創(chuàng)設(shè)“數(shù)學(xué)思維歷程”的課堂教學(xué)實(shí)踐及反思

李靖敏

[摘? 要] 筆者對(duì)一道經(jīng)典高考題進(jìn)行改編、再創(chuàng)造，生成系列問題，在對(duì)問題的思辨過程中引導(dǎo)學(xué)生深入思考，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)“數(shù)學(xué)思維歷程”. 學(xué)生在親歷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的數(shù)學(xué)思維歷程中，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考問題的方法，掌握選擇解決問題的策略，從而形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 四邊形;思維活動(dòng);思維歷程

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要掌握知識(shí)和技能，更為重要的是掌握其思想和方法. 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓. 創(chuàng)設(shè)“數(shù)學(xué)思維歷程”的課堂教學(xué)，有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想和方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 這也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)和長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展起到關(guān)鍵作用.

筆者在高三復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)踐中有意進(jìn)行了創(chuàng)設(shè)“數(shù)學(xué)思維歷程”的課堂教學(xué)的嘗試，將要復(fù)習(xí)的知識(shí)通過問題呈現(xiàn)出來，通過問題思辨引導(dǎo)學(xué)生深入思考，激發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)，促進(jìn)師生的思維碰撞. 在學(xué)生親歷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程中，在生與生、師與生思維的碰撞中，體驗(yàn)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的樂趣，體驗(yàn)美妙的數(shù)學(xué)思維歷程，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考問題，提升解決問題的邏輯思維能力.

改編經(jīng)典高考題——?jiǎng)?chuàng)設(shè) “數(shù)學(xué)思維歷程”

（1）當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積;

（2）當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.

這道題既考查了解析幾何的基本知識(shí)與方法，也考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，還考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，是每年高三解析幾何復(fù)習(xí)必選的題目，面對(duì)這樣經(jīng)典的解析幾何題，采用什么方式進(jìn)行教學(xué)才能改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提升學(xué)生分析解決幾何問題的能力呢？

在高三一輪復(fù)習(xí)時(shí)，筆者進(jìn)行了創(chuàng)設(shè)“數(shù)學(xué)思維歷程”課堂教學(xué)的嘗試.

首先把要解決的問題“四邊形OABC是否可能為菱形”看成果樹上要摘的果實(shí)，尋根溯源挖掘埋藏在樹根底部泥土之中的知識(shí)與方法，在此基礎(chǔ)上邏輯生成、生長(zhǎng)：四邊形OABC是否可為梯形、平行四邊形、矩形、正方形？在學(xué)生親歷這一思維過程中，學(xué)會(huì)思考解析幾何問題的方法;掌握選擇解決解析幾何問題的策略;能精準(zhǔn)表達(dá)解決解析幾何問題的過程;從而提升學(xué)生解決解析幾何問題的能力，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展. 為此筆者用兩節(jié)連排課，將按邏輯的生成、生長(zhǎng)的問題讓學(xué)生充分探討，相互啟發(fā)，去展示和碰撞各自不同的想法. 鑒于此，設(shè)計(jì)如下三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)

教學(xué)實(shí)踐——學(xué)生親歷“數(shù)學(xué)思維過程”

（一）動(dòng)手操作，驗(yàn)證猜想

問題的拋出猶如一石激起千層浪，學(xué)生積極動(dòng)手操作，很快得出有無數(shù)個(gè)梯形.

師：為什么有無數(shù)個(gè)梯形？

生：能找到OA或AB的無數(shù)條平行線（圖2、圖3）

師：所作的平行線中都能滿足其是梯形嗎？

生：如圖3，當(dāng)OA=BC時(shí)，不是梯形，而是平行四邊形.

師：一定有OA=BC嗎？

師：為什么？

此時(shí)大部分學(xué)生困惑，說不出理由，經(jīng)過思考，有學(xué)生想到：當(dāng)BC與橢圓相切時(shí)，BC趨近于零，當(dāng)BC過O點(diǎn)時(shí)，BC最大為2OA，所以一定能找到OA=BC.

