建模例析天體漂浮瓦解問題——2018年全國Ⅱ卷一道天體問題給物理教學(xué)帶來的啟示

遼寧 姜宗祎

2018年全國Ⅱ卷第16題是一道天體物理問題，主要考查萬有引力定律的理解和運(yùn)算，但是許多學(xué)生反映解題時(shí)存在諸多疑惑。下面筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，具體闡述在天體漂浮瓦解問題的教學(xué)中，如何突破教學(xué)難點(diǎn)的實(shí)踐經(jīng)歷。

1.建構(gòu)地球表面物體萬有引力、重力、向心力關(guān)系模型

解決天體漂浮瓦解問題，首先應(yīng)該弄清楚萬有引力到底等于什么(充當(dāng)什么力)？重力與萬有引力有何關(guān)系？一般只有如下兩種情況：

(1)地球上的物體(忽略地球自轉(zhuǎn)影響)，一般來說F萬=G。

注意上式中是矢量的運(yùn)算，滿足平行四邊形法則，如圖1所示。萬有引力是原始力，提供了兩個(gè)效果，一個(gè)是讓物體圍繞地軸旋轉(zhuǎn)，另外一個(gè)是使物體壓緊地球。此時(shí)也可等效理解為將萬有引力進(jìn)行分解，其中一個(gè)分力指向地軸，提供物體所需的向心力，另外一個(gè)分力與支持力相平衡，這個(gè)分力就是重力。這里的重力其實(shí)就是在地面上用平衡稱量法測出的重力。

在兩極，物體沒有自轉(zhuǎn)效果，故向心力為零，萬有引力等于重力，均指向地心。在赤道，萬有引力、重力、向心力共線，重力過地心，這個(gè)時(shí)候自轉(zhuǎn)效果最明顯，所以物體的向心力最大，不過依然只有萬有引力的0.3%。 因此，忽略地球自轉(zhuǎn)可認(rèn)為地球表面的萬有引力等于重力。

我們還可以從另外一個(gè)角度理解，以地心為參考系，物體做繞地軸上某點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動，故物體受萬有引力和支持力，二者的合力提供物體所需的向心力，如圖2所示。

2.根據(jù)物理模型，設(shè)計(jì)物理問題，促進(jìn)物理規(guī)律的融合

對于天體漂浮瓦解問題，難點(diǎn)在于學(xué)生對重力與萬有引力關(guān)系分析不清，向心力來源分析不清。因此，我們要通過一些問題的訓(xùn)練，讓學(xué)生體會物理情境與物理規(guī)律的融合。

問題1：天空中有一顆繞恒星做勻速圓周運(yùn)動的行星，此行星上一晝夜的時(shí)間為T，在行星的赤道處用彈簧測力計(jì)測量物體的重力讀數(shù)比在兩極時(shí)測量的讀數(shù)小10%，已知萬有引力常量為G,求此行星的平均密度。

試題分析：根據(jù)題意,赤道物體做勻速圓周運(yùn)動所需向心力為萬有引力與重力之差,兩極位置重力等于萬有引力。如圖3所示，設(shè)行星半徑為R,質(zhì)量為M，物體質(zhì)量為m(視為質(zhì)點(diǎn))

在赤道上，F(xiàn)萬-G物=F向

根據(jù)牛頓第二定律列方程得

根據(jù)萬有引力定律列方程得

問題2：在問題1中，若在赤道處用彈簧測力計(jì)測量物體的重力讀數(shù)比在兩極時(shí)測量的讀數(shù)小9%，設(shè)想該行星自轉(zhuǎn)速度加快，在其赤道上的物體會自動“漂浮”起來，求這時(shí)該行星自轉(zhuǎn)周期。

試題分析：由題意可知,赤道表面物體做勻速圓周運(yùn)動，所需向心力為萬有引力與重力之差，在地面上靜止的物體，物體對地面壓力數(shù)值上等于物體所受重力。若星球的自轉(zhuǎn)角速度越大、則周期越小,需要的向心力越大,物體對地面壓力越小，當(dāng)周期達(dá)到某一最小值時(shí),物體對星球表面應(yīng)剛好沒有壓力,物體會離開星球表面，即赤道表面上的物體所受萬有引力恰好充當(dāng)物體做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力。故赤道上物體“漂浮”即萬有引力全部充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律列方程得：

再根據(jù)赤道兩極萬有引力和重力關(guān)系易知，在赤道上物體將其9%的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列方程得：

由以上兩式聯(lián)立得T0=0.3 T

問題3：(2018全國Ⅱ卷第16題)2018年2月，我國500 m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318+0253”，其自轉(zhuǎn)周期T=5.19 ms，假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10-11N·m2/kg2。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為

( )

A．5×109kg/m3

B．5×1012kg/m3

C．5×1015kg/m3

D．5×1018kg/m3

【試題分析】題干給出自轉(zhuǎn)周期T,引力常量G，要求星體穩(wěn)定自轉(zhuǎn)，求最小密度。這道題看似簡單，其實(shí)不然?！白钚　薄胺€(wěn)定”四字涉及重力、萬有引力和向心力的深入考查。進(jìn)一步分析可以得出“最小”“穩(wěn)定”這兩個(gè)關(guān)鍵詞背后的隱含條件，即星體穩(wěn)定運(yùn)行，臨界狀態(tài)是其赤道上物體隨星體一起自轉(zhuǎn)不瓦解，也就是星球內(nèi)部對其赤道表面物體的萬有引力恰好提供其所需向心力。當(dāng)然萬有引力也可以比向心力大，所以星體密度有最小值。假設(shè)赤道上隨星體自轉(zhuǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，星體質(zhì)量為M，星體半徑為R，則滿足：

3.總結(jié)

問題1中天體穩(wěn)定運(yùn)行，問題2中天體剛好“漂浮”，問題3中要求天體穩(wěn)定運(yùn)行不瓦解，通過這三個(gè)問題情境創(chuàng)設(shè)，使學(xué)生徹底弄清了模型中重力、萬有引力、向心力之間的關(guān)系，從而掌握了處理天體漂浮瓦解問題的解題方法。