趙桐
【摘要】 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué).其實(shí)質(zhì)就是“數(shù)”與“形”的科學(xué).隨著新課標(biāo)改革的全面實(shí)施,學(xué)生能力與思維培養(yǎng)成為實(shí)際教學(xué)中的重點(diǎn).數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)思想最為重要的方法之一,它有機(jī)地把“數(shù)”和“形”聯(lián)系在一起,兩者之間相互聯(lián)系,相互幫助,實(shí)現(xiàn)解決問題的目的.本文將根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況與新課標(biāo)所提出的關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)的要求,系統(tǒng)地闡述數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教育中重要的地位.
【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)方法;解題
一、相關(guān)理論概述
(一)數(shù)形結(jié)合理論
現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式是數(shù)學(xué)的兩大基本研究對(duì)象.“數(shù)”體現(xiàn)的是數(shù)量關(guān)系,“形”體現(xiàn)的是空間關(guān)系.“數(shù)”與“形”的存在形式通常是互相依存的關(guān)系,在抽象的數(shù)量關(guān)系中通常包含著直觀的幾何關(guān)系,與此同時(shí),直觀的圖形形式也可以通過數(shù)量關(guān)系來實(shí)現(xiàn)描述.多種“形”的計(jì)算為“數(shù)”提供了產(chǎn)生的途徑,而“數(shù)”又可以通過“形”來得到計(jì)算與使用.
數(shù)形結(jié)合可以把數(shù)與形有機(jī)地統(tǒng)一起來.數(shù)形結(jié)合是貫穿于初中與高中數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的思想方法,利用數(shù)形結(jié)合去解決問題的實(shí)質(zhì)就是,在解決有關(guān)于數(shù)量的問題時(shí),通過數(shù)量關(guān)系畫出與之相對(duì)應(yīng)的幾何圖形,將其轉(zhuǎn)化為幾何形式,這就是我們通常所說的“由數(shù)畫形”.而在解答與幾何圖形相關(guān)的問題時(shí),我們可以通過圖形特征來列舉出相對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系,將幾何圖形的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的問題,也就是數(shù)學(xué)教學(xué)中常說的“由形化數(shù)”,這樣就可以通過數(shù)與形兩者相互依存的關(guān)系與自身各自的優(yōu)勢(shì)從而得到更為快捷簡(jiǎn)便的解題方法.
在數(shù)學(xué)中,數(shù)形結(jié)合是極為重要的思想和常用的解決問題的方法.在現(xiàn)實(shí)解題的過程中,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用非常廣泛,它為我們解答問題提供了一種嶄新的思路,通過“形”而想到“數(shù)”,根據(jù)“數(shù)”去研究“形”的各種性質(zhì),探索其中的規(guī)律.從多方面的角度來拓展學(xué)生思維的延伸性,提高學(xué)生發(fā)散思維能力,簡(jiǎn)化解題過程,將問題化難為易.
(二)數(shù)形結(jié)合思想的重要性
隨著新課標(biāo)改革的全面實(shí)施,數(shù)學(xué)教材有著前所未有的改變.在過去,“代數(shù)”與“幾何”是分為兩本教材來教授的,而在新課標(biāo)發(fā)布以后,將高中的數(shù)學(xué)分成了必修與選修兩種形式,把“代數(shù)”與“幾何”綜合成為一門學(xué)科,這是現(xiàn)代教育者對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的主要體現(xiàn).在新課標(biāo)的教材中,增添了許多新的教學(xué)內(nèi)容,例如,平面向量與空間向量等,這些內(nèi)容上的變革都是對(duì)數(shù)形結(jié)合重要性的深思熟慮下做的決定.此外,數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的重要紐帶,數(shù)形結(jié)合思想的提高可以更好地完成兩者之間的有效過渡.因?yàn)閿?shù)形結(jié)合思想恰好符合學(xué)生從抽象到具體的認(rèn)知規(guī)律.
(三)數(shù)形結(jié)合思想的教育意義與作用
1.數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生深刻的理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念,將數(shù)學(xué)概念進(jìn)行有效整合.
數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維的開端.學(xué)生根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí),可以增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性,改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念枯燥無味、復(fù)雜難懂的印象.通過數(shù)形結(jié)合思想有助于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)的印象.
2.數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生靈活的解答問題.
數(shù)形結(jié)合思想的最顯著特點(diǎn)就是可以把抽象的問題形象化,它對(duì)數(shù)學(xué)問題的解答有積極導(dǎo)向的作用.學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合將抽象復(fù)雜的問題通過畫出圖像,通過對(duì)幾何圖形的觀察與分析使煩瑣的推理過程簡(jiǎn)單化.它為學(xué)生解答問題提供了更為簡(jiǎn)單的途徑.
3.數(shù)形結(jié)合思想有助于發(fā)展學(xué)生的思維能力.
當(dāng)學(xué)生對(duì)圖形特征和代數(shù)性質(zhì)相互結(jié)合進(jìn)行分析時(shí),思維能力發(fā)揮了其主導(dǎo)性作用.在把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題時(shí),需要綜合利用形象思維能力和創(chuàng)造性思維.這是數(shù)形結(jié)合思想的顯著體現(xiàn).在當(dāng)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,數(shù)形結(jié)合思想不僅是學(xué)生解答問題的實(shí)用工具,也為學(xué)生創(chuàng)造性思維發(fā)展提供了基礎(chǔ).
二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用
(一)數(shù)形結(jié)合思想在集合問題中的應(yīng)用
數(shù)形結(jié)合思想在集合問題中的應(yīng)用一般有以下幾種情況:
例1?? 已知集合A={x||x-2|≤a},B={x|x2-5x+4≥0}.若A∩B=,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少?
解? 當(dāng)a<0時(shí),A=,顯然A∩B=.
當(dāng)a≥0時(shí),A≠,
A={x||x-2|≤a}={x|2-a≤x≤2+a},
B={x|x2-5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4},
由A∩B=,畫出示意圖如圖1所示,
得 2-a>1,2+a<4,a≥0,
解得0≤a≤1.
綜上所述,a的取值范圍為{a|a<1,a∈ R }.
例2?? 設(shè)全集U= x∈ Z?? 6 x+1 ≥1? ,M∩N={1,2},CU(M∪N)={0},(CUM)∩N={4,5},則M= .
解 ?由 6 x+1 ≥1,得 6 x+1 -1≥0,即 x-5 x+1 ≤0,
解得-1 因?yàn)閤∈ Z ,所以U={0,1,2,3,4,5}. 如圖2所示,在韋恩圖中分別表示出已知集合中的元素, 由M∩N={1,2},可知1∈M,1∈N,2∈M,2∈N; 由CU(M∪N)={0},可知0M∪N,所以0M,0N, 且M∪N={1,2,3,4,5};由(CUM)∩N={4,5}, 可知4M,4∈N,5M,5∈N, 從而N={1,2,4,5},M={1,2,3}. 根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想在集合問題中的應(yīng)用,不僅便于解決有關(guān)集合的交、并、補(bǔ)的問題,還可將直觀形象的幾何圖形和數(shù)量關(guān)系充分地結(jié)合在一起,清晰地表現(xiàn)出問題中所給出的條件與結(jié)論間的相關(guān)聯(lián)系,進(jìn)而達(dá)到化煩瑣為簡(jiǎn)單、化困難為容易的目的,從而幫助學(xué)生解答更多困難復(fù)雜的問題.