師：太棒了，比較兩條線段的大小，可將其中一條線段的范圍求出來，0

生：有BCOA，則必有OA=BC.

師：這種連續(xù)變化的思想非常重要，是“零點(diǎn)存在定理”在幾何圖形中的應(yīng)用，它在驗(yàn)證幾何結(jié)論時(shí)被經(jīng)常使用.

判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形除了從邊上思考，還可以從哪些角度思考？

生：對(duì)角線互相平分、對(duì)角相等.

師：哪個(gè)更簡(jiǎn)單？如何驗(yàn)證？

學(xué)生一致認(rèn)為：用對(duì)角線互相平分更優(yōu)，學(xué)生畫圖，將AC繞BO的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，觀察AD與DC的大小，用連續(xù)變化的思想，驗(yàn)證有平行四邊形，如圖4. （學(xué)法指導(dǎo)初見成效）

師：以上從數(shù)、形兩方面在平移、旋轉(zhuǎn)的連續(xù)變化中驗(yàn)證了問題：OABC可以是平行四邊形，有無數(shù)個(gè). 接下來該研究OABC是什么四邊形？

生：菱形、矩形、正方形.

師：討論其各有多少個(gè)？

經(jīng)討論，大部分學(xué)生認(rèn)為：菱形有4個(gè)，且當(dāng)B點(diǎn)在橢圓的頂點(diǎn)處時(shí). 個(gè)別學(xué)生不知道矩形有沒有，但根據(jù)橢圓的對(duì)稱性：若有，則一定有四個(gè).

師：角AOC在連續(xù)變化過程中有直角的可能嗎？或兩條對(duì)角線有相等的可能嗎？（學(xué)生進(jìn)行深入思考）

生1：先從特殊位置找鈍角，當(dāng)OA垂直x軸，BC過焦點(diǎn)F垂直x軸時(shí)，BC=AO=1，角AOC是鈍角. 如圖5，當(dāng)B點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，角AOC是銳角. 如圖6，用連續(xù)變化的觀點(diǎn)知一定有角AOC是直角，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，矩形有四個(gè). 當(dāng)B在右頂點(diǎn)時(shí)，角AOC為什么是銳角？很多學(xué)生提出質(zhì)疑.

生1：如圖6，OD=1，AD小于短半軸的長(zhǎng)1，所以角AOD小于45°，？搖所以角AOC小于90°. （話音剛落教室響起熱烈的掌聲）

師：角AOC是鈍角，大部分同學(xué)找的是B在橢圓上（或下）頂點(diǎn)時(shí)的菱形，難點(diǎn)是找銳角，生1不僅找到了，而且還說明了理由，非常棒！

師：這樣驗(yàn)證了矩形有4個(gè)，有正方形嗎？

生一致認(rèn)為沒有，理由是只有B點(diǎn)在橢圓的頂點(diǎn)處時(shí)，四邊形OABC才是菱形，此時(shí)OABC不是矩形，所以四邊形OABC不可能為正方形.

師追問：B不在頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC一定不是菱形嗎？

生：看著不像.

師：偉大的數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，幾何結(jié)論不能僅僅看圖觀察，用連續(xù)變化思想驗(yàn)證，還必須從“數(shù)”上嚴(yán)格證明. 將學(xué)生的思維自然而然引入第二環(huán)節(jié).

（二）優(yōu)中選優(yōu)，證明猜想

師：平行四邊形、菱形、矩形，先證明哪個(gè)結(jié)論好？生一致認(rèn)為：平行四邊形.

師：剛才我們從邊、對(duì)角線上驗(yàn)證了有無數(shù)個(gè)平行四邊形，采用哪種證明更簡(jiǎn)單呢？

（學(xué)生困惑、有爭(zhēng)議）

師指導(dǎo)：若用OA=BC，OA∥BC. 1. 設(shè)點(diǎn)：讓學(xué)生將幾何條件OA=BC用坐標(biāo)表示出來，有六個(gè)參數(shù)，OA平行BC用坐標(biāo)表示出來，用向量或斜率（存在時(shí)）也有六個(gè)參數(shù).

