感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的多樣情景

云南 蔣金團(tuán)

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，只要穿過回路的磁通量發(fā)生了變化，在回路中就會(huì)有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可以分為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)兩類。動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生機(jī)理是由于外力使導(dǎo)體或回路切割磁感線，而使導(dǎo)體內(nèi)自由電子受到洛倫茲力定向運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)；感生電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生機(jī)理是固定回路中的磁場(chǎng)發(fā)生變化，變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)，渦旋電場(chǎng)對(duì)回路中的電荷施加的作用力是一種非靜電力，它引起了感生電動(dòng)勢(shì)。雖然產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的原因只有兩種情況，但命題者可根據(jù)改變導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)方式、改變導(dǎo)體的形狀、改變磁場(chǎng)的空間分布、改變磁場(chǎng)的變化方式等手段豐富磁通量變化的內(nèi)涵，本文對(duì)這類問題做些探討。

一、恒定勻強(qiáng)磁場(chǎng)中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

1.直線導(dǎo)體平動(dòng)切割磁感線

直線導(dǎo)體在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中平動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，計(jì)算公式為E=BLv，使用這個(gè)公式的條件是B、L、v三個(gè)物理量?jī)蓛纱怪?；碰到不垂直情形時(shí)，必須通過正交分解構(gòu)造兩兩垂直。

【例1】半徑為a右端開小口的導(dǎo)體圓環(huán)和長(zhǎng)為2a的導(dǎo)體直桿，單位長(zhǎng)度電阻均為R0。圓環(huán)水平固定放置，整個(gè)內(nèi)部區(qū)域分布著豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。桿在圓環(huán)上以速度v平行于直徑CD向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，桿始終有兩點(diǎn)與圓環(huán)良好接觸，從圓環(huán)中心O開始，桿的位置由θ確定，如圖1所示。則

( )

A．θ=0時(shí)，桿產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為2Bav

C.導(dǎo)體直桿上M點(diǎn)的電勢(shì)低于N點(diǎn)的電勢(shì)

【答案】AD

【點(diǎn)評(píng)】(1)用E=BLv計(jì)算時(shí)，L為有效長(zhǎng)度；(2)切割磁感線那部分導(dǎo)體相當(dāng)于電源，用右手定則判斷出感應(yīng)電流方向以后，根據(jù)“電源內(nèi)部電流從負(fù)極流向正極”可判斷出其正負(fù)極，則正極端的電勢(shì)高于負(fù)極端的電勢(shì)；(3)當(dāng)電路閉合時(shí)，電源兩端的電壓是路端電壓，不能錯(cuò)誤當(dāng)成電動(dòng)勢(shì)。

【例2】如圖2，在水平面(紙面)內(nèi)有三根相同的均勻金屬棒ab、ac和MN，其中ab、ac在a點(diǎn)接觸，構(gòu)成“V”字型導(dǎo)軌?？臻g存在垂直于紙面的均勻磁場(chǎng)，用力使MN向右勻速運(yùn)動(dòng)，從a位置開始計(jì)時(shí)，運(yùn)動(dòng)中MN始終與∠bac的平分線垂直且和導(dǎo)軌保持良好接觸。下列關(guān)于回路中電流i與時(shí)間t的關(guān)系圖線，可能正確的是

( )

【解析】設(shè)∠bac=2θ，單位長(zhǎng)度電阻為R0

則MN切割產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)

E=BLv=Bv·2vt×tanθ=2Bv2ttanθ=k1t

回路總電阻為

由閉合電路歐姆定律得

i與時(shí)間無關(guān)，是一個(gè)定值，故A正確，BCD錯(cuò)誤。

【答案】A

【點(diǎn)評(píng)】本題巧妙之處在于電動(dòng)勢(shì)和總電阻都隨時(shí)間均勻增加，從而導(dǎo)致電流恒定不變，該題可當(dāng)成經(jīng)典模型進(jìn)行記憶。

2.折線(曲線)導(dǎo)體平動(dòng)切割磁感線

當(dāng)折線棒或曲線棒平動(dòng)切割磁感線時(shí)，將棒的兩個(gè)端點(diǎn)連成直線，若該連線與速度和磁場(chǎng)的方向都垂直，則兩端點(diǎn)之間的距離為有效長(zhǎng)度。

( )

【答案】B

【點(diǎn)評(píng)】將折線棒的兩個(gè)端點(diǎn)連成直線，設(shè)想回路是閉合的，則閉合回路的磁通量沒有發(fā)生變化，不會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，此時(shí)可理解成折線棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)與兩端點(diǎn)連線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)抵消，這樣一來，計(jì)算折線棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)可轉(zhuǎn)化成計(jì)算兩端點(diǎn)連線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，這正是有效長(zhǎng)度的原理所在。

