為思維而教

姚少輝

[摘? 要] 數(shù)學(xué)是用概念思維的，因而高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)把學(xué)生思維能力的發(fā)展置于教學(xué)過程的核心地位，竭力做到為思維而教;奧蘇貝爾“先行組織者”策略，旨在構(gòu)造恰到好處的“組織者”，充分釋放“組織者”的領(lǐng)導(dǎo)力，為思維學(xué)習(xí)搭臺(tái)建橋、溝通聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生思維，增強(qiáng)思維的自覺性、合理性和深效性，并在思維中體驗(yàn)數(shù)學(xué)家創(chuàng)造概念的心路歷程，領(lǐng)悟概念背后的思想真諦，學(xué)會(huì)用概念思維.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);概念教學(xué);思維教學(xué);“先行組織者”策略

恩格斯說：“在一定意義上，科學(xué)的內(nèi)容就是概念的體系.”“數(shù)學(xué)概念是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn).”高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)本質(zhì)上是一種思維教學(xué)的過程，?所以“為思維而教”是提升高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)質(zhì)效的核心問題. 從教學(xué)行為理論的觀點(diǎn)來看，教學(xué)應(yīng)當(dāng)集中關(guān)注學(xué)生的進(jìn)步或發(fā)展，“學(xué)生有無進(jìn)步或發(fā)展是教學(xué)有沒有效益的唯一指標(biāo)”，而高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)當(dāng)本著“造就思維，改善思維，提升思維”的宗旨，竭力為學(xué)生學(xué)習(xí)概念搭建“組織者”，用適度輕松、靈活的方式發(fā)動(dòng)學(xué)生思維的引擎，讓學(xué)生通過深思熟慮透視概念的本質(zhì)內(nèi)涵，并體驗(yàn)概念所蘊(yùn)含的思維規(guī)律. 本文著重就以下幾點(diǎn)闡述奧蘇貝爾“先行組織者”的使用策略，及其對(duì)推動(dòng)思維學(xué)習(xí)活動(dòng)的意義.

找準(zhǔn)支撐點(diǎn)，撬動(dòng)自覺思維

“為思維而教”的基本任務(wù)是撬動(dòng)自覺思維. 數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)須著力于啟迪學(xué)生的思維、發(fā)展學(xué)生的智力. 高中階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容是近代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論中的精華，其中涉及的基本概念幾乎涵蓋了數(shù)學(xué)的所有思維哲學(xué)和思想方法，找準(zhǔn)支撐點(diǎn)，設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)概念教學(xué)的“組織者”，有助于撬動(dòng)思維自覺進(jìn)行.

奧蘇貝爾“先行組織者”策略認(rèn)為，學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，由于新舊知識(shí)間的差別有可能被兩者的相似性所掩蓋，導(dǎo)致對(duì)內(nèi)涵的理解混淆，教學(xué)可運(yùn)用“比較性組織者”，幫助學(xué)生先分清新舊知識(shí)間的異同，以增強(qiáng)新舊知識(shí)間的可辨別性，從而將概括性觀念滲入到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，完成對(duì)新舊知識(shí)的同化.

下面以高中“函數(shù)的概念”為例分析“先行組織者”的對(duì)策及意義. 初、高中關(guān)于函數(shù)概念的表述不盡相同，初中只強(qiáng)調(diào)變量之間的依賴關(guān)系，這與高中的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的描述是有差別的. 教學(xué)時(shí)，在簡(jiǎn)單回顧初中的函數(shù)概念后，提出問題“y=2是一個(gè)函數(shù)嗎”充當(dāng)“先行組織者”，是比較容易引起學(xué)生的辨析性思考的. 事實(shí)上，多數(shù)學(xué)生會(huì)給出否定的回答（或不置可否）. 這時(shí)，教師應(yīng)果斷提出問題“如果y=2是函數(shù)，應(yīng)當(dāng)怎樣理解該函數(shù)所反映的變量之間的關(guān)系呢？”這又是一個(gè)有較強(qiáng)“比較性”的問題，能夠激發(fā)學(xué)生自覺進(jìn)行反思性思維，有助于學(xué)生得出“不管自變量x取什么值，函數(shù)值y都為2”的結(jié)論，經(jīng)過思考分析，至少可以把兩個(gè)觀念固定下來，一個(gè)就是“依賴關(guān)系是屬于一般‘對(duì)應(yīng)關(guān)系中的一種（派生）”;另一個(gè)就是“自變量應(yīng)當(dāng)有一個(gè)可取值范圍（非空的數(shù)集），也就是‘對(duì)應(yīng)應(yīng)當(dāng)發(fā)生于兩個(gè)非空數(shù)集之間”. 基于這樣的觀念，學(xué)生就比較容易理解函數(shù)概念的更具抽象化的定義：函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的單值對(duì)應(yīng).

在這個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生并沒有多少探究活動(dòng)，更多是基于“組織者”和“已認(rèn)知的函數(shù)”之間的辨析與思考，這恰好是有意義學(xué)習(xí)的必備條件，和所能達(dá)到的最佳效果，這樣的“組織者”確實(shí)起到撬動(dòng)自覺思維的作用，是一個(gè)好的支點(diǎn).

