結(jié)構(gòu)觀下的解題教學(xué)

于濤

[摘? 要] 文章簡述了對結(jié)構(gòu)觀下解題教學(xué)的認(rèn)識;以解析幾何的面積最值問題為例，展示了課堂教學(xué)中構(gòu)建知識聯(lián)系結(jié)構(gòu)、方法模型結(jié)構(gòu)、解題程序結(jié)構(gòu)的過程，進(jìn)而抽象概括出解題結(jié)構(gòu);闡述了結(jié)構(gòu)觀下解題教學(xué)的積極作用.

[關(guān)鍵詞] 結(jié)構(gòu)觀;解題結(jié)構(gòu);解析幾何;面積問題

解題教學(xué)是教學(xué)中最為頻繁的數(shù)學(xué)活動，常見的解題教學(xué)模式以“一題多變”和“一題多解”為主. “一題多變”能幫助學(xué)生開闊視野，通過對題目條件、設(shè)問的改變實現(xiàn)變式教學(xué)，但萬變不離其宗，題目的結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的;“一題多解”能幫助學(xué)生發(fā)散思維，根據(jù)題目的條件、設(shè)問從不同角度聯(lián)系知識、應(yīng)用知識，實現(xiàn)解法的多樣性，其核心是知識的聯(lián)系與模型的識別. 解題教學(xué)若能將二者結(jié)合，就能以結(jié)構(gòu)觀展開教學(xué). 這里所指的結(jié)構(gòu)是為實現(xiàn)數(shù)學(xué)教育功能的結(jié)構(gòu)，強調(diào)數(shù)學(xué)知識間的廣泛聯(lián)系，方法模型的準(zhǔn)確識別，特別指屬性顯然、特征明顯、易于識別聯(lián)系的結(jié)構(gòu)[1]. 如向量可以根據(jù)其屬性聯(lián)系幾何、坐標(biāo)向量和抽象向量，形成知識聯(lián)系結(jié)構(gòu);數(shù)列求和可以根據(jù)通項公式的結(jié)構(gòu)聯(lián)系不同求和的方法模型，形成方法模型結(jié)構(gòu);綜合問題往往由多個知識、模型串聯(lián)，需要逐個識別依次求解，形成解題程序結(jié)構(gòu)等.

縱觀全國卷高考真題，有關(guān)解析幾何的面積最值問題頻繁出現(xiàn)，推陳出新，看似熟悉的問題，卻總是不易得分. 因此，有必要從結(jié)構(gòu)觀出發(fā)，把握題目“變化”背后的“不變”. 下面筆者就以“解析幾何的面積最值問題”為例，談?wù)劷Y(jié)構(gòu)觀下的解題教學(xué).

教學(xué)片段

1. 構(gòu)建知識聯(lián)系結(jié)構(gòu)

例1：（2017年南昌月考改編）已知圓C：x2+y2=2，過點P（2，0）的直線l與圓C交于A，B兩點，求△AOB面積的最大值.

題目是與圓有關(guān)的三角形面積問題，求解過程包含兩個環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)一是三角形面積函數(shù)的推導(dǎo)，環(huán)節(jié)二是面積函數(shù)最大值的求解. 在環(huán)節(jié)一的教學(xué)中，面積函數(shù)的推導(dǎo)與主元（自變量）的選取緊密聯(lián)系，不少學(xué)生只想到用解析幾何的通性通法，用斜率k作主元（見解法一），忽略了代數(shù)角度主元選擇的多樣性，也忽略了解析幾何的幾何性，以及圓的特殊性.要打破解題思維的僵化，就需要在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目條件進(jìn)行知識的廣泛聯(lián)系.

環(huán)節(jié)一的教學(xué)，通過廣泛的聯(lián)系知識進(jìn)行主元的選擇，幫助學(xué)生構(gòu)建知識聯(lián)系結(jié)構(gòu). 解析幾何集幾何、代數(shù)于一身，解題時可以從幾何、代數(shù)兩個方向進(jìn)行知識的聯(lián)系，從代數(shù)角度可以聯(lián)系普通方程、參數(shù)方程等知識，以斜率k、傾斜角θ等為主元;從幾何角度可以聯(lián)系圓、三角形等相關(guān)知識（平面幾何、解三角形等），以相關(guān)幾何量為主元. 這樣多角度聯(lián)系知識的結(jié)構(gòu)，能幫助學(xué)生厘清解題方向，開拓思維視野.

2. 強化方法模型結(jié)構(gòu)

上述最值求解方法，緊扣分式函數(shù)的結(jié)構(gòu)特性，從齊次分式、非齊次分式、分子、分母、積與和等結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，利用轉(zhuǎn)化、換元將分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)、基本不等式模型，或直接應(yīng)用基本不等式，強化方法模型結(jié)構(gòu)，并將應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值并入方法模型結(jié)構(gòu)，推動學(xué)生實現(xiàn)思維不同層次的發(fā)展.

