銳角三角函數(shù)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法分析及對(duì)教學(xué)的啟示

姜萍

【摘要】 當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍存在這樣一個(gè)現(xiàn)象：急于把概念、公式、法則、定理等知識(shí)傳授給學(xué)生，然后按照考試要求進(jìn)行練習(xí)，從而忽視了知識(shí)形成的過程.數(shù)學(xué)思想方法相較于知識(shí)點(diǎn)本身更富有生命的味道.作為教師，不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)這些知識(shí)背后的思想方法，重視讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過程.本文以“銳角三角函數(shù)”這一課題為例，通過分析教材，包括所包含的知識(shí)點(diǎn)以及所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，得出這些思想方法對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)思想方法;數(shù)學(xué)教學(xué);銳角三角函數(shù)

日本數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏說過這樣一段話：“對(duì)學(xué)生而言，作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常是出校門以后不到一兩年很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，那些深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、思想方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等都隨時(shí)隨地發(fā)生作用，讓他們受益終生.”所以對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說，數(shù)學(xué)思想方法比形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)更為重要.

一、數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具.它是“思維的實(shí)驗(yàn)過程”，是數(shù)學(xué)真理的抽象概括過程，其最重要的特點(diǎn)就是不斷地提出問題，不斷地解決問題.

數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、原理和方法的本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識(shí).它是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)過程中抽象、概括、提煉出來的數(shù)學(xué)觀點(diǎn).它不是顯現(xiàn)的，而是滲透在數(shù)學(xué)知識(shí)里，所以需要教師透過具體的數(shù)學(xué)知識(shí)挖掘其背后的數(shù)學(xué)思想方法.

二、數(shù)學(xué)思想方法是課程理念和目標(biāo)的核心

把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)放在了數(shù)學(xué)教學(xué)的突出位置.強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)性，力求保證學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)思想，基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能和能力，形成對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值比較全面的認(rèn)識(shí).《義務(wù)教育階數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法提出了明確的要求：“學(xué)生能夠活得適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能.”《義務(wù)教育階數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在理念部分也提出：“數(shù)學(xué)課程要講推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法.”

三、教材分析

銳角三角函數(shù)是人教版義務(wù)教育教科書九年級(jí)下冊(cè)第二十八章第一節(jié)的內(nèi)容.本章在前面已經(jīng)研究了直角三角形中三邊間關(guān)系、兩個(gè)銳角之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究其邊角的關(guān)系.本章內(nèi)容與“相似三角形”“全等三角形”“勾股定理”等內(nèi)容聯(lián)系緊密.通過本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生全面掌握直角三角形的組成要素（邊、角）之間的關(guān)系，并綜合運(yùn)用已有知識(shí)解決與直角三角形有關(guān)的度量問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模能力，同時(shí)為高中數(shù)學(xué)中任意角三角函數(shù)等知識(shí)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.

“銳角三角函數(shù)”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“空間與圖形”領(lǐng)域的重要內(nèi)容.是在學(xué)生已學(xué)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，它反映的是角度與數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.這部分內(nèi)容包括銳角三角函數(shù)的概念，以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的內(nèi)容.銳角三角函數(shù)為解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在實(shí)際當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用，這也為銳角三角函數(shù)提供了與實(shí)際聯(lián)系的機(jī)會(huì).

（一）銳角三角函數(shù)包含的知識(shí)點(diǎn)

（二）教學(xué)目標(biāo)分析

1.利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），能夠應(yīng)用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中兩邊的比;知道30°，45°，60°角的正弦、余弦和正切值，并會(huì)由一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值說出這個(gè)角.

2.會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角.

3.理解直角三角形中邊與邊之間的關(guān)系、角與角之間的關(guān)系、邊與角之間的關(guān)系，能運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并能用解直角三角形等有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用.

