猜想：讓深度解題更淺顯

卓元 張純

摘? 要：猜想，對于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)有至關(guān)重要的作用，數(shù)學(xué)上好多的重大發(fā)現(xiàn)都是從猜想開始的。哥德巴赫猜想是數(shù)學(xué)皇冠上一顆璀璨的明珠，指引著眾多科學(xué)家、數(shù)學(xué)家向研究的深度前進(jìn)。筆者作為教師有責(zé)任在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神，猜想就是一種很好的途徑。于是，從深度解題開始用猜想點(diǎn)燃學(xué)生內(nèi)心科學(xué)探究的火焰，通過猜想喚醒學(xué)生內(nèi)心科學(xué)探究精神，再去檢驗(yàn)猜想，驗(yàn)證其科學(xué)性，即使猜想錯(cuò)誤，但可以促使一個(gè)更好的猜想發(fā)生。

關(guān)鍵詞：猜想;深度解題;科學(xué)探究;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

猜想指猜測、猜度。語出《孽?；ā分小啊诒P算和猜想間，那晚忽見間壁的興高采烈的盛會(huì)……”一些完全沒有的事物通過猜想可以使其存在，牛頓說：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)。”足見猜想對科學(xué)發(fā)展的重要性。大家熟悉的數(shù)學(xué)界三大猜想（費(fèi)馬猜想;四色猜想;哥德巴赫猜想）就是面對現(xiàn)實(shí)進(jìn)行猜測而生。猜想可以引導(dǎo)學(xué)生把現(xiàn)實(shí)問題深究化，使其在理解、懂的基礎(chǔ)上更懂更理解，特別是在解決問題當(dāng)中，對困難問題進(jìn)行猜想，可以幫助解題更深入，更重要的是培養(yǎng)“數(shù)學(xué)家”式的科學(xué)探究精神。教學(xué)中教師適度適宜地引導(dǎo)學(xué)生猜想，并驗(yàn)證猜想，也就是弗賴登塔爾所說：數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”。猜想不是引導(dǎo)學(xué)生從源頭解決問題，而是從問題的結(jié)論開始尋求本源、本質(zhì)來揭露事物發(fā)生、發(fā)展等過程。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)?！安孪搿?，誰敢斷言其數(shù)學(xué)素養(yǎng)不能提升？

一、猜想是點(diǎn)燃科學(xué)探究火焰的種子

偉大的發(fā)現(xiàn)都是從猜想開始的。數(shù)學(xué)中的問題都有一個(gè)環(huán)環(huán)相扣的看似確定但又不確定的因素在其中，要想從一個(gè)問題生發(fā)出另一個(gè)新問題，猜想絕對是一個(gè)十分不錯(cuò)的好主意。所以，教學(xué)中適時(shí)地相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想，學(xué)生不會(huì)去做問題的終結(jié)者，而是做一個(gè)新問題的開拓者，會(huì)把“舊”的問題做深做大。

筆者在教學(xué)《加法交換律和加法結(jié)合律》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊第六單元）過程中，引導(dǎo)學(xué)生通過分析、比較、抽象、概括等理解并掌握了加法交換律（a+b=b+a）和加法結(jié)合律（（a+b）+c=a+（b+c）），并且能正確運(yùn)用加法交換律和加法結(jié)合律解決實(shí)際問題。按照教學(xué)目標(biāo)的要求，該教學(xué)已達(dá)成目標(biāo)設(shè)計(jì)。但新的課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)“要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”（2011年版），意指有必要引導(dǎo)學(xué)生在理解掌握知識(shí)的基礎(chǔ)上體現(xiàn)價(jià)值。于是筆者對該教學(xué)進(jìn)行延伸拓展。

師：今天，老師和同學(xué)們共同探究出加法交換律和加法結(jié)合律，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們在運(yùn)用其解決問題時(shí)相當(dāng)熟練。同時(shí)老師有一個(gè)疑問產(chǎn)生了，在乘法運(yùn)算當(dāng)中，有沒有乘法交換律和乘法結(jié)合律呢？

生：（學(xué)生左思右想）。

師：我們猜想一下：有，會(huì)使運(yùn)算怎么樣？沒有，會(huì)使計(jì)算怎么樣？

生：我猜，有乘法交換律和乘法結(jié)合律。二年級(jí)老師教我們乘法口訣時(shí)有這樣的例子，如5×8是40，但8×5也是40，他們使用共同的口訣“五八四十”，通過觀察5×8和8×5，其結(jié)果都是40，只是乘數(shù)的位置前邊變后邊，后邊變前邊了，這和我們學(xué)習(xí)的加法交換律不是一樣的嗎？所以，我認(rèn)為有乘法交換律。根據(jù)加法結(jié)合律推斷有乘法結(jié)合律，比如5×（2×7）這個(gè)算式是5×14等于70。如果是5和2結(jié)合得出10，再去與7相乘，直接口算出結(jié)果也是70，所以我認(rèn)為有乘法結(jié)合律。

