初中數(shù)學(xué)“絕對(duì)值”教學(xué)探微

朱立明

[摘? ?要] 對(duì)于絕對(duì)值內(nèi)容的教學(xué)，需要從明確絕對(duì)值的幾何意義、掌握絕對(duì)值的化簡(jiǎn)步驟和做好絕對(duì)值與其他知識(shí)的融合三個(gè)方面入手，從而促使學(xué)生真正學(xué)會(huì)運(yùn)用絕對(duì)值知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

[關(guān)鍵詞]絕對(duì)值;初中數(shù)學(xué);解決問(wèn)題能力

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）05-0019-02

絕對(duì)值是學(xué)生最早接觸的知識(shí)點(diǎn)，它考查學(xué)生邏輯思維和綜合思考問(wèn)題的能力.只有明確絕對(duì)值的幾何意義，才能更好地掌握絕對(duì)值的相關(guān)內(nèi)容，進(jìn)而有效解決絕對(duì)值的相關(guān)問(wèn)題.

一、明確絕對(duì)值的幾何意義

在講解絕對(duì)值的幾何意義時(shí)，教師往往會(huì)一帶而過(guò)，只是簡(jiǎn)單講解“絕對(duì)值不等于負(fù)數(shù)，它永遠(yuǎn)大于等于0”.但對(duì)于絕對(duì)值如何在數(shù)軸上表示并沒(méi)有進(jìn)行詳細(xì)的講解，這很容易導(dǎo)致學(xué)生不能真正明確絕對(duì)值的幾何意義，不能很好地利用絕對(duì)值知識(shí)解決問(wèn)題.對(duì)此，在講解“絕對(duì)值的幾何意義”時(shí)，筆者讓學(xué)生在數(shù)軸上標(biāo)注絕對(duì)值的關(guān)鍵點(diǎn).例如，在解[a-2>0]這道題時(shí)，筆者會(huì)提問(wèn)：“這個(gè)絕對(duì)值在數(shù)軸上表示怎樣的含義？”學(xué)生通過(guò)分析得出：該絕對(duì)值表示距離數(shù)軸2的點(diǎn)大于0的區(qū)間.對(duì)此，筆者讓學(xué)生借助數(shù)軸來(lái)解該不等式，學(xué)生從數(shù)軸上可以直觀地找到不等式的解集{a|a≠2}.筆者對(duì)學(xué)生說(shuō)：“掌握好絕對(duì)值和不等式的幾何意義，可以快速準(zhǔn)確地得出答案，避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算.”接著，筆者讓學(xué)生借助絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行問(wèn)題處理.例如，求解不等式[x2-5x+6>3]時(shí)，筆者讓學(xué)生借助數(shù)軸及絕對(duì)值的幾何意義來(lái)解決.通過(guò)計(jì)算，學(xué)生求出方程[x2-5x+6=0]的解為x1 = 2，x2=3，并將這兩個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上標(biāo)注出來(lái).通過(guò)對(duì)絕對(duì)值幾何意義的理解，學(xué)生將方程小于0的圖像經(jīng)過(guò)數(shù)軸對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠檀笥?的圖像.筆者點(diǎn)撥學(xué)生：“絕對(duì)值大于3，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y = 3.”學(xué)生通過(guò)比較[y=x2-5x+6]與y = 3的圖像，得出不等式[x2-5x+6>3]的解集，快速準(zhǔn)確地解決了絕對(duì)值不等式問(wèn)題.最后，筆者進(jìn)行總結(jié)：“在解決絕對(duì)值不等式問(wèn)題時(shí)，一定要充分明確其幾何意義，將復(fù)雜的求解過(guò)程轉(zhuǎn)化為可以直觀處理的問(wèn)題，從而既好又快地解決問(wèn)題.”這樣，學(xué)生對(duì)絕對(duì)值不等式的幾何意義有了更清晰的認(rèn)識(shí)，挖掘到其解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)所在，準(zhǔn)確把握其基本內(nèi)涵，同時(shí)借助幾何圖像實(shí)現(xiàn)絕對(duì)值問(wèn)題的解決，數(shù)學(xué)能力得到了顯著的提升.