2. 設(shè)線：若斜率存在，OA：y=kx，BC：y=kx+m，需與橢圓方程聯(lián)立兩次，計(jì)算量太大，怎么辦？（學(xué)生深入思考）

設(shè)線：AC方程：y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立一次即可.

師：能具體說明一下你的想法嗎？

師：生2分析得很到位，對(duì)k∈R能否有m存在，同時(shí)滿足上面的等式和不等式，掌聲送給他，但有點(diǎn)小小的漏洞，缺少斜率不存在情況（有學(xué)生搶著說到）.

師：對(duì)，這是你們解題中經(jīng)常忽略的問題，同時(shí)m≠0，要特別注意直線方程中參數(shù)k，m的限制條件，在做解析幾何題時(shí)，不要盲目算，一定要恰當(dāng)合理選擇幾何條件，預(yù)估代數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜程度，優(yōu)中選優(yōu).

師：證明B不在橢圓頂點(diǎn)，菱形存在時(shí)，選擇哪個(gè)幾何條件更好？

生：對(duì)角線垂直，

師：如何代數(shù)化？（有的說用斜率，有的說用向量，爭(zhēng)議較大）

解出矩形恰有四個(gè)時(shí)，學(xué)生都非常興奮，頗有成就感.

（三）引申拓展，提升能力

師：以上證明了平行四邊形有無數(shù)個(gè)，那么這無數(shù)個(gè)平行四邊形的面積有最值嗎？

問題再一次激起學(xué)生的探究欲望，引發(fā)學(xué)生深入思考.

真神奇呀，面積是定值，學(xué)生由衷發(fā)著感嘆，沉浸在研究數(shù)學(xué)問題的情景中……

教后反思帶給學(xué)生美妙的“數(shù)學(xué)思維的歷程”

連著兩節(jié)復(fù)習(xí)課后，學(xué)生沒有一點(diǎn)疲憊感，還在興致勃勃討論拓展問題. 筆者雖然連續(xù)“戰(zhàn)斗”高三很多年，但依然為學(xué)生這么多好的想法、解法興奮不已. 這堂課令筆者真正體驗(yàn)到教學(xué)相長(zhǎng);學(xué)生是待開發(fā)的沃土，蘊(yùn)藏著無窮的智慧，老師的挖掘與引導(dǎo)則能起到松土激活的效果;體驗(yàn)到學(xué)生的思維和智慧是可教的，老師是學(xué)生思維發(fā)展與智慧提升的引導(dǎo)者和推動(dòng)者.

（一）創(chuàng)設(shè)“數(shù)學(xué)思維歷程”的課堂，問題是課堂的核心

本課，改變了以往復(fù)習(xí)課的呈現(xiàn)方式，將經(jīng)典的高考題改編為“半開放”性問題，在“半開放”性問題的引領(lǐng)下展開教學(xué)，問題是課堂的核心.

本課的一系列問題都是由原問題四邊形OABC是否為菱形生成生長(zhǎng)的，符合學(xué)生的認(rèn)知，符合解析幾何的認(rèn)識(shí)規(guī)律，同時(shí)抓住學(xué)生想學(xué)好解析幾何但又懼怕計(jì)算的心理，從最簡(jiǎn)單問題梯形入手，引發(fā)學(xué)生研究問題的欲望，而后問題步步深入，先畫梯形、再平移、后旋轉(zhuǎn)的連續(xù)變化中尋找平行四邊形、菱形、矩形、正方形，發(fā)現(xiàn)幾何猜想、辨別真?zhèn)?，引發(fā)深層次思考，給學(xué)生更多的思考空間，使學(xué)生“想知”，也“能知”，使更多的學(xué)生積極參與到問題的思考之中，從而發(fā)揮出最大的主觀能動(dòng)性，收獲最好的數(shù)學(xué)思維歷程學(xué)習(xí)體驗(yàn).

