談動(dòng)能定理法求變力做功的命題與解題

福建 鄭行軍

中學(xué)物理中求變力做功的方法主要有：微元法、圖象法、轉(zhuǎn)換對(duì)象法、動(dòng)能定理法等，不同的方法針對(duì)不同的題設(shè)特點(diǎn)，其中以動(dòng)能定理法的運(yùn)用最為廣泛，題目條件的設(shè)置靈活多變，學(xué)生在求解過程中感覺類型多、思路模糊、難度較大。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐和考綱要求，對(duì)物理中運(yùn)用動(dòng)能定理法求解變力做功的題目進(jìn)行整理歸類，提高對(duì)此知識(shí)點(diǎn)的整體認(rèn)知。

試題設(shè)計(jì)1：瞬間問題(位移無法求問題)

【設(shè)計(jì)思路】在瞬間問題中，受力物體與施力物體作用的時(shí)間極短，物體運(yùn)動(dòng)的位移無法求得，因此在試題編制中往往會(huì)關(guān)聯(lián)物體運(yùn)動(dòng)的始末速度做題設(shè)條件，以動(dòng)能為切入點(diǎn)，運(yùn)用動(dòng)能定理求解。

【例1】一個(gè)質(zhì)量為0.2 kg的彈性小球，在光滑水平面上以6 m/s的速度垂直撞到墻上，碰撞后小球沿相反方向運(yùn)動(dòng)，反彈后的速度大小為4 m/s，設(shè)碰撞前后小球動(dòng)量變化量的大小為Δp，碰撞過程中墻對(duì)小球做功的大小為W，則

( )

A.Δp=0.4 kg·m/s，W=5.2 J

B.Δp=0.4 kg·m/s，W=2 J

C.Δp=2 kg·m/s，W=5.2 J

D.Δp=2 kg·m/s，W=2 J

【答案】D

【點(diǎn)評(píng)】動(dòng)能只與速度大小有關(guān)，與方向無關(guān)，墻對(duì)球的作用力為變力，且作用時(shí)間極短，位移無法求得，可利用動(dòng)能定理間接求得變力做功。

試題設(shè)計(jì)2：關(guān)聯(lián)力與速度關(guān)系問題(如F=kv等)

【設(shè)計(jì)思路】題設(shè)條件中作用在物體上的外力與速度存在一定的定量關(guān)系，為變力，由于速度約束，物體的運(yùn)動(dòng)最終往往會(huì)呈現(xiàn)穩(wěn)定或臨界狀態(tài)，因此命題設(shè)計(jì)需要學(xué)生對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，求出最終穩(wěn)定時(shí)物體的速度，而后應(yīng)用動(dòng)能定理求出變力做功。

【例2】如圖1，穿在足夠長(zhǎng)的水平直桿上質(zhì)量為m的小球開始時(shí)靜止?，F(xiàn)對(duì)小球沿桿方向施加恒力F0，垂直于桿方向施加豎直向上的力F，且F的大小始終與小球的速度成正比，即F=kv(圖中未標(biāo)出)。已知小球與桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，且F0>μmg，小球由靜止到最終速度穩(wěn)定時(shí)運(yùn)動(dòng)的位移為s，則

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圖1

A.小球先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，后做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)直到靜止

【答案】BD

【點(diǎn)評(píng)】豎直方向的力與速度相關(guān)，使得水平方向的摩擦力為變力，對(duì)套球進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，判斷小球最終穩(wěn)定的可能情況，利用動(dòng)能定理求克服摩擦力做功，本題解題的關(guān)鍵在于對(duì)球的動(dòng)態(tài)分析及動(dòng)能定理等相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用。

試題設(shè)計(jì)3：斜拉牽引模型中的拉力為變力，且存在關(guān)聯(lián)速度問題(F無法求問題)

【設(shè)計(jì)思路】以掛點(diǎn)為連接點(diǎn)設(shè)計(jì)的斜拉牽引模型中，在未知繩或桿的作用力時(shí)往往為變力無法直接求解，在習(xí)題命制的條件信息中一般會(huì)給出約束型物體的速度，當(dāng)物體間的速度方向與繩或桿不共線時(shí)，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解分析出物體間的速度關(guān)系，可求出受力物體的速度大小，后應(yīng)用動(dòng)能定理求解。