生：我的猜測和他是一樣的，我認(rèn)為有“乘法交換律”和“乘法結(jié)合律”。記得二年級(jí)時(shí)，老師教我們背誦一個(gè)“顛三倒四”版的乘法口訣表。因?yàn)橥瑢W(xué)們在使用乘法口訣計(jì)算時(shí)很順溜，如8×9一看題目便想起口訣“八九七十二”，由此得出結(jié)果是72，但是遇到9×8時(shí)有的學(xué)生乘法口訣記憶不夠靈活，于是到“九”的口訣里去找，卻沒有找到9×8的口訣，這時(shí)便容易出錯(cuò)，并且運(yùn)算速度十分慢。針對這樣的情況，老師為我們“創(chuàng)造”了一個(gè)“顛三倒四”版的乘法口訣表，無論是“八九七十二”還是“九八七十二”，結(jié)果都是72，只是乘數(shù)位置做了交換，其實(shí)這就是乘法交換律。乘法結(jié)合律的想法同它是一樣的，也是那樣猜想的。

加法有交換律和結(jié)合律，乘法有沒有？給學(xué)生留下一個(gè)懸疑，留下一個(gè)猜測的空間。這就是挖掘?qū)W生的科學(xué)探究精神。雖然利用課間短短的幾分鐘聽取了學(xué)生的猜想，他們有理有據(jù)地證明了自己猜想的正確性。哥德巴赫猜想也是這樣的，任一大于2的偶數(shù)都可以寫成2個(gè)質(zhì)數(shù)之和。陳景潤從有這樣的偶數(shù)和素?cái)?shù)開始，對篩法做了重要的改進(jìn)后證明了“1+2”。學(xué)生在證明自己猜想正確性上，思維在不停地晃動(dòng)，慢慢地進(jìn)行碰撞，在碰撞中不停地“試誤”，在“試誤”中得出自己結(jié)論的正確。

數(shù)學(xué)上每一個(gè)問題都可以猜想，沒出現(xiàn)的問題同樣可以猜想。如你給我一棵樹，我會(huì)還給你一個(gè)森林。一個(gè)不經(jīng)意地拋出——猜想，卻有了大大的意外收獲，讓看來深邃困難的習(xí)題從無從下手到轉(zhuǎn)而變得淺顯易明。學(xué)生在猜想當(dāng)中不停地探索，研究自我猜想的正確性，慢慢地科學(xué)精神就在生根、發(fā)芽中成長起來了，這何愁不能提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？

二、猜想是科學(xué)探究的敲門磚

學(xué)生在實(shí)際解題當(dāng)中，往往會(huì)出現(xiàn)這樣的一些情況，對于簡單的隨手捏來的習(xí)題，認(rèn)為有十成把握的順手完成，完成之后從不深思，原因在于有十成把握的心理存在。對于那些思維跨度較大、知識(shí)綜合性較強(qiáng)的習(xí)題，在學(xué)生初步思考之后，大部分學(xué)生會(huì)放棄或者胡亂寫上結(jié)果，沒有一個(gè)深度解題的良好思維與習(xí)慣。眾所周知深度解題的良好思維與習(xí)慣一旦具備，將會(huì)為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)與發(fā)展，墊起一個(gè)“撬起地球”的“支點(diǎn)”。所以，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想，幫助學(xué)生深度解題，猶如教會(huì)學(xué)生給玉米扒苞皮一樣一層一層地揭開神秘面紗。

教學(xué)完《認(rèn)識(shí)三角形》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊第七單元）后，就可以結(jié)合以前學(xué)習(xí)過的圖形認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生思維綜合性得到提升，于是我出了一道有開拓性的作圖題：在一個(gè)給定的三角形內(nèi)畫出一個(gè)最大的正方形，并且正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)在三角形的底邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在三角形的另外兩條邊上。對于四年級(jí)的學(xué)生來說該題并不難，很容易畫出來。學(xué)生在構(gòu)建圖形當(dāng)中內(nèi)心只知道這樣畫是最大的內(nèi)接正方形，但缺乏重要的理論與實(shí)踐依據(jù)，即知其然而不知其所以然。這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生據(jù)題目中條件與問題進(jìn)行猜測是首要的任務(wù)。

教師帶著學(xué)生一步一步地猜測著前進(jìn)，在前進(jìn)中就有十分接近答案的思路了。設(shè)若學(xué)生推測出第4個(gè)頂點(diǎn)的軌跡是一條直線，該題便迎刃而解了。所以，對一道習(xí)題的解決不在乎它的難和易，最主要是啟動(dòng)思維，使之有思路。通過猜測一步一步地摸索著前進(jìn)，就會(huì)迎來恍然大悟式的“光明”。足見猜想猶是登山愛好者手中的登山鎬，猶是奧運(yùn)賽場上長跑運(yùn)動(dòng)員的助跑器。小學(xué)生愛幻想，讓他們把幻想變?yōu)椴孪?，?shù)學(xué)解題便不再那么難了，而是手到擒來的容易。