【例4】如圖4所示，一導(dǎo)線彎成半徑為a的半圓形閉合回路，虛線MN右側(cè)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于回路所在的平面?；芈芬运俣葀向右勻速進(jìn)入磁場(chǎng)，直徑CD始終與MN垂直，從D點(diǎn)到達(dá)邊界開始，到C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)為止，下列結(jié)論正確的是

( )

A．感應(yīng)電流方向不變

B．CD段直線始終不受安培力

C．感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值Em=Bav

【答案】ACD

3.直線導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)切割磁感線

【例5】如圖5所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬OA桿繞過O點(diǎn)垂直于紙面的固定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),角速度為ω，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于紙面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,磁場(chǎng)范圍足夠大,金屬桿OA產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小可以用以下2種方法推導(dǎo)。

方法1法拉第電磁感應(yīng)定律法

設(shè)在時(shí)間Δt內(nèi)金屬桿掃過的面積為ΔS，則

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

方法2等效法

( )

【解析】從靜止開始繞過圓心O以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為

磁場(chǎng)變化時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為

根據(jù)題意兩次產(chǎn)生的感應(yīng)電流相等，因?yàn)殡娮璞３植蛔儯瑑纱萎a(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)也相等，即E1=E2

【答案】C

【點(diǎn)評(píng)】本題既考查了動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算方法，也考查了感生電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算方法，兩次產(chǎn)生的感應(yīng)電流相等是聯(lián)系兩次電磁感應(yīng)信息的橋梁。

【例7】半徑分別為r和2r的同心圓形導(dǎo)軌固定在同一水平面上，一長(zhǎng)為r，質(zhì)量為m且質(zhì)量分布均勻的直導(dǎo)體棒AB置于圓導(dǎo)軌上面，BA的延長(zhǎng)線通過圓導(dǎo)軌的中心O，裝置的俯視圖如圖7所示；整個(gè)裝置位于一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向豎直向下；在內(nèi)圓導(dǎo)軌的C點(diǎn)和外圓導(dǎo)軌的D點(diǎn)之間接有一阻值為R的電阻(圖中未畫出)。直導(dǎo)體棒在水平外力作用下以角速度ω繞O逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌保持良好接觸。設(shè)導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌的電阻均可忽略，重力加速度大小為g，求：

(1)通過電阻R的感應(yīng)電流的方向和大??；

(2)外力的功率。

【解析】(1)在Δt時(shí)間內(nèi)，導(dǎo)體棒掃過的面積為

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為

根據(jù)右手定則，感應(yīng)電流的方向是從B端流向A端，因此流過導(dǎo)體R的電流方向是從C端流向D端；由歐姆定律流過導(dǎo)體R的電流滿足

(2)對(duì)導(dǎo)體棒受力分析，豎直方向受重力，兩圓導(dǎo)軌的支持力，水平方向受外力F、安培力、兩圓導(dǎo)軌的滑動(dòng)摩擦力。

在豎直方向根據(jù)平衡條件有mg=2FN⑤

在水平方向上根據(jù)平衡條件有F=BIr+2μFN⑥

【點(diǎn)評(píng)】(1)當(dāng)導(dǎo)體棒只有部分旋轉(zhuǎn)切割磁感線時(shí)，可取切割部分兩端點(diǎn)的速度之和的一半作為平均速度；(2)本題中的外力不一定沿著速度方向，但是把外力分解成沿著速度和沿著半徑的兩個(gè)分力時(shí)，沿著半徑的分力不做功，因此求外力的功率時(shí)，可設(shè)外力方向與速度方向相同。

4.圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感線

【例9】法拉第圓盤發(fā)電機(jī)的示意圖如圖9所示。銅圓盤安裝在豎直的銅軸上，兩銅片P、Q分別與圓盤的邊緣和銅軸接觸。圓盤處于方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中。圓盤旋轉(zhuǎn)時(shí)，關(guān)于流過電阻R的電流，下列說法正確的是

( )

A．若圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度恒定，則電流大小恒定

B．若從上向下看，圓盤順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則電流沿a到b的方向流動(dòng)

C．若圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)方向不變，角速度大小發(fā)生變化，則電流方向可能發(fā)生變化

D．若圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度變?yōu)樵瓉淼?倍，則電流在R上的熱功率也變?yōu)樵瓉淼?倍

【答案】AB

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓盤旋轉(zhuǎn)切割磁感線的處理方法，我們做這類題時(shí)不但要學(xué)會(huì)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流的計(jì)算，還要學(xué)會(huì)判斷圓盤兩極電勢(shì)的高低。

