

學(xué)習(xí)者及教學(xué)環(huán)境分析

學(xué)習(xí)者是高一下學(xué)期的學(xué)生，他們初中學(xué)習(xí)了圓及圓的幾何性質(zhì)，前一章在平面直角坐標(biāo)系下研究了直線(xiàn)方程，已經(jīng)初步接觸了在平面直角坐標(biāo)系下研究簡(jiǎn)單幾何圖形的基本方法.一臺(tái)教師平板（Pad）電腦，63臺(tái)學(xué)生平板（Pad）電腦，多媒體，網(wǎng)絡(luò)情況：較好.

教學(xué)實(shí)錄

1. 課前問(wèn)卷調(diào)查

問(wèn)題*：你認(rèn)為我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？

A. 為了高考

B. 為家長(zhǎng)學(xué)、為老師學(xué)

C. 學(xué)校的安排，不學(xué)不行

D. 體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種自然的發(fā)現(xiàn)、研究和應(yīng)用過(guò)程，能以此提高思維能力

E. 其他原因

活動(dòng)目標(biāo)：調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要?jiǎng)訖C(jī).

媒體功能應(yīng)用及分析：通過(guò)平板（Pad）進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)，看出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)動(dòng)機(jī)的基本情況.

2. 數(shù)學(xué)化（課前召喚）

教學(xué)內(nèi)容：重溫“圓”探究路，返璞歸真，體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)（初中數(shù)學(xué)第24章學(xué)習(xí)回顧），喚醒學(xué)生的原有認(rèn)知.

活動(dòng)設(shè)計(jì)：

問(wèn)題1：你認(rèn)為數(shù)學(xué)在研究什么？（先展示學(xué)生頭一天晚上交流平臺(tái)上的信息，教師再總結(jié)：數(shù)學(xué)研究的是現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式和數(shù)量關(guān)系）

問(wèn)題2：怎么研究數(shù)學(xué)？今天，我們以圓的研究為例，來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題2-1：當(dāng)生活中遇上圓：生活中有哪些物體給人以圓的印象？學(xué)生先舉例，教師后舉例.

問(wèn)題2-2：提取數(shù)學(xué)幾何模型：生化研究色味和成分，物理研究運(yùn)動(dòng)和受力，而數(shù)學(xué)研究什么呢？教師：數(shù)學(xué)只論“形”，不論“色”（去色，除味，…，留形）. 教師利用平板（Pad）展示提取數(shù)學(xué)模型的過(guò)程.

問(wèn)題2-3：抽象出本質(zhì)屬性：如何給這個(gè)數(shù)學(xué)模型下個(gè)定義？分以下兩個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決.

問(wèn)題2-3-1：圓具有什么本質(zhì)屬性？請(qǐng)說(shuō)出它的幾何表達(dá).到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng).

問(wèn)題2-3-2：怎么給圓下定義？平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫作圓.

問(wèn)題2-4：初中已經(jīng)研究了圓哪些幾何性質(zhì)？大家提前查到了哪些資料？（關(guān)于弧、弦、圓心角、圓周角、切線(xiàn)、割線(xiàn)，等等）

教師展示學(xué)生查找到的資料.

活動(dòng)目標(biāo)：關(guān)于此模塊的問(wèn)題，學(xué)生已經(jīng)在課前通過(guò)微課學(xué)習(xí)談?wù)摻涣鬟^(guò).課堂上通過(guò)師生對(duì)話(huà)的方式，以“問(wèn)題鏈”復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)的圓，經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的全過(guò)程.具體地說(shuō)，問(wèn)題1回答數(shù)學(xué)研究什么？意圖是告訴大家，數(shù)學(xué)研究生活;問(wèn)題2是本堂課的核心問(wèn)題，回答數(shù)學(xué)是怎么研究生活的.學(xué)生利用平板（Pad）電腦課前查資料重溫初中知識(shí).

媒體功能應(yīng)用及分析：學(xué)生課前通過(guò)微課學(xué)習(xí)，討論微課下方老師提出的幾個(gè)問(wèn)題. 使用平板（Pad）電腦查找資料，喚醒大腦中已有的關(guān)于圓的幾何知識(shí)，并將查找的資料分享給全班同學(xué). 課堂上教師展示學(xué)生交流平臺(tái)，并做總結(jié).

