解析法的獨到之處

劉仁道

首先思考教材上一個習(xí)題：如果四邊形一組對邊的平方和等于另一組對邊的平方和，那么這個四邊形的兩條對角線互相垂直.我們發(fā)現(xiàn)這個命題的逆命題是真命題，而且容易證明，但要證明這個命題用常規(guī)方法難于下手，不妨設(shè)想用解析法證明.

建立直角坐標(biāo)系，以一條對角線BD所在的直線為x軸，過一個頂點C與BD垂直所在直線為y軸.只需證明滿足條件的四邊形ABCD的頂點A在y軸上即可（原點除外）.可設(shè)B（-b，0），C（0，-c），D（d，0），A（x，y）.∵AB2+CD2=BC2+AD2，

∴（x+b）2+y2+d2+c2=（x-d）2+y2+b2+c2，整理得x（b+d）=0，∴x=0，

頂點A在y軸上，即AC⊥BD.用平面幾何知識比較難于證明，而用解析法證明簡潔明了.在高中數(shù)學(xué)中有些用常規(guī)方法難于解決的問題有時可從解析法的角度去思考.

解析法是用代數(shù)方法研究幾何問題（包括空間的立體圖形），通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運算，最后回到幾何問題.解析法的考查在高考中都保持較高比例，并達(dá)到必要的深度，舉幾例，拋磚引玉.

一、遇動點，求最值問題

遇動點，通過建系得出動點的軌跡方程，進而建立函數(shù)式求最值.

例1?? 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c且c=10， cosA cosB = b a = 4 3 ，P為△ABC內(nèi)切圓上的動點，求P到頂點A，B，C的距離平方和的最大值和最小值.

解? 由 cosA cosB = b a 及正弦定理有 cosA cosB = sinB sinA 進而推出A+B= π 2 ，∴△ABC是直角三角形.

可知a=6，b=8，c=10，△ABC內(nèi)切圓的半徑為r= 1 2 （6+8-10）=2.

建立如圖坐標(biāo)系，則圓的方程為（x-2）2+（y-2）2=4，設(shè)圓上 動點P（x，y），

則Z=|PA|2+|PB|2+ |PC|2=（x-8）2+y2+x2+（y-6）2+x2+y2=3x2+3y2-16x-12y+100=3[（x-2）2+（y-2）2]-4x+76=3×4-4x+76=88-4x.

∵P在內(nèi)切圓上，∴0≤x≤4，則Zmax=88-0=88，Zmin=88-42=72.

另解? 還可以利用圓的參數(shù)方程求解，設(shè)內(nèi)切圓的參數(shù)方程為 x=2+2cosα，y=2+2sinα （0≤α≤2π）.

圓上動點P的坐標(biāo)為（2+2cosα，2+2sinα）.

Z=|PA|2+|PB|2+|PC|2=[（2cosα-6）2+（2+ 2sinα）2]+[（2+2cosα）2+（2sinα-4）2]+[（2+2cosα）2+ （2+2sinα）2]=80-8cosα，由0≤α≤2π，∴Zmax=80+8=88，Zmin=80-8=72.

二、涉及向量的運算

可以考慮通過選擇適當(dāng)位置建立直角坐標(biāo)系后，找出關(guān)鍵點坐標(biāo)，把向量用坐標(biāo)表示，向量的運算化為坐標(biāo)運算，能使問題的解決達(dá)到化繁為簡的目的.

例2?? 已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，BE=λBC，DF=μDC，若AE ·AF =1，CE ·CF =- 2 3 ，則λ+μ= .

解? 建立如圖直角坐標(biāo)系，故A（0，1），B（- 3 ，0），C（0，-1）， D（ 3 ，0），∴BC =（ 3 ，-1），∴BE = （ 3 λ，-λ），BA =（ 3 ，1），

∴AE =BE -BA =（ 3 λ- 3 ，-λ-1），同理CE =AE -AC =（ 3 λ- 3 ，-λ+1），

DC =（- 3 ，-1），∴DF =（- 3 μ，-μ），則AF =DF -DA =（- 3 μ+ 3 ，-μ- 1），

CF =（- 3 μ+ 3 ，-μ+1）.由題意AE ·AF =1，CE ·CF = - 2 3 ，解得λ= 1 2 ，μ= 1 3 或λ= 1 3 ，μ= 1 2 ，∴λ+μ= 5 6 .

三、空間中求角

兩個二面角的平面角不容易構(gòu)造出來時，通過建系分別求出兩二面角的法向量，兩法向量的夾角或補角的大小即為二面角的平面角.還可以求直線與平面所成的角等問題.

例3?? 在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點.（1）證明EF∥平面SAD;（2）設(shè)SD=2DC，求二面角A-EF-D的大小.

證? （1）略.（2）設(shè)DC=a，SD=2a，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.A（a，0，0），E a， a 2 ，0 ，D（0，0，0），F(xiàn) 0， a 2 ，a .設(shè)平面AEF的法向量 n =（x，y，z），AE = 0， a 2 ，0 ，AF = -a， a 2 ，a .

由AE · n =0，AF · n =0，∴ a 2 y=0，-ax+ a 2 +az=0，

取z=1，∴ n =（1，0，1）.設(shè)平面DEF的法向量 m =（x，y，z）.設(shè)DF = 0， a 2 ，a ，DE = a， a 2 ，0 .由 m ·DF =0， m ·DE =0，∴ a 2 y+az=0，ax+ a 2 z=0，∴y=-2z，y=2x取y=-2，∴ m =（1，-2，1）， m · n 的夾角即為兩平面所成的角cosθ= 1×1+1×1? 2 · 6? =? 3? 3 ，θ=arccos? 3? 3 .從以上幾例可以看出解析法能使解題思路清晰，流暢，運算過程簡單.解析法屬方法的范疇，更多的帶有思想、觀點的屬性，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)觀念.在教學(xué)中一般比較關(guān)注教材中具體的知識內(nèi)容（陳述性知識），而忽略教材中那些無形的，沒有文字描述的東西，即知識之間內(nèi)在聯(lián)系和思維過程，亦即所謂“程序性知識”的教授.闡述那些無形的東西比闡述有形的東西更重要，也更能體現(xiàn)教師對學(xué)生的價值.如果過于強調(diào)各個知識之間的相對獨立性，過于強調(diào)對已有結(jié)論的記憶，不能將教材有關(guān)內(nèi)容視為一個發(fā)展的過程和有機的整體，抓不住知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，就會導(dǎo)致相關(guān)知識之間相互割裂，從而影響學(xué)生思維過程和思維能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練，學(xué)生也就很難舉一反三、融會貫通.