（三）任意角的三角函數(shù)課題中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法

1.歸納推理

歸納推理，是從特殊到一般的推理方法，即依據(jù)一類事物中部分對(duì)象的相同性質(zhì)推出該類事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法.歸納推理往往是在人們實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得出結(jié)論的，如通過觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、分析、綜合，形成對(duì)思維對(duì)象的共性認(rèn)識(shí)，最后歸納結(jié)論.歸納法有助于發(fā)現(xiàn)并提出問題，進(jìn)行大膽猜想，數(shù)學(xué)世上有很多著名的問題都是這樣提出來的，比如，哥德巴赫猜想、費(fèi)馬猜想等.教材中以意大利比薩斜塔的傾斜程度的實(shí)際問題引出對(duì)直角三角形中邊角關(guān)系的討論，在教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角形邊角關(guān)系進(jìn)行猜想，并通過自主探究證明猜想.在證明的過程中讓學(xué)生充分經(jīng)歷“研究特殊直角三角形——研究一般直角三角形——給出銳角的正弦概念”的過程.

在直角三角形中，通過討論銳角30°和45°與其所對(duì)的直角邊與斜邊的比之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生很容易形成猜想：一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比值是定值.當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)這樣的猜想時(shí)，教師要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究——如果是一般三角形會(huì)不會(huì)也能得到這樣的結(jié)論？教師可啟發(fā)學(xué)生自主畫圖、測(cè)量計(jì)算，把特殊角轉(zhuǎn)換成一個(gè)任意的銳角.

教學(xué)片段：（1）猜想驗(yàn)證，得出結(jié)論.由上述兩個(gè)結(jié)論可知，在Rt△ABC中，SymbolPC@C=90°，當(dāng)∠A=30°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于 1 2 ;當(dāng)∠A=45°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于? 2? 2 ，由此你能猜想出什么一般的結(jié)論呢？教師引導(dǎo)學(xué)生思考、交流并用準(zhǔn)確的語言歸納猜想.隨后，教師在幾何畫板上演示、驗(yàn)證猜想的特殊情形.

（2）證明猜想，形成概念.教師引導(dǎo)學(xué)生將猜想“在Rt△ABC中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，無論這個(gè)直角三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值.”用數(shù)學(xué)語言表示并畫圖，引導(dǎo)學(xué)生找到證明猜想的方法.（在剛剛經(jīng)歷自主畫圖、測(cè)量并計(jì)算等自主探究的活動(dòng)，學(xué)生很容易想到利用相似三角形來證明猜想的正確性，可以讓學(xué)生講述證明過程）

在此基礎(chǔ)上，教師和學(xué)生共同總結(jié)出正弦的定義：Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫作∠A的正弦，記做sinA，即sinA= ∠A的對(duì)邊 斜邊 = a c .

2.數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)是圍繞數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系的研究展開的，數(shù)和形是它的兩個(gè)側(cè)面.它們之間可以相互轉(zhuǎn)換，而數(shù)形結(jié)合的方法就是把數(shù)與形聯(lián)系起來，它最大的特點(diǎn)就是能把抽象的內(nèi)容直觀的用圖形表現(xiàn)出來.銳角三角函數(shù)的一個(gè)突出特點(diǎn)是它的概念的產(chǎn)生和應(yīng)用都與圖形有著密切的聯(lián)系，因此，本章內(nèi)容是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合很好的載體.例如，對(duì)銳角三角函數(shù)的概念，教材利用學(xué)生對(duì)直角三角形的認(rèn)識(shí)以及相似三角形的有關(guān)知識(shí)引入，結(jié)合幾何圖形定義三角函數(shù)，將數(shù)形結(jié)合起來，有利于學(xué)生理解銳角三角函數(shù)的本質(zhì).再比如，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題時(shí)，也離不開幾何圖形，通過分析得到邊、角的關(guān)系，再通過計(jì)算、推理等使實(shí)際問題得到解決.因此，在教學(xué)中，要注意加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，在引入概念、推理論證、解決實(shí)際問題時(shí)，畫圖幫助分析.