3. 未解之謎（“圓”探究路上遇障礙，引起困惑，喚起向往）

活動(dòng)設(shè)計(jì)：

問(wèn)題2-5：你能用已學(xué)的圓的幾何知識(shí)很快解決以下問(wèn)題嗎？如圖1，是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建造時(shí)每隔4 m需用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2的長(zhǎng)度. （精確到0.01 m）

本道題用幾何方法是能解決的，預(yù)設(shè)：（1）若學(xué)生找到了解法，請(qǐng)學(xué)生闡述解法，并給予褒獎(jiǎng)，并提問(wèn)：還有別的方法嗎？你能用代數(shù)法解決嗎？拋出問(wèn)題，引起向往. （2）若學(xué)生不能解決. 造成了一個(gè)認(rèn)知“缺口”，我們需要彌合對(duì)圓的研究“缺口”之后，再來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.

活動(dòng)目標(biāo)：回顧初中對(duì)圓的幾何性質(zhì)的研究后，遇到新的問(wèn)題，尋求問(wèn)題解答，并尋求新的辦法.

媒體功能應(yīng)用及分析：教師通過(guò)平板（Pad）電腦展示分析學(xué)生完成的情況.

4. 代數(shù)探索

教學(xué)內(nèi)容：共續(xù)“圓”探究路1（在平面直角坐標(biāo)系下研究圓），逐步完善，感受知識(shí)的形成.

活動(dòng)設(shè)計(jì)：

問(wèn)題2-6：從初三學(xué)圓到現(xiàn)在，時(shí)隔一年多，有圓相逢，我們能提起筆接著研究嗎？今天，我們有些什么變化？多了什么工具？具備了什么能力？

問(wèn)題2-6-1：在上一章里，時(shí)隔多年重逢直線(xiàn)，我們做了什么？（將直線(xiàn)放到平面直角坐標(biāo)系中研究，可以得到直線(xiàn)方程，進(jìn)而用方程繼續(xù)研究其性質(zhì)）

問(wèn)題2-6-2：我們可以借鑒嗎？怎么繼續(xù)研究圓呢？（將圓放到平面直角坐標(biāo)系中研究，可以得到圓的方程，進(jìn)而用方程繼續(xù)研究其性質(zhì)）

問(wèn)題2-7：怎么求圓的方程呢？我們首先將圓放入平面直角坐標(biāo)系中，學(xué)生在草稿紙或平板（Pad）電腦上畫(huà)圓并建立平面直角坐標(biāo)系，將學(xué)生建的系進(jìn)行歸類(lèi)：一類(lèi)是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一類(lèi)是圓心不在坐標(biāo)原點(diǎn).

問(wèn)題2-7-1：同學(xué)們畫(huà)的圓有大有小，建的系也不盡相同，在平面直角坐標(biāo)系中，圓的位置由什么決定？圓的大小由什么量決定？（圓心決定位置，半徑?jīng)Q定大小. 當(dāng)圓心和半徑確定了，圓也就確定了）

問(wèn)題2-7-2：當(dāng)圓心和半徑r確定了，如何利用圓心和半徑求出圓的方程？師生對(duì)兩類(lèi)坐標(biāo)系下的方程求解并分享.

師生共同總結(jié)過(guò)程：通過(guò)“建、設(shè)、限、代、化”求出圓的方程.

（教師總結(jié)過(guò)程板書(shū)）

活動(dòng)目的：為圓插上翅膀——從幾何向代數(shù)的飛躍.引領(lǐng)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系下用代數(shù)的方法研究圓.具體地說(shuō)，問(wèn)題2-5及2-5-1和2-5-2是過(guò)渡性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比直線(xiàn)的研究方法研究圓;問(wèn)題2-6及問(wèn)題2-6-1和2-6-2是目標(biāo)性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生建立起圓的方程.

“建”的目的是讓圓進(jìn)入平面直角坐標(biāo)系;“設(shè)”的目的是讓圓上的點(diǎn)具有坐標(biāo);“限”的目的是找到圓的幾何關(guān)系;“代”的目的是讓圓的幾何關(guān)系變?yōu)榇鷶?shù)關(guān)系，即圓的方程;“化”的目的是讓圓的方程和諧美觀，容易記憶，方便使用，即標(biāo)準(zhǔn)化.

媒體功能應(yīng)用及分析：學(xué)生自主探究后利用平板（Pad）電腦進(jìn)行交流. 學(xué)生在平板（Pad）電腦上展示出自己思維活動(dòng)的原始狀態(tài)，讓數(shù)學(xué)思維及時(shí)可視化，方便師生共同糾正和提煉.