選好切入點(diǎn)，促成合理思維

“為思維而教”的關(guān)鍵環(huán)節(jié)在于如何促成合理思維. 奧蘇貝爾曾說過這樣的話：“如果不得不把教育心理學(xué)的全部?jī)?nèi)容簡(jiǎn)約成一條原理的話，我會(huì)說，影響學(xué)習(xí)的最重要的因素是學(xué)生已知的內(nèi)容，弄清這一點(diǎn)之后，再進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué). ”這就是說教學(xué)所使用的“組織者”，可能是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中概括水平較低的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，教師要從這種耳熟能詳?shù)摹敖M織者”著手，凝練出“問題實(shí)質(zhì)”，作為引領(lǐng)思維的切入點(diǎn)，去促成學(xué)生對(duì)新知識(shí)的合理思考與概括學(xué)習(xí).

下面就以“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)為例，談?wù)劇敖M織者”策略是怎么促成學(xué)生“合理思維”的. “函數(shù)值隨著自變量的增加而增加（或減?。?，是學(xué)生對(duì)單調(diào)性的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，而且，諸如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)，學(xué)生通過它們的圖像，基本能了解單調(diào)性的特征，但在此基礎(chǔ)上要過渡到用數(shù)學(xué)符號(hào)語言來描述函數(shù)的單調(diào)性，這對(duì)教與學(xué)來說都是一個(gè)難點(diǎn). 研究者注意到學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中有“當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx+b呈遞增變化;當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx+b呈遞減變化”的經(jīng)驗(yàn)，理論上這一點(diǎn)恰好是“函數(shù)的單調(diào)性”的“種屬屬性”，基此就可提出問題“能否用類似直線f（x）=kx+b中的k的符號(hào)來描述單調(diào)性的定義”來充當(dāng)概念學(xué)習(xí)的“解析性組織者”，緊接著的問題“如果用直線上的兩個(gè)相異點(diǎn)來表示k，會(huì)有什么規(guī)律”就是為學(xué)生研究單調(diào)性的定義（抽象表述）而進(jìn)行思維發(fā)現(xiàn)選好了切入點(diǎn)，有了這種“組織者”的引領(lǐng)和啟發(fā)，學(xué)生就會(huì)嘗試運(yùn)用“種屬”的方式來進(jìn)行類的一般性概括與解釋，從而進(jìn)行諸如以下的合理思維與學(xué)習(xí)建構(gòu).

由直線的單調(diào)性過渡到一般函數(shù)的單調(diào)性，一方面，學(xué)生通過思維分析，可以認(rèn)識(shí)到在描述單調(diào)性定義上，直線型與非直線型函數(shù)的區(qū)別只在于其k為常數(shù)還是為變量的不同而已;另一方面，在函數(shù)的某一個(gè)完整的定義子區(qū)間內(nèi)，考察任意兩點(diǎn)之間的直線，總有變量k>0（或k<0）的情形是可以同化為“函數(shù)單調(diào)性的定義”的，也即“在某一個(gè)定義子區(qū)間內(nèi)，任取有大小關(guān)系的兩個(gè)自變量，它們所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也恒有大小關(guān)系，則函數(shù)在此區(qū)間上就有單調(diào)性，即單調(diào)遞增或遞減”. 通過這種思維認(rèn)知的過程，學(xué)生比較容易形成辯證的或“運(yùn)動(dòng)”的認(rèn)知觀點(diǎn)和方法.

挖掘生長點(diǎn)，助力深效思維

“為思維而教”的根本目標(biāo)是助力學(xué)生達(dá)成深效思維. 奧蘇貝爾認(rèn)為“有意義學(xué)習(xí)必然以有意義的知識(shí)內(nèi)容和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，加上學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)心向，三者缺一不可”. 有意義學(xué)習(xí)的發(fā)生總是在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和所學(xué)材料之間有一潛在的配合，而“先行組織者”則使這種配合成為可能. 研究者認(rèn)為在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)摹跋刃薪M織者”，有助于化解“認(rèn)知沖突”，進(jìn)而挖掘出思維的生長點(diǎn)，推動(dòng)思維向縱深發(fā)展. 下面就以“對(duì)數(shù)概念”的教學(xué)為例分析“先行組織者”策略在助力學(xué)生深效思維上的運(yùn)用.

恩格斯曾把“對(duì)數(shù)”列為十七世紀(jì)的三大數(shù)學(xué)發(fā)明之一，其創(chuàng)立推動(dòng)了天文學(xué)和數(shù)學(xué)的長足發(fā)展，這說明“對(duì)數(shù)” 在數(shù)學(xué)中的重要地位. 忽略其發(fā)明創(chuàng)造的根源，只由實(shí)例引入定義的教學(xué)，學(xué)生對(duì)定義的理解，會(huì)停留在指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化上去認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)，“對(duì)數(shù)”定義似乎只是“指數(shù)”名稱的一種變換而已，學(xué)生未能領(lǐng)會(huì)到“對(duì)數(shù)的意義”，更談不上領(lǐng)悟概念背后的思想，這就是一種“認(rèn)知沖突”.