二、恒定非勻強(qiáng)磁場(chǎng)中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

【例10】如圖10所示，一圓形閉合銅環(huán)由高處從靜止開始下落，穿過一根豎直懸掛的條形磁鐵，銅環(huán)的中心軸線與條形磁鐵的中軸線始終保持重合。若取磁鐵中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立豎直向下為正方向的x軸，則以下最能正確反映環(huán)中感應(yīng)電流i隨環(huán)心位置坐標(biāo)x變化的關(guān)系圖象是

( )

【解析】圓形閉合銅環(huán)由高處從靜止開始下落，穿過一根豎直懸掛的條形磁鐵，銅環(huán)的中心軸線與條形磁鐵的中軸線始終保持重合，圓環(huán)中磁通量變化不均勻，產(chǎn)生的感應(yīng)電流不是線性變化，A錯(cuò)誤；銅環(huán)下落到磁鐵頂端的速度小于下落到磁鐵底端的速度，銅環(huán)下落到磁鐵頂端產(chǎn)生的感應(yīng)電流小于下落到磁鐵底端產(chǎn)生的感應(yīng)電流，選項(xiàng)B正確，CD錯(cuò)誤。

【答案】B

【點(diǎn)評(píng)】本題也可以從切割磁感線的角度加深理解，磁鐵正中央發(fā)出的磁場(chǎng)方向是豎直向下，圓形線圈來到這個(gè)位置時(shí)，瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì)為0，所以前半段過程的電流先增大后減小。

三、磁場(chǎng)均勻變化時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

1.回路中只有感生電動(dòng)勢(shì)

【例11】如圖11所示，一正方形線圈的匝數(shù)為n，邊長(zhǎng)為a，線圈平面與勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直，且一半處在磁場(chǎng)中，在Δt時(shí)間內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向不變，大小由B均勻地增大到2B，在此過程中，線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

( )

【答案】B

【點(diǎn)評(píng)】計(jì)算磁通量的變化量時(shí)，必須取有效面積，對(duì)稱軸右方的面積無磁場(chǎng)穿過，為無效面積。

2.動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)共存

【例12】如圖12所示，兩條相距l(xiāng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面(紙面)內(nèi)，其左端接一阻值為R的電阻；一與導(dǎo)軌垂直的金屬棒置于兩導(dǎo)軌上；在電阻、導(dǎo)軌和金屬棒中間有一面積為S的區(qū)域，區(qū)域中存在垂直于紙面向里的均勻磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B1隨時(shí)間t變化的關(guān)系為B1=kt，式中k為常量；在金屬棒右側(cè)還有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，區(qū)域左邊界MN(虛線)與導(dǎo)軌垂直，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，方向也垂直于紙面向里。某時(shí)刻，金屬棒在一外加水平恒力的作用下從靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，在t0時(shí)刻恰好以速度v0越過MN，此后向右做勻速運(yùn)動(dòng)。金屬棒與導(dǎo)軌始終相互垂直并接觸良好，它們的電阻均忽略不計(jì)。求：

(1)在t=0到t=t0時(shí)間間隔內(nèi)，流過電阻的電荷量的絕對(duì)值；

(2)在時(shí)刻t(t>t0)穿過回路的總磁通量和金屬棒所受外加水平恒力的大小。

【解析】(1)金屬棒越過MN之前，從t=0到t=t0的時(shí)間間隔內(nèi)回路的磁通量的變化量ΔΦ=ΔB·S=kSt0

(2)當(dāng)t>t0時(shí)，金屬棒已越過MN，設(shè)時(shí)刻t回路中的電流為It，則有

時(shí)刻t回路中的磁通量Φt=kSt+B0lv0(t-t0)

因?yàn)榻饘侔粼贛N右側(cè)做勻速直線運(yùn)動(dòng)

【點(diǎn)評(píng)】動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)共存時(shí)，先用楞次定律和右手定則判斷出兩者的方向是否相同，當(dāng)方向相同時(shí)，總電動(dòng)勢(shì)等于動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)之和；當(dāng)方向相反時(shí)，總電動(dòng)勢(shì)等于動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)之差。

3.按正弦規(guī)律變換的磁場(chǎng)問題

【例13】(2018年全國(guó)Ⅲ卷第20題)如圖13中(a)，在同一平面內(nèi)固定有一長(zhǎng)直導(dǎo)線PQ和一導(dǎo)線框R，R在PQ的右側(cè)，導(dǎo)線PQ中通有正弦交流電i，i的變化如圖(b)所示，規(guī)定從Q到P為電流正方向。導(dǎo)線框R中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

( )

D.在t=T時(shí)最大，且沿順時(shí)針方向

【答案】AC