5. 代數(shù)成果提煉

教學(xué)內(nèi)容：共續(xù)“圓”探究路2（總結(jié)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）.

活動(dòng)設(shè)計(jì)：

問(wèn)題2-8：“建設(shè)限代化”的目的是為了得到一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)表達(dá)，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后約定，以后都這樣表達(dá)，請(qǐng)總結(jié)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-a）2+（y-b）2=r2.

以C（a，b）為圓心，r為半徑的圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足以上方程，滿(mǎn)足方程的點(diǎn)都在圓（x-a）2+（y-b）2=r2上，我們稱(chēng)這個(gè)方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

問(wèn)題2-9：讓我們?cè)倩仡^一起研究一下，幾個(gè)量可以確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？（反思性問(wèn)題）

三個(gè)量：從代數(shù)的角度，可以說(shuō)a，b，r三個(gè)量確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;從幾何的角度，可以說(shuō)圓心（a，b）和半徑r兩個(gè)量確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.這可能就為我們后面求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程提供了兩個(gè)思路.

活動(dòng)目的：?jiǎn)栴}2-8和2-9讓圓的標(biāo)準(zhǔn)方程隆重登臺(tái)，進(jìn)入我們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并對(duì)其剖析備用. 為后面的運(yùn)用做好方法的鋪墊.

媒體功能應(yīng)用及分析：師生共同總結(jié).

6. 代數(shù)成果運(yùn)用

教學(xué)內(nèi)容：共續(xù)“圓”探究路3（圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的運(yùn)用）.

活動(dòng)設(shè)計(jì)：

問(wèn)題3：至此，我們已經(jīng)將圓的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，大功告成，那么我們?nèi)绾芜\(yùn)用以上研究成果呢？（應(yīng)用性問(wèn)題）

問(wèn)題3-1：以后我們?nèi)绾吻髨A的方程？還用每次都“建、設(shè)、限、代、化”嗎？（應(yīng)用性問(wèn)題）

不用！經(jīng)過(guò)一次“建、設(shè)、限、代、化”后，就真正進(jìn)入了“現(xiàn)代化”，以后求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從代數(shù)的角度看，只用解方程求出a，b，r三個(gè)量即可;從幾何的角度看，只用找到幾何關(guān)系求出圓心和半徑即可.

問(wèn)題3-2：（1）圓心為A（2，-3），半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（? ）（識(shí)a，b，r）

A. （x+2）2+（y-3）2=5

B. （x+2）2+（y-3）2=25

C. （x-2）2+（y+3）2=5

D. （x-2）2+（y+3）2=25

（2）圓心為A（8，-3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（5，1）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（? ）（識(shí)a，b，尋r）

A. （x+8）2+（y-3）2=5

B. （x+8）2+（y-3）2=25

C. （x-8）2+（y+3）2=25

D. （x-8）2+（y+3）2=5

問(wèn)題3-3：求以A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）為頂點(diǎn)的三角形的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. （應(yīng)用性問(wèn)題）平板（Pad）搶答游戲. （尋a，b，r）

（學(xué)生課后完成計(jì)算并提交）

活動(dòng)目的：通過(guò)問(wèn)題3-1喚醒a(bǔ)，b，r，實(shí)質(zhì)上是喚起學(xué)生對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再次記憶;問(wèn)題3-2識(shí)a，b，r包含了兩道題，（1）是現(xiàn)成的a，b，r，（2）是現(xiàn)成的a，b，隱藏的r;問(wèn)題3-3尋隱藏的a，b，r，需要學(xué)生自己去想辦法尋找a，b，r.

問(wèn)題3-2由學(xué)生獨(dú)立完成后上傳平板（Pad）統(tǒng)計(jì);問(wèn)題3-3在課堂上由學(xué)生分析得出解法，不作計(jì)算. 課后1至4小組在課后作業(yè)中用代數(shù)法計(jì)算;5至8小組用幾何法計(jì)算.都記錄自己計(jì)算所需的時(shí)間，在平臺(tái)上交流比較代數(shù)法和幾何法的優(yōu)劣.

媒體功能應(yīng)用及分析：學(xué)生通過(guò)平板（Pad）電腦展示思維過(guò)程，讓思維過(guò)程及時(shí)可視化（分別選1至2位做對(duì)和做錯(cuò)的同學(xué)展示交流）.

問(wèn)題3-2是客觀選擇題，通過(guò)平板（Pad）的問(wèn)答統(tǒng)計(jì)，可以看出正確多少人，錯(cuò)誤多少人，選A，B，C，D的各有多少人，方便教師快速了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并做課堂調(diào)整和課后作業(yè)的分類(lèi)發(fā)送.

