教材中幾何直觀元素及其示例解讀

鄭大明

[摘 要]數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)進入人們的研究視野以來，幾何直觀和空間想象力就成為主要關(guān)注對象。以北師大版教材為例，通過特征、關(guān)系、結(jié)構(gòu)，以及表示數(shù)學(xué)過程、規(guī)律等內(nèi)容，論述幾何直觀在教材中的表現(xiàn)形式，幫助教師找出相關(guān)的內(nèi)容來幫助學(xué)生發(fā)展幾何直觀和空間想象力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)素養(yǎng);幾何直觀;教材示例

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）08-0012-04

幾何直觀，是一種重要的形象思維方式，也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“空間想象力”的重要組成部分。數(shù)學(xué)教材采取了多種方式滲透這樣的思維方式。為了幫助教師更好地把握教材中的這一特點，現(xiàn)以北師大版新世紀(jì)《數(shù)學(xué)》教科書為例予以說明。

一、概念及意義

在弄清楚幾何直觀之前，先說說什么是幾何。

幾何，是一個外來詞。希臘語“geo”，英文為“Geometry”，原指古埃及人丈量土地的學(xué)問。明代徐光啟與意大利傳教士利瑪竇翻譯西方的關(guān)于形的刻畫的數(shù)學(xué)時，使用了近音譯的“幾何”一詞。英文詞匯“Geometry”有“幾何”與“多少”的疊加意思，把希臘語本來指刻畫物體的形狀方面的意思加入了數(shù)量的意義，與中國古代的“象形學(xué)”和越南的“形學(xué)”一詞非常接近。因此，幾何學(xué)就是指研究事物的空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學(xué)科。

綜上，幾何學(xué)，就是指以點、線、面、體等符號化的形符刻畫事物的位置與距離的學(xué)問。就像“數(shù)”是數(shù)出來的一樣，“形”就是畫出來的。由此可知，代數(shù)學(xué)就是用1、2、3、4、a、b、c、d等符號化的聲符表示事物或者現(xiàn)象的大小與多少的學(xué)問。

直觀，通常是指一種看得見、摸得著的感知方式。幾何直觀，就是指人們用點、線、面、體等看得見的符號或者模型刻畫一些非可視化的現(xiàn)象或者事物之間的關(guān)系、規(guī)律等的思維方式。它的更上位的思維方式就是數(shù)形結(jié)合思想。由數(shù)到形的思考，叫幾何直觀;由形到數(shù)的思考，叫數(shù)感意識。

二、實例與解讀

無論哪一種版本的教材，都會或多或少地使用幾何直觀的思維方式，引導(dǎo)學(xué)生思考事物的特征、事物之間的數(shù)量關(guān)系以及變化的規(guī)律等。

1.表示特征

所謂特征，是指事物本來的、獨有的樣子或狀態(tài)。比如下雨和起霧，雨和霧雖然與水有關(guān)，但是特征就不完全一樣。這很像長方形和正方形的概念。

在數(shù)學(xué)上，事物的量的變化特征非常隱晦，學(xué)生不容易體會到，但借助幾何直觀，就比較利于學(xué)生觀察與發(fā)現(xiàn)。

北師大版教材六年級下冊 “正比例和反比例”的第一節(jié)課“變化的量”（如圖1），就通過曲線圖反映了妙想6歲前的年齡與體重變化的特征和駱駝兩天內(nèi)的體溫變化特征。將一種不好琢磨的數(shù)據(jù)變化特征轉(zhuǎn)化為形態(tài)變化特征，利于學(xué)生觀察、比較、發(fā)現(xiàn)、判斷和預(yù)測。

2.表示關(guān)系

所謂關(guān)系，是指人或事物之間的相互聯(lián)系，反映它們之間的相互作用、相互影響的狀態(tài)。但數(shù)量關(guān)系本身就比較抽象，特別是低年級學(xué)生的想象力不夠，往往很難理解數(shù)與數(shù)之間、量與量之間的關(guān)系。而恰當(dāng)使用幾何直觀，就能非常巧妙地化解這一難題。

北師大版教材六年級上冊 “比的認(rèn)識”的第一節(jié)課“生活中的比”（如圖2），就是利用圖片中長方形“長與寬”的變化對比，引導(dǎo)學(xué)生理解長與寬的對應(yīng)變化關(guān)系。

北師大版教材二年級上冊 “除法”的第五節(jié)課“快樂的動物”（如圖3），就是利用畫圓圈組合的方式，引導(dǎo)學(xué)生用圈圖法理解小鴨、小猴等動物只數(shù)之間對應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系。

小猴有3只，用3個○表示;圈在一起，作為一個計數(shù)單位，即單位“1”。

小鴨有6只，用6個○表示;與小猴的只數(shù)對應(yīng)相比，有兩個計數(shù)單位，即兩個單位“1”，于是就可以說：“小鴨只數(shù)是小猴只數(shù)的2倍”，算式：6÷3=2。其余的動物只數(shù)之間的關(guān)系以此類推得出相應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系。

3.表示結(jié)構(gòu)

所謂結(jié)構(gòu)，是指事物的組成中，整體的各部分的搭配和安排的方式或狀態(tài)。小學(xué)數(shù)學(xué)中包含了大量的知識結(jié)構(gòu)與數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)，但都比較抽象，學(xué)生很難認(rèn)知和感受。因此，教材借助幾何直觀的思維方式，可以大大解決學(xué)生對于抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的認(rèn)知困難。