為了克服這種沖突，就必須把學(xué)生對(duì)概念的學(xué)習(xí)，轉(zhuǎn)變?yōu)樵偎伎?、再發(fā)現(xiàn)的過程. 教學(xué)時(shí)，可通過多種方式讓學(xué)生先簡(jiǎn)單了解“對(duì)數(shù)的發(fā)明史”. 當(dāng)然，如果事先能提出問題：“分析納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)運(yùn)算的歷史緣由，你能簡(jiǎn)述對(duì)數(shù)運(yùn)算是一個(gè)怎樣的思想過程嗎？”讓學(xué)生透過史料，思索“對(duì)數(shù)”的思維本質(zhì)，意義會(huì)更大些.

接著用問題“追溯納皮爾的初衷，他是怎樣來簡(jiǎn)化兩個(gè)復(fù)雜數(shù)字（天文數(shù)字）的乘積的”作為“先行組織者”，筆者認(rèn)為這應(yīng)當(dāng)是個(gè)思維生長點(diǎn)，真正的思維教學(xué)就是從這里開始的，因?yàn)檫@能引導(dǎo)學(xué)生把思考“所得”與已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)“正數(shù)的任何次冪是正數(shù)”對(duì)接起來，悟出“發(fā)明對(duì)數(shù)”的思想本原——任何正數(shù)都可以轉(zhuǎn)換為同一個(gè)正的底數(shù)（必須不為1）的指數(shù)冪，基于這個(gè)性質(zhì)，在減少大量重復(fù)運(yùn)算的情況下（算法思想），就可以把數(shù)的乘法都轉(zhuǎn)化為某一個(gè)底數(shù)的冪的運(yùn)算來進(jìn)行，那么，就可以通過“人工計(jì)算”的方式造出“積數(shù)”的對(duì)照表（預(yù)制數(shù)表），對(duì)照數(shù)表查出你所要運(yùn)算的“積數(shù)”，這些就是發(fā)明對(duì)數(shù)的“思想與初衷”. 當(dāng)然，查表只解決了計(jì)算上的困難，還沒有上升到概念定義. “納皮爾在實(shí)踐中覺察到查表之缺：表再大，也難以表示精確值;或者，理論上存在的對(duì)數(shù)，表中是查不到的”，如果把這個(gè)作為“組織者”，就能夠把學(xué)生的思維引向更深，加上老師及時(shí)地啟發(fā)，學(xué)生是不難發(fā)現(xiàn)諸如“表中，以10為底數(shù)，冪為105的那個(gè)‘對(duì)數(shù)不是精確值;正數(shù)π的‘對(duì)數(shù)是查不到的”的例子. 如果這些“觸點(diǎn)”使納皮爾萌發(fā)了“造新數(shù)——對(duì)數(shù)符號(hào)logaN”的想法，那么，這不正是學(xué)生通過深效思維“理解”對(duì)數(shù)概念的又一個(gè)生長點(diǎn)嗎！經(jīng)過這樣深刻而有效地思維學(xué)習(xí)過程，學(xué)生完全能完成對(duì)“對(duì)數(shù)概念”的理解與固化：其一，“l(fā)ogaN”不單純是一個(gè)符號(hào)，它也是一個(gè)確定的數(shù)，它滿足：正數(shù)a的logaN次方的結(jié)果為N，也就是說，如果ax=N（a>0，a≠1），則可以得到x=logaN;其二，“l(fā)ogaN”也是一種運(yùn)算，即求以a為底數(shù)時(shí)正數(shù)N的對(duì)數(shù)，這個(gè)“對(duì)數(shù)結(jié)果”也是底數(shù)為a、冪的結(jié)果為N的冪的指數(shù). 這就是“先行組織者”策略所領(lǐng)導(dǎo)出來的最深效的思維結(jié)果.

數(shù)學(xué)的思維過程如果用語言文字來表達(dá)的話，顯得啰唆且冗長，甚至難以精確其意. 但究其實(shí)際，卻是環(huán)環(huán)相扣、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、精妙絕倫. 有人說，真正的數(shù)學(xué)思維過程是一個(gè)發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美和享受美的過程. 試想，學(xué)數(shù)學(xué)不用思考、無須思維，那么數(shù)學(xué)還能給人留下什么？數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)在潛移默化中影響著學(xué)生的思維，造就著學(xué)生的思維，讓學(xué)生在思維的考驗(yàn)中領(lǐng)略數(shù)學(xué)知識(shí)背后的思想與本質(zhì). 奧蘇貝爾“先行組織者”的對(duì)策理念，在于通過創(chuàng)造具有領(lǐng)導(dǎo)力的組織者，來發(fā)動(dòng)思維認(rèn)知指向更深刻、更豐富的知識(shí)內(nèi)涵與本質(zhì)，最終達(dá)成有意義的學(xué)習(xí)和建構(gòu).