問(wèn)題3-2和3-3沒(méi)有順利完成的同學(xué)，課后進(jìn)入智學(xué)網(wǎng)平臺(tái)，在老師布置的針對(duì)訓(xùn)練題中完成“三選一”并提交后獲取解析訂正.

7. 揭秘解惑

教學(xué)內(nèi)容：創(chuàng)a，b，r完成未解決的問(wèn)題.

活動(dòng)設(shè)計(jì)：

問(wèn)題3-4：如圖2，是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建造時(shí)每隔4 m需用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2的長(zhǎng)度. （精確到0.01 m）（平板（Pad）搶答游戲）

解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)為（0，b），圓的半徑為r，那么圓的方程為：x2+（y-b）2=r2. 由于點(diǎn)P和點(diǎn)B都在圓上，所以02+（4-b）2=r2①，102+（0-b）2=r2②. 由①和②得b=-10.5，r2=14.52，故圓的方程為x2+（y+10.5）2=14.52. 將x=-2代入得（-2）2+（y+10.5）2=14.52，解得y≈3.86（m）.

活動(dòng)目的：前后呼應(yīng)，解決前面提出的問(wèn)題.回到當(dāng)初，“我”已不是當(dāng)初的“我”. 通過(guò)問(wèn)題3-4學(xué)會(huì)自己建系創(chuàng)造a，b，r. （學(xué)生課后完成計(jì)算并提交）

媒體功能應(yīng)用及分析：學(xué)生找到解法后，平板（Pad）游戲搶答.若有需要，教師給學(xué)生公用機(jī)視頻展示解法.

8. 課堂升華（內(nèi)容和研究方法小結(jié)）

活動(dòng)設(shè)計(jì)：

問(wèn)題4：本堂課我們研究了什么？怎么研究的？給了我們什么啟示？（內(nèi)容和方法的升華）

問(wèn)題5：為什么要研究數(shù)學(xué)？研究數(shù)學(xué)有哪些好處？（思維品質(zhì)和觀念的升華）

將來(lái)，我們還會(huì)用同樣的方法去研究橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)等，敬請(qǐng)期待！

一位學(xué)者說(shuō)過(guò)：要想讓自己在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中獲得樂(lè)趣，使天天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不至于變成單調(diào)乏味的任務(wù)，那就走上研究數(shù)學(xué)這條幸福的道路上來(lái)吧.——筆者說(shuō)的（周躍佳）

活動(dòng)目的：?jiǎn)栴}4：教師結(jié)合板書(shū)總結(jié). 問(wèn)題5：學(xué)生回答. 問(wèn)題4旨在回顧本堂課所學(xué)知識(shí)和研究知識(shí)的方法;問(wèn)題5旨在更新和強(qiáng)化觀念，提高思維水平.

媒體功能應(yīng)用及分析：師生口頭互動(dòng)交流，達(dá)成知識(shí)、情感和觀念的共鳴.

9. 課后問(wèn)卷

問(wèn)題：你認(rèn)為我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？

A. 為了高考

B. 為家長(zhǎng)學(xué)、為老師學(xué)

C. 學(xué)校的安排，不學(xué)不行

D. 體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種自然的發(fā)現(xiàn)、研究和應(yīng)用過(guò)程，能以此提高思維能力

E. 其他原因

活動(dòng)目的：調(diào)查學(xué)生親身體驗(yàn)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的研究過(guò)程后，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的觀念的變化.

媒體功能應(yīng)用及分析：通過(guò)平板（Pad）進(jìn)行課堂調(diào)查的現(xiàn)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)，看出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)的情況.

板書(shū)設(shè)計(jì)：如圖3.

教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教給學(xué)生已發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)理論，更重要的是還要教給學(xué)生如何進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng);要教給學(xué)生如何像數(shù)學(xué)家那樣去活動(dòng)，那樣去思維.這是一堂數(shù)學(xué)純思維課.