【例3】某港口利用如圖2所示的滑輪組轉(zhuǎn)動(dòng)裝置來提升貨物，開始時(shí)貨物放置于地面，牽引車位于定滑輪的正下方A處，定滑輪離地的高度H=20 m，貨物與車均可視為質(zhì)點(diǎn)，且滑輪直徑遠(yuǎn)小于H，不計(jì)一切摩擦。牽引車由A處勻速行駛到B處，速度v=5 m/s，繩BO與水平方向的夾角為53°，由于繞在輪上細(xì)鋼絲繩的拉動(dòng)，貨物由地面從靜止開始向上運(yùn)動(dòng)。已知貨物的質(zhì)量m=800 kg，則車從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中(取g=10 m/s2，sin53°=0.8)

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圖2

A.貨物最大速度為1.5 m /s

B.貨物上升的高度為5 m

C.貨物上升過程一直做勻加速直線運(yùn)動(dòng)

D.鋼絲在這一過程中對(duì)貨物做功為2.09×104J

【答案】AD

【點(diǎn)評(píng)】斜拉牽引模型中若拉力為變力，且關(guān)聯(lián)速度時(shí)，可利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解將物體的速度沿平行繩子和垂直繩子方向正交分解，而后利用動(dòng)能定理求得兩物體之間相互作用力做的功。

試題設(shè)計(jì)4：圓周運(yùn)動(dòng)類問題(如變軌問題)

【設(shè)計(jì)思路】圓周運(yùn)動(dòng)類的變力做功問題命題設(shè)計(jì)主要偏向于變速圓周運(yùn)動(dòng)的同軌模型和變速圓周運(yùn)動(dòng)的變軌模型，習(xí)題的典型特征有：①運(yùn)動(dòng)過程軌跡為圓或始末狀態(tài)穩(wěn)定且軌跡為圓；②外力大小變化呈現(xiàn)一定的無規(guī)則性；③條件中顯含或隱含始末速度。分析的要點(diǎn)可由牛頓運(yùn)動(dòng)定律尋出始末位置的速率與力的關(guān)系，綜合聯(lián)立動(dòng)能定理求解變力做功。

【例4】如圖3所示，一質(zhì)量為m的小球用兩根不可伸長(zhǎng)的輕繩a、b連接，兩輕繩的另一端在豎直桿的A、B兩點(diǎn)上，當(dāng)兩輕繩伸直時(shí)，a繩與桿的夾角為30°，b繩水平，已知a繩長(zhǎng)為2L，當(dāng)豎直桿以自己為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度ω從零開始緩慢增大過程中(不同ω對(duì)應(yīng)的軌跡可當(dāng)成穩(wěn)定的圓周運(yùn)動(dòng)軌跡)，則下列說法正確的是

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圖3

A.從開始至b繩伸直但不提供拉力時(shí)，繩a對(duì)小球做功為0

【答案】BC

試題設(shè)計(jì)5：功率恒定(牽引力為變力)，討論位移與時(shí)間關(guān)系問題

【設(shè)計(jì)思路】恒定功率牽引習(xí)題主要以汽車兩類啟動(dòng)為基本試題原型，運(yùn)動(dòng)模型有水平面、豎直面、斜面和曲面，研究對(duì)象可拓展至滑塊、板等理想模型或?qū)嶓w模型，因此把握試題的一般性特征是此類題解題的關(guān)鍵。習(xí)題編制的特征有：①外力牽引受力物體時(shí)功率恒定，外力為變力；②題設(shè)條件顯含或隱含始末速度大??；③關(guān)聯(lián)位移、時(shí)間等運(yùn)動(dòng)參量。在討論位移和時(shí)間關(guān)系時(shí)，動(dòng)能定理是解題的切入點(diǎn)。

【例5】某實(shí)驗(yàn)小組設(shè)計(jì)了一種裝置用于提升貨物，如圖4所示，在水平面上固定一豎直桿，一繃緊的輕質(zhì)纜繩通過無摩擦的小定滑輪O與在高處的電動(dòng)機(jī)相連，另一端和套在豎直桿上的質(zhì)量為m的貨物連接，開始時(shí)貨物靜止在桿底端的A點(diǎn)。某時(shí)刻電動(dòng)機(jī)以恒定的功率P卷動(dòng)纜繩，拉著貨物沿桿由A運(yùn)動(dòng)到B，已知貨物運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度大小為v，此時(shí)纜繩與豎直桿的夾角為θ，貨物上升的高度為h，貨物與豎直桿間的摩擦力可視為不變恒為f，則下述說法正確的是

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圖4

D.從A到B過程中貨物所受合力的大小和方向都在變化

【答案】BC

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)牽引力以恒定功率牽引時(shí)(牽引力為變力)，若要討論位移與時(shí)間關(guān)系可利用動(dòng)能定理求解。本題可由恒定功率和速度關(guān)系求出纜繩拉力；由牛頓第二定律求出貨物的加速度；根據(jù)動(dòng)能定理求出貨物運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。