二、厘清絕對(duì)值的化簡(jiǎn)步驟

絕對(duì)值問(wèn)題的難點(diǎn)和重點(diǎn)主要集中在化簡(jiǎn)上，學(xué)生只有系統(tǒng)掌握絕對(duì)值的化簡(jiǎn)步驟，才能有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

1.掌握絕對(duì)值符號(hào)的正負(fù)變化

學(xué)生在化簡(jiǎn)絕對(duì)值不等式時(shí)，往往不會(huì)全面考慮不等式的符號(hào)問(wèn)題，只是單一地考慮其中的一個(gè)方面，從而無(wú)法系統(tǒng)有序地解決不等式問(wèn)題.例如，在化簡(jiǎn)[-2x+6>5]時(shí)，學(xué)生只是單純考慮- 2x + 6 > 5這一種情況，而沒(méi)有考慮-2x + 6 < -5這一種情況，從而不能全面、準(zhǔn)確地解決問(wèn)題，影響對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握.在講解去掉不等式符號(hào)的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，筆者通常會(huì)指導(dǎo)學(xué)生：“在去掉不等式符號(hào)時(shí)，要充分考慮不等式另一邊值符號(hào)的變化，避免考慮不全面而造成解題失誤.”接著，給學(xué)生出示相關(guān)例題，以加深學(xué)生對(duì)不等式符號(hào)變化的認(rèn)識(shí).例如，求解[x2+x+1>6]的解，學(xué)生參照筆者講解的內(nèi)容，很快得出x2 + x +1 > 6和x2 + x +1< -6，并對(duì)這兩個(gè)不等式進(jìn)行求解，得出x的取值范圍.在求解最后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)x2 + x +1< -6這個(gè)不等式不成立，只有x2 + x +1> 6符合條件.對(duì)此，筆者進(jìn)行總結(jié)：“在做絕對(duì)值符合變化時(shí)，一定要充分考慮絕對(duì)值里面函數(shù)的大小，如果發(fā)現(xiàn)該函數(shù)本身大于零，則可直接將絕對(duì)值符號(hào)去掉，不做任何符號(hào)變化.”

2.掌握絕對(duì)值化簡(jiǎn)的先后順序

絕對(duì)值的化簡(jiǎn)步驟，需要學(xué)生靈活掌握其先后順序，只有明確如何將方程從絕對(duì)值中分離出來(lái)，才能更好地解決絕對(duì)值問(wèn)題.

學(xué)生在化簡(jiǎn)絕對(duì)值時(shí)，往往會(huì)存在各種各樣的問(wèn)題，由于其對(duì)絕對(duì)值化簡(jiǎn)步驟掌握不夠牢固，造成他們出現(xiàn)考慮不全、化簡(jiǎn)錯(cuò)誤的問(wèn)題.在教學(xué)“絕對(duì)值化簡(jiǎn)先后順序”時(shí)，筆者會(huì)強(qiáng)調(diào)：“在去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，一定要明確其存在的兩種情況，充分考慮去掉絕對(duì)值符號(hào)后方程的大小變化.”然后，讓學(xué)生練習(xí)解答[x-1>3]，由此明確可能存在x -1>3和x -1< -3這兩種情況.接著，讓學(xué)生練習(xí)求解[x+3>5]，加強(qiáng)學(xué)生雙層絕對(duì)值化簡(jiǎn)的訓(xùn)練.學(xué)生通過(guò)之前的學(xué)習(xí)，可以得出[x+3>5]和[x+3<-5]，并按照絕對(duì)值的定義范圍，將[x+3<-5]這種情況排除，然后按照去絕對(duì)值的原則得出x的取值范圍.此時(shí)，筆者再度提高題目的難度，讓學(xué)生求解帶有未知數(shù)的絕對(duì)值，比如[x2-5x+6 0，即x > -8.接著，筆者讓學(xué)生化簡(jiǎn)絕對(duì)值得出-x-8 < x2-5x + 6 -8進(jìn)行結(jié)合，從而得出x的取值范圍.最后，筆者進(jìn)行總結(jié)：“遇到這類(lèi)題目，需要大家掌握絕對(duì)值化簡(jiǎn)的先后順序，按照規(guī)范順序來(lái)解答題目，從而將絕對(duì)值問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐子诮鉀Q的問(wèn)題.”