如教材74頁的例3：2012年6月18日，“神舟”九號(hào)載人航天飛船與“天宮”一號(hào)目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接.“神舟”九號(hào)與“天宮”一號(hào)的組合體在離地球表面343 km的圓形軌道上運(yùn)行.如圖所示，當(dāng)組合體運(yùn)行到離地球表面P點(diǎn)的正上方時(shí)，從中能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)在什么位置？最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離是多少（地球半徑約為6400 km，結(jié)果取整數(shù)）？

本題根據(jù)題意畫出示意圖，將抽象的實(shí)際問題變得具體，通過幾何圖形幫助學(xué)生找到直角三角形邊、角的關(guān)系.分析：從組合體中能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)點(diǎn)，是視線與地球相切時(shí)的切點(diǎn).如圖所示，⊙O表示地球，點(diǎn)F是組合體的位置，F(xiàn)Q是⊙O的切線，切點(diǎn)Q是從組合體中觀測(cè)地球時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn)的長(zhǎng)就是地面上P，Q兩點(diǎn)間的距離，為計(jì)算的長(zhǎng)需先求出∠POQ（即α）的度數(shù).

3.模型思想

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).從廣義的角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則數(shù)量關(guān)系式、圖形、圖表等都是數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)建模是一個(gè)比較復(fù)雜且富有挑戰(zhàn)性的過程，大致有以下幾個(gè)步驟：（1）理解問題的實(shí)際背景，明確要解決的問題.（2）分析和簡(jiǎn)化復(fù)雜的情境，并確定必要的數(shù)據(jù).（3）建立模型，可以是數(shù)量關(guān)系，也可以是圖形.（4）解答問題.

對(duì)大多數(shù)人來說，在現(xiàn)實(shí)生活和工作中利用數(shù)學(xué)解決各種問題，基本上都是根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的分析，利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建模型.例如，第28.2.2的例3以“神舟”九號(hào)載人航天飛船與天宮一號(hào)交會(huì)對(duì)接為例，求能看到地球表面最遠(yuǎn)點(diǎn)與地球表面P點(diǎn)之間的距離，第28.2.2的例5的航海問題，求圖中B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)，77頁練習(xí)1的觸礁問題，都是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型思想和數(shù)學(xué)建模過程.去除掉復(fù)雜的情境，分析所給出的條件和數(shù)據(jù)，確定將問題轉(zhuǎn)化為一般的解直角三角形，即用銳角三角函數(shù)求直角三角形一邊的長(zhǎng)度.

四、結(jié)論與思考

（一）滲透數(shù)學(xué)思想方法重在對(duì)教材的分析

數(shù)學(xué)思想方法是蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程，如果說數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)人的骨架的話，數(shù)學(xué)思想方法就是讓這個(gè)人有生命力的血肉.所以，教師在教學(xué)過程中首先要分析好、分析透教材，才能擁有一雙慧眼，從零零散散的知識(shí)點(diǎn)背后挖掘更深層次的數(shù)學(xué)思想方法，并且透過這些思想方法將這些知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來.

（二）系統(tǒng)了解數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)內(nèi)容中的分布

教師應(yīng)該系統(tǒng)了解數(shù)學(xué)思想方法在中學(xué)各階段、各章節(jié)中的分布.在教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，如概念講解、定理證明、例題解答，都蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)思想方法.只有做到心中有數(shù)，才能充分地結(jié)合具體的知識(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法.

（三）在例題教學(xué)過程中增強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)

例題教學(xué)重在分析，教師在進(jìn)行例題講解的過程中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生分析該題所包含的思想方法，并且用這種思想方法來指導(dǎo)解題.教師還可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解的練習(xí)，用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識(shí)、方法的靈活運(yùn)用.

（四）關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知能力

向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法必須立足于學(xué)生的認(rèn)知水平，教師應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知能力、理解能力、接受能力、領(lǐng)悟能力，知識(shí)儲(chǔ)備等方面綜合考慮，有層次、有梯度的逐步地向?qū)W生滲透.

（五）思考與反思

上好一節(jié)數(shù)學(xué)課，必須分析和熟悉教材，明確教材是怎樣安排教學(xué)內(nèi)容的，這樣安排是否合理，根據(jù)實(shí)際情況是否要做調(diào)整.其次，教師的價(jià)值就是講教材上沒有的東西，所以還要充分挖掘教材背后隱藏的數(shù)學(xué)思想方法.在以后的學(xué)習(xí)中要加強(qiáng)自身數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)，熟悉中小學(xué)教材，認(rèn)真分析教材，挖掘其中的數(shù)學(xué)思想方法.

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