三、檢驗(yàn)?zāi)愕牟孪?/p>

你的猜想一定是正確的嗎？不，有時(shí)候也是錯(cuò)誤的。錯(cuò)誤的猜想不能使用，正確的猜想要經(jīng)過檢驗(yàn)。我們要認(rèn)真對待自己的猜想，要全神貫注地對待由真正感興趣的題目產(chǎn)生的那些猜想，這樣的猜想往往會(huì)包含著真理的某個(gè)小片段，有時(shí)會(huì)顯示出整個(gè)的真理。所以，對待自己的猜想要進(jìn)行適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)，在檢驗(yàn)的機(jī)會(huì)中提煉出整個(gè)的真理。雖然有時(shí)猜想被檢驗(yàn)是錯(cuò)誤的，但它對促使一個(gè)更好的猜想還是發(fā)揮著作用的。

我國古代有這樣一個(gè)故事，一個(gè)人斧頭丟了，翻箱倒柜也沒有找到，但他看到鄰居的行為比較古怪，就懷疑鄰居偷了他的斧頭。于是他不管怎么看鄰居，都覺得自己的這個(gè)鄰居像一個(gè)偷了他的斧頭的小偷。過了一段時(shí)間后，他在家中一個(gè)僻靜的角落找到了斧頭，這時(shí)再看鄰居覺得這個(gè)人很高尚。臆測并非全對，所以“不要讓你的懷疑、猜想不加檢驗(yàn)地得到膨脹，直至它變得根深蒂固。無論如何，從理論上說最好的念頭會(huì)因不加鑒別的接受而受損，卻會(huì)因嚴(yán)格的檢驗(yàn)而茁壯?！?/p>

有這樣一道大家都熟悉的題：在給定一個(gè)周長不變的所有四邊形中，求面積最大的那個(gè)四邊形。初步分析知周長是永遠(yuǎn)不變的，是一個(gè)常量，而面積會(huì)隨著四邊形長和寬的限制而改變，其為一個(gè)變量，也就是說從所有的變量中找出變量是最大的那個(gè)。筆者在帶領(lǐng)學(xué)生分類復(fù)習(xí)求圖形面積中的長方形、正方形面積后（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊），把該題出示給學(xué)生進(jìn)行有意識(shí)的嘗試。

這類習(xí)題給學(xué)生思維拓展的空間最大，易于學(xué)生進(jìn)行猜測。怎樣的四邊形面積會(huì)最大呢？最簡單的猜測，可能是圓，因?yàn)槠涫撬兄荛L相同的圖形中面積最大的，但是它不是四邊形。什么樣的圖形最接近四邊形呢？“一個(gè)容易想到的猜測是正方形。如果我們認(rèn)真對待這個(gè)猜測，那就說明白它意味著什么，我們有勇氣申明，”在所有周長給定的四邊形中，正方形的面積最大。對于自己的猜測進(jìn)行系統(tǒng)檢驗(yàn)，形成自己認(rèn)知構(gòu)架下的“真理”。

師：這個(gè)論斷是否正確呢？可以把上述的式子形成一個(gè)等價(jià)后的式子：a2+2ab+b2>4ab（板書）。通過觀察式子可以繼續(xù)等價(jià)：a2-2ab+b2>0，即有（a-b）2>0（板書）。要想使這個(gè)不等式成立，a=b的情況應(yīng)被排除。這時(shí)我們檢驗(yàn)的矩形就變成正方形。命題：給定周長的所有矩形當(dāng)中，正方形的面積最大。通過猜測的檢驗(yàn)，就變成一個(gè)可以拿來使用的定理（定理：（數(shù)學(xué)術(shù)語）經(jīng)過受邏輯限制的證明為真的陳述）。

新課標(biāo)倡導(dǎo)提升學(xué)生素養(yǎng)，教師就要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、探索、再創(chuàng)造，培養(yǎng)其良好的思維品質(zhì)與探究精神。通過猜想進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，將復(fù)雜的問題簡單化，將新的知識(shí)得以“舊”化，學(xué)生的思維在“試誤”當(dāng)中就會(huì)尋求到“真理”的存在。猜想，不僅是科學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)問題的重要源泉，也是解題過程中經(jīng)常需要的一種想象形式。也如G.波利亞所說：“我要向各年級(jí)所有對數(shù)學(xué)有興趣的學(xué)生提出：的確，我們應(yīng)該學(xué)習(xí)證明法，但我們也要學(xué)會(huì)猜想?！辈孪胨季S不容置疑的就是創(chuàng)造性思維，而猜想意識(shí)與習(xí)慣則是學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的重要品質(zhì)。教學(xué)中，使學(xué)生的創(chuàng)造性思維得以培養(yǎng)，那就引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想，建立猜想意識(shí)，進(jìn)而使學(xué)生的品質(zhì)得以提升。這些任務(wù)的推進(jìn)，就從深度解題開始。