北師大版教材四年級上冊 “生活中的大數(shù)”的第一節(jié)課“數(shù)一數(shù)”（如圖4）中，為了讓學(xué)生建立大數(shù)的計數(shù)單位（數(shù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)）以及各計數(shù)單位之間的進率關(guān)系，教材采用三維圖形及小正方體堆積的圖形，讓學(xué)生直觀體會“個”“十”“百”“千”“萬”“十萬”“百萬”的含義，同時理解這些單位的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和相互之間的關(guān)系，從而記住這些計數(shù)單位及其相鄰單位之間、相隔單位之間的進率。

北師大版教材五年級上冊 “分?jǐn)?shù)”的第二節(jié)課“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（二）”（如圖5）中，關(guān)于一個非常抽象的概念“分?jǐn)?shù)單位”，教材借助“分?jǐn)?shù)墻”，采用同樣長的長方形格子，以“1”、2個“二分之一”、3個“三分之一”等值的直條，顯示出二分之一、三分之一等分?jǐn)?shù)單位與“1”的組成關(guān)系，將分?jǐn)?shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)規(guī)律直觀地表示出來，非常利于學(xué)生的認(rèn)識和理解。

4.表示過程

所謂過程，是指事物發(fā)展所經(jīng)過的程序，在質(zhì)量管理學(xué)中定義為“將輸入轉(zhuǎn)化為輸出的一組活動”。對于小學(xué)數(shù)學(xué)的很多程序性知識，只是使用概念和命題的形式來陳述的話，非常不利于學(xué)生理解，特別是低年級學(xué)生。因此，教材借助幾何直觀，大大減輕了學(xué)生的記憶和理解負(fù)擔(dān)。

北師大版教材一年級下冊 “加與減（一）”的第二節(jié)課“捉迷藏”中（如圖6），為了讓學(xué)生體會“13-8”的過程，教材除了安排用數(shù)小棒來體會計算過程以外，還特地使用數(shù)線圖，利用“數(shù)格子”和“反向標(biāo)箭頭”等方式，讓學(xué)生體會比數(shù)小棒更抽象的數(shù)線段上的“13-8”的過程。這樣，學(xué)生更能直觀地記住退位減法的計算過程。

北師大版教材五年級下冊 “分?jǐn)?shù)除法”的第一節(jié)課“分?jǐn)?shù)除法（一）”中（如圖7），為了說明清楚“七分之四除以二”和“七分之四除以三”的特殊性，教材除了讓學(xué)生采用折紙法、涂色法體會其計算過程的特殊性和普遍性外，還借助長方形圖中的條形與方格等形式，顯示計算過程。這樣，學(xué)生不僅把握了兩個算式計算結(jié)果的正確性，還能直觀地理解除法轉(zhuǎn)化為乘法計算的算理。從中可以看出，要把4個“七分之一”平均分成兩份，既可以直接數(shù)出來，也可以利用計算法則計算。但是，需要把4個“七分之一”平均分成三份時，再用原有的方法就遇到了困難。于是，就得借助圖形，先豎著平均分成七等份以后，再橫著平均分成三等份，然后在總份數(shù)3×7=21份中尋找結(jié)果。只有通過比較復(fù)雜的認(rèn)識和思考過程，才能真正得出“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的計算方法。

5.表示規(guī)律

所謂規(guī)律，即事物之間的內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系。這種聯(lián)系不斷重復(fù)出現(xiàn)，在一定條件下決定著事物必然向著某種趨向發(fā)展。要讓幾歲的小學(xué)生去體會和運用規(guī)律，是非常困難的，因此，教材除了利用比較合適的素材來體現(xiàn)以外，也借助幾何直觀來呈現(xiàn)。

北師大版教材二年級上冊 “2-5的乘法口訣”的第六節(jié)課“回家路上”的習(xí)題中，為了讓學(xué)生按照2、3的口訣表示的規(guī)律數(shù)數(shù)和寫算式計算，第二小題（如圖8）采用數(shù)線圖部分標(biāo)注和部分讓學(xué)生自己類推標(biāo)注的方式，引導(dǎo)學(xué)生體會有規(guī)律的數(shù)數(shù)和計算的過程。

北師大版教材四年級上冊 “數(shù)學(xué)好玩”的第三節(jié)課“數(shù)圖形的學(xué)問”（如圖9）中，為了顯示鼴鼠鉆洞的規(guī)律，教材提示學(xué)生先用線段圖表示題意，然后找規(guī)律，類推出洞數(shù)較多的鉆法數(shù)量，力求找到一個解決此類問題的通法。

6.表述算理

所謂算理，就是為什么可以這樣算。當(dāng)然，說理的方式很多，比如數(shù)實物、數(shù)學(xué)具等，但數(shù)據(jù)比較大或者說理比較復(fù)雜時，采用幾何直觀的方式往往比較方便。

北師大版教材三年級下冊 “乘法”的第二節(jié)課“隊列表演”（如圖10）中，為了說明“12×14=168”，教材采用多種方式，從不同角度引導(dǎo)學(xué)生從點子圖上尋求答案。通過“拆數(shù)法”，在圖上直觀地將兩位數(shù)拆成“整十?dāng)?shù)”和“一位數(shù)”，或者兩個“一位數(shù)”，然后列式計算出答案。通過直觀分點子圖然后列式計算，能充分證明所思和所做的正確性。

幾何直觀，是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“空間想象力”的重要組成部分。因此，從低年級起教師就要給予充分的重視。教材中類似的例子還很多，按照這樣思路進行研究和實踐，即借助實物直觀、情境直觀等直觀方式予以輔助，自然就能使學(xué)生的幾何直觀的形成更順暢。

（責(zé)編 金 鈴）