掌握絕對(duì)值化簡(jiǎn)的先后順序，對(duì)解決絕對(duì)值問(wèn)題至關(guān)重要，它可提高學(xué)生分析問(wèn)題的全面性，促進(jìn)學(xué)生全面掌握絕對(duì)值的相關(guān)知識(shí).

三、做好絕對(duì)值與其他知識(shí)的融合

絕對(duì)值問(wèn)題并不是只考查某一知識(shí)點(diǎn)，而是將絕對(duì)值與其他知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活掌握.

1.做好絕對(duì)值與函數(shù)圖像的融合

在講解完絕對(duì)值問(wèn)題后，筆者通常會(huì)將絕對(duì)值與其他知識(shí)聯(lián)系在一起，來(lái)共同考查學(xué)生對(duì)絕對(duì)值知識(shí)的掌握程度.例如，在求解方程的取值范圍時(shí)，會(huì)考查學(xué)生對(duì)絕對(duì)值與函數(shù)圖像的掌握程度.比如，求解[x-3·x+5·x-12]與y = 2函數(shù)的交點(diǎn)數(shù).對(duì)于這一題，學(xué)生由于對(duì)這個(gè)函數(shù)掌握得不夠充分，不能通過(guò)相乘來(lái)得出函數(shù)解析式.筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：“絕對(duì)值函數(shù)相乘是否可轉(zhuǎn)化成不帶絕對(duì)值的函數(shù)相乘？”學(xué)生分析得出：可以轉(zhuǎn)化成（x-3）（x+5）（x-1）的函數(shù).接著，筆者讓學(xué)生借助數(shù)軸得出該函數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)x = 3，-5，1.學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合，按照“奇穿，偶不穿”的原則，畫(huà)出了該函數(shù)的圖像.最后，筆者進(jìn)行總結(jié)：“根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)圖像的定義，將數(shù)軸下方的函數(shù)圖像對(duì)稱(chēng)翻折到上方，可得出絕對(duì)值函數(shù)的圖像，最后與y = 2函數(shù)進(jìn)行相交，通過(guò)數(shù)形結(jié)合得出交點(diǎn)數(shù).”此時(shí)，學(xué)生對(duì)絕對(duì)值函數(shù)圖像有了新的認(rèn)識(shí)，明確如何去求解函數(shù)的交點(diǎn)數(shù).

2.做好絕對(duì)值與特征函數(shù)定義區(qū)間的融合

在初中絕對(duì)值問(wèn)題的考查中，往往會(huì)讓學(xué)生去求解函數(shù)的區(qū)間.通常學(xué)生會(huì)按照絕對(duì)值的定義和幾何意義，求出x的取值范圍.但是，在某些時(shí)候求解x的取值范圍時(shí)，需要考慮絕對(duì)值與特征函數(shù)定義區(qū)間的融合.例如，在求解[lnx2-8x+12<0]的區(qū)間時(shí)，學(xué)生往往會(huì)考慮-1< x2 - 8x +12 <1，但是對(duì)x2 - 8x +12 ≠ 0這個(gè)定義要求卻沒(méi)有考慮.又如，求解函數(shù) [x+4x-3>0]的定義域，筆者讓學(xué)生分析該函數(shù)是由哪些特征函數(shù)組成的.學(xué)生通過(guò)分析得出：“該函數(shù)包含了分?jǐn)?shù)函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)和開(kāi)根號(hào)函數(shù).”接著，筆者讓學(xué)生將各個(gè)函數(shù)的定義域求出.學(xué)生通過(guò)分析得出[x-3≠0]，[x+4≥0].最后，通過(guò)求解x的取值范圍，從而求解出函數(shù)的定義域.

綜上可知，初中數(shù)學(xué)“絕對(duì)值”教學(xué)，需要學(xué)生明確絕對(duì)值的幾何意義，掌握絕對(duì)值的化簡(jiǎn)步驟.在求解絕對(duì)值問(wèn)題過(guò)程中，應(yīng)將絕對(duì)值與其他知識(shí)進(jìn)行融合，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)絕對(duì)值問(wèn)題的有效解決，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

（特約編輯 安 平）