本課的一系列問題，意在傳遞解析幾何的基本思想在具體問題中如何應(yīng)用，即尋找?guī)缀螚l件，寫出代數(shù)形式，算出代數(shù)結(jié)果，得到幾何結(jié)論. 而第一步幾何條件的尋找和選擇最為關(guān)鍵，在問題的引領(lǐng)下，讓學(xué)生通過分析對(duì)比預(yù)見不同幾何條件下代數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜程度，選擇最佳解題策略，優(yōu)化代數(shù)化過程，優(yōu)中選優(yōu). 學(xué)生通過“自悟”“他悟”，最終“頓悟”.

（二）創(chuàng)設(shè)“數(shù)學(xué)思維歷程”的課堂，思維活動(dòng)是課堂主線

本課思維活動(dòng)主線從以下三個(gè)方面邏輯生成，層層遞進(jìn)，步步深入，引導(dǎo)學(xué)生展開深度學(xué)習(xí). 根據(jù)學(xué)生的理解情況和進(jìn)展?fàn)顩r恰當(dāng)點(diǎn)評(píng)，不斷鼓勵(lì)，適時(shí)糾偏導(dǎo)正，查漏補(bǔ)缺，適時(shí)地提出能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步深入思考的話題，例如，是否還有別的解法，哪種方法更簡(jiǎn)單？是否可以推廣引申，強(qiáng)化（或者弱化）條件會(huì)有什么結(jié)果？這些問題使學(xué)生的認(rèn)識(shí)在層層遞進(jìn)的思考中得到深化，解決解析幾何的邏輯思維能力在交流討論中得以提升.

（三）創(chuàng)設(shè)“數(shù)學(xué)思維歷程”的課程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是最終目的

創(chuàng)設(shè)“數(shù)學(xué)思維歷程”的課堂，不僅教給學(xué)生知識(shí)和方法，發(fā)展學(xué)生思維與能力，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的品格與精神，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 其一，條理性，一步一步，大化小，多化少，難化簡(jiǎn)，動(dòng)化定，逐個(gè)擊破，層層分析，找到真相. 其二，先分析思考，后落筆運(yùn)算，最簡(jiǎn)捷地書寫. 凡事謀定而后動(dòng)，思在前，行相隨，無往而不利;讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中既收獲數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法，又感受到從特殊到一般、從一般又到特殊、運(yùn)動(dòng)變化、等與不等、定與動(dòng)等哲學(xué)思想，提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

本課需要改進(jìn)的問題

1. “半開放性”問題是在老師引領(lǐng)下展開的，對(duì)優(yōu)秀的學(xué)生思維有一定的束縛，筆者曾在一個(gè)普通實(shí)驗(yàn)班嘗試過“全開放”的問題，問題的呈現(xiàn)為：

2. “半開放性”問題，學(xué)生思考討論時(shí)間較多，課堂節(jié)奏把控非常重要，若在第一環(huán)節(jié)再緊湊一些，將拓展的問題完成，發(fā)現(xiàn)四邊形OABC不是菱形的本質(zhì)，對(duì)學(xué)生思維能力的提升促進(jìn)作用更大.

作為數(shù)學(xué)教師，筆者常常在思考：當(dāng)學(xué)生有一天不再學(xué)數(shù)學(xué)了，筆者的數(shù)學(xué)課堂能夠給學(xué)生留下什么？應(yīng)該是當(dāng)學(xué)生遇到具體問題時(shí)，那種思考問題的方式和解決問題的方法與策略. 這將使學(xué)生終身受益，是一種不可量化的“長(zhǎng)效”，一種難以言說的豐厚的回報(bào).

今天的課堂教學(xué)表面上看是在教學(xué)生如何思考并解決數(shù)學(xué)問題，其實(shí)是為學(xué)生明天運(yùn)用邏輯思維的方法處理工作中的各種問題. 張鶴老師曾說“今天的很多的成年人在回憶自己的中學(xué)時(shí)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往成了痛苦的經(jīng)歷，希望未來的成年人會(huì)感激他（她）的數(shù)學(xué)老師曾經(jīng)帶給他們過美妙的數(shù)學(xué)思維的歷程”. 每個(gè)老師都應(yīng)努力使課堂教學(xué)給學(xué)生留下美妙的思維歷程，這節(jié)課應(yīng)該給學(xué)生留下了美妙的思維歷程.