3. 完善解題程序結(jié)構(gòu)

通過例2求面積函數(shù)的教學(xué)，學(xué)生明確了知識聯(lián)系結(jié)構(gòu)中幾何、代數(shù)兩個方向，在幾何方向中，除了圓，還需注意解三角形、幾何結(jié)論等與幾何有關(guān)的知識;在代數(shù)方向中，學(xué)生并不習(xí)慣參數(shù)方程的應(yīng)用，可以建議學(xué)生先以k為主元計算，必要時代入k=tanθ. 縱觀例1、例2的知識聯(lián)系結(jié)構(gòu)，可以建議學(xué)生先幾何后代數(shù)，先k后θ，以尋求最簡潔的解題邏輯、最小的運算量、最熟悉的思路，細(xì)化解題邏輯，完善解題程序結(jié)構(gòu). 需要說明的是，主元的選擇是解析幾何重要的思維意識，不局限于斜率k和傾斜角θ.

例2求解最值的教學(xué)與例1類似，方法模型結(jié)構(gòu)雖保持一致，但可以建議學(xué)生先思考直接應(yīng)用基本不等式，再思考換元或轉(zhuǎn)化，最后考慮應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，推動學(xué)生發(fā)展思維，優(yōu)化解題程序結(jié)構(gòu).至此，解題結(jié)構(gòu)構(gòu)建完成，如圖1.

練習(xí)的目的是應(yīng)用解題結(jié)構(gòu). 例1、例2、練習(xí)由模擬題和真題拆分改編而來，形成有機的整體，幫助學(xué)生體會題目背景、條件雖然在發(fā)展變化，但萬變不離其宗，解題結(jié)構(gòu)保持不變.

整節(jié)課圍繞解題結(jié)構(gòu)（如圖1）展開，從解題思路的探尋，到解題方向的實踐、比較;從面積函數(shù)的得到，到函數(shù)最值的求解策略，構(gòu)建解題結(jié)構(gòu)，突破解題難點;從圓到橢圓，從橢圓到橢圓與圓，從三角形到四邊形，螺旋上升，強化解題結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生提高應(yīng)用知識的能力，發(fā)展邏輯推理能力和運算求解能力.

教學(xué)思考

高三復(fù)習(xí)是知識綜合應(yīng)用的學(xué)習(xí)，結(jié)構(gòu)觀下的解題教學(xué)，是知識結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)的重組，通過把一類題目相關(guān)的知識、方法整合起來，組織成賦予某種意義的結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生進(jìn)行解題梳理和反思，推動學(xué)生應(yīng)用結(jié)構(gòu)進(jìn)行解題.

結(jié)構(gòu)觀下的解題教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生拓寬解題視角. 結(jié)構(gòu)觀下的解題教學(xué)以明確知識屬性、溝通知識聯(lián)系、識別模型特征等為核心，構(gòu)建解題結(jié)構(gòu)的同時，幫助學(xué)生建立不同解題視角的生長點，推動學(xué)生進(jìn)行有理有據(jù)的思維發(fā)散，形成脈絡(luò)清晰的知識、方法結(jié)構(gòu)，看似設(shè)置了結(jié)構(gòu)的條條框框，實則激活了學(xué)生的思維視角.

結(jié)構(gòu)觀下的解題教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生提高思維能力. 一個數(shù)學(xué)問題的解題結(jié)構(gòu)是外在形式與內(nèi)在邏輯的統(tǒng)一，根據(jù)結(jié)構(gòu)的內(nèi)在邏輯，對外在形式（具體題目）進(jìn)行改編，就能形成變式教學(xué)，幫助學(xué)生提高形式、特征的識別能力，深刻理解結(jié)構(gòu)、完善結(jié)構(gòu)，形成若干解題邏輯，促進(jìn)題目最優(yōu)解法的探尋，實現(xiàn)知識方法的靈活運用. 比如文中通過例1、例2、練習(xí)的設(shè)計，凸顯解題結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的同時，讓學(xué)生體會思維的發(fā)散與優(yōu)化，讓不同層次的學(xué)生實現(xiàn)不同層次的思維發(fā)展，做到看似無結(jié)構(gòu)，卻處處在結(jié)構(gòu)之中.

結(jié)構(gòu)觀下的解題教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu). 奧蘇泊爾認(rèn)為，就學(xué)習(xí)方面，認(rèn)知結(jié)構(gòu)指學(xué)生在某一特定的知識領(lǐng)域內(nèi)的各種觀念的內(nèi)容和組織[2]，它是一種經(jīng)過學(xué)習(xí)者主觀改造的知識結(jié)構(gòu)，它是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生的心理結(jié)構(gòu)高度融合、內(nèi)化的結(jié)果. 解題結(jié)構(gòu)的構(gòu)建正是根據(jù)知識結(jié)構(gòu)，積極構(gòu)建的具有主觀性的結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)能給學(xué)生解題方向進(jìn)行指導(dǎo)，提供知識應(yīng)用的固著點;能幫助學(xué)生提高對知識與模型的聯(lián)系與識別能力;能通過反復(fù)應(yīng)用結(jié)構(gòu)，推動學(xué)生有關(guān)數(shù)學(xué)的簡約性與單純性、遷移性與發(fā)展性、廣泛性與嚴(yán)密性等認(rèn)知的發(fā)展，形成自動自覺的思維過程，達(dá)到結(jié)構(gòu)的內(nèi)化，實現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展.

總之，結(jié)構(gòu)觀下的解題教學(xué)倡導(dǎo)積極構(gòu)建解題結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生從結(jié)構(gòu)觀的角度進(jìn)行解題、反思等學(xué)習(xí)活動，優(yōu)化學(xué)生思維，實現(xiàn)高效學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

[1]? 沈良. 略談數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀下的解題與教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2012（24）：1-3.

[2]? 喻平. 數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.