1. 課堂形式：以“問(wèn)題鏈”引領(lǐng)思維

本堂課以“問(wèn)題鏈”引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，讓學(xué)生參與和經(jīng)歷整節(jié)課的思維過(guò)程，充分體現(xiàn)知識(shí)發(fā)生、形成的過(guò)程，充分挖掘解題的思維價(jià)值. 從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，使教材中的靜態(tài)知識(shí)操作化、活動(dòng)化，從而極大限度增強(qiáng)學(xué)生的參與欲望，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性.具體地說(shuō)，引入部分（問(wèn)題1、問(wèn)題2（2-1至2-4））：返璞歸真，體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)現(xiàn);“未解之謎”（問(wèn)題2-5）：認(rèn)知沖突，形成“缺口”，喚起向往;求圓的方程（問(wèn)題2-6至2-9）：逐步完善，感受知識(shí)的形成;應(yīng)用部分（問(wèn)題3-1至3-4）：捕捉信息，溝通知識(shí)聯(lián)系，應(yīng)用于生活實(shí)際，彌合學(xué)生心中的“缺口”. 總體來(lái)說(shuō)，問(wèn)題1回答：數(shù)學(xué)研究什么？問(wèn)題2和問(wèn)題3回答：怎么研究數(shù)學(xué)？問(wèn)題4和問(wèn)題5回答：為什么要研究數(shù)學(xué)？

2. 課堂情感：以“對(duì)話(huà)”營(yíng)造自然的沖動(dòng)和向往，引導(dǎo)觀念的轉(zhuǎn)變

在課堂中營(yíng)造本原、自然的沖動(dòng)，奮發(fā)的學(xué)習(xí)氛圍，引起學(xué)生的求知欲，使其在和諧的課堂氛圍中，自覺(jué)參與課堂學(xué)習(xí)，教師和學(xué)生一起揭示數(shù)學(xué)的神奇，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的完美，探索數(shù)學(xué)的應(yīng)用，表達(dá)數(shù)學(xué)的精深.

數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾提出“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)教育原則.他認(rèn)為真正的數(shù)學(xué)教育應(yīng)遵循數(shù)學(xué)發(fā)展史所表明的漸進(jìn)系統(tǒng)化的過(guò)程，教活動(dòng)的數(shù)學(xué)，教學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣用再創(chuàng)造的方法去學(xué)習(xí)，從自己所接觸的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中進(jìn)行再創(chuàng)造，得出許多數(shù)學(xué)成果，從而找到一條培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力的途徑.本堂課通過(guò)啟發(fā)點(diǎn)撥數(shù)學(xué)研究的思路，拋出實(shí)際問(wèn)題引起困惑，喚起繼續(xù)研究解決問(wèn)題的向往.

從課堂小結(jié)和課堂調(diào)查中可以看出，學(xué)生體會(huì)到了研究數(shù)學(xué)的好處：①獲取了數(shù)學(xué)知識(shí);②學(xué)會(huì)了研究數(shù)學(xué)的方法;③可以養(yǎng)成研究的習(xí)慣;④解決了生活中的問(wèn)題;⑤提高了自己的思維能力……

3. 課堂媒體：以平板（Pad）輔助，用技術(shù)加快思維的腳步

（1）學(xué)生利用平板（Pad）電腦可以在課外及時(shí)查找獲取想要的資料，如本節(jié)課前，學(xué)生已經(jīng)利用平板（Pad）查找并復(fù)習(xí)圓的有關(guān)幾何性質(zhì).

（2）利用計(jì)算機(jī)的交互性，把教學(xué)和練習(xí)融為一體，使學(xué)生處于一系列交替詢(xún)問(wèn)和回答中，同時(shí)，學(xué)生在做完一個(gè)題目后就能獲得及時(shí)的信息反饋而不必等待老師批判作業(yè).而做錯(cuò)題目的學(xué)生，在獲得正確解答信息的同時(shí)，也獲得一道同類(lèi)題目，避免大量重復(fù)練習(xí)給全體學(xué)生帶來(lái)的枯燥乏味，實(shí)現(xiàn)從“人找資料”到“資料找人”的變革.

（3）體現(xiàn)了“以學(xué)生為中心”的個(gè)別化教學(xué)，能按照學(xué)生的特點(diǎn)因材施教.如計(jì)算機(jī)首先將教學(xué)信息傳遞給學(xué)生，學(xué)生閱讀思考后回答，計(jì)算機(jī)將學(xué)生的回答進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)、計(jì)算，然后給出反饋信息和指導(dǎo)建議，使每個(gè)學(xué)生都能在適合自己的環(huán)境中學(xué)習(xí).

（4）搶答游戲利用了計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一種帶有競(jìng)爭(zhēng)性的學(xué)習(xí)環(huán)境，把科學(xué)性、趣味性與教育性融為一體，以激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，鍛煉學(xué)生決策能力，起到“寓教于樂(lè)”的作用.