從“一題多解”到培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新性思維

☉清華大學(xué)附屬中學(xué) 劉 慶

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要求學(xué)生獲得學(xué)習(xí)知識(shí)的能力，而作為高中數(shù)學(xué)教師，需要具備培養(yǎng)學(xué)生自主獲得新知的能力.于是，在教學(xué)中需要深入淺出、以點(diǎn)帶面地對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行逐步加深，并給學(xué)生舉一反三，從多角度及多維度思考問(wèn)題，進(jìn)而找出問(wèn)題的本質(zhì).

一、理論基礎(chǔ)

一般認(rèn)為，“素養(yǎng)與知識(shí)（或認(rèn)知）、能力（或技能）、態(tài)度（或情意）等概念的不同在于，它強(qiáng)調(diào)知識(shí)、能力、態(tài)度的統(tǒng)整，超越了長(zhǎng)期以來(lái)知識(shí)與能力二元對(duì)立的思維方式，凸顯了情感、態(tài)度、價(jià)值觀的重要性，強(qiáng)調(diào)了人的反省思考及行動(dòng)與學(xué)習(xí).”“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指當(dāng)前或未來(lái)的生活中為滿足個(gè)人成為一個(gè)會(huì)關(guān)心、會(huì)思考的公民需要具備的認(rèn)識(shí)，并理解數(shù)學(xué)在自然、社會(huì)生活中的地位和能力，做出數(shù)學(xué)判斷的能力，以及參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的能力.”可見(jiàn)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)建立起來(lái)的認(rèn)識(shí)、理解和處理周圍事物時(shí)所具備的品質(zhì)，通常是在人們與周圍環(huán)境產(chǎn)生相互作用時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的思考方式和解決問(wèn)題的策略.人們所遇到的問(wèn)題可能是數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可能不是那么明顯的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人可以從數(shù)學(xué)的角度看待問(wèn)題，可以用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題，可以用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)到的有特定意義的綜合性能力，核心素養(yǎng)不是指具體的知識(shí)與技能，也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力，核心素養(yǎng)是基于數(shù)學(xué)知識(shí)、技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能，反映了數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性.

二、實(shí)例研究——函數(shù)的零點(diǎn)

1.基本問(wèn)題基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的積累

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)老師需要注重培養(yǎng)學(xué)生逐步理解問(wèn)題、分析問(wèn)題并解決問(wèn)題的能力，并有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維與創(chuàng)造性思維，善于從不同的角度去理解同一問(wèn)題.本文主要以高一教材必修1中函數(shù)的零點(diǎn)作為切入點(diǎn)，探討在教學(xué)中如何滲透培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維.下面我們將通過(guò)幾個(gè)典型的例題來(lái)展開(kāi)我們的論述.

題型一：設(shè)函數(shù)f（x）=x2-ax有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解：令f（x）=0，得x=0或x=a，那么f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)意味著a≠0，從而a∈（-∞，0）∪（0，+∞）.

此題是求二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，可以直接根據(jù)零點(diǎn)的定義將二次函數(shù)所有的零點(diǎn)求出來(lái)，再根據(jù)題意得到a的取值范圍.

本例是根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義直接進(jìn)行計(jì)算，但是，往往在教學(xué)活動(dòng)中并不是所有的找函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題都可以通過(guò)直接求得零點(diǎn)來(lái)解決，而是需要學(xué)生從不同的角度靈活地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)找到解決問(wèn)題的途徑.一般來(lái)說(shuō)，函數(shù)的零點(diǎn)可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式求得，尤其是通過(guò)簡(jiǎn)單的加減乘除運(yùn)算將基本函數(shù)組合在一塊的函數(shù).

題型二：判斷函數(shù)f（x）=|x-2|-lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：f（x）的零點(diǎn)可以視為函數(shù)y1=|x-2|與y2=lnx（x>0）的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，y1，y2的圖像如圖1所示，顯然y1與y2的圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn).從而f（x）=|x-2|-lnx有兩個(gè)不同零點(diǎn).

圖1

顯然，本例中的函數(shù)并不是我們熟知的函數(shù)，嘗試用直接找零點(diǎn)的方式確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)不太現(xiàn)實(shí)，于是需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)式進(jìn)行變形.最容易聯(lián)想到的是對(duì)函數(shù)式進(jìn)行移項(xiàng)，這樣會(huì)得到等式|x-2|=lnx，對(duì)于這個(gè)兩邊都含有x的式子而言，很容易使學(xué)生聯(lián)想到，我們可以構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后通過(guò)尋找這兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷本題中函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，于是引導(dǎo)學(xué)生得到以上解法.

這樣將求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，是我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)的過(guò)程中常用的方式，有時(shí)在求參數(shù)的取值范圍的過(guò)程中將零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)與一個(gè)常函數(shù)的交點(diǎn)也很常見(jiàn).參見(jiàn)下例：

題型三：設(shè)函數(shù)y=x2-|x|+a有四個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解：f（x）的零點(diǎn)可以視為函數(shù)y1=x2-|x|與y2=-a的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中y2的圖像隨a的變化而上下移動(dòng).如圖2所示，則若要y1，y2的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則

圖2

本例中一個(gè)非常好的現(xiàn)象是當(dāng)將原題中的函數(shù)分割成兩個(gè)函數(shù)時(shí)，一個(gè)以二次函數(shù)為基礎(chǔ)建立起來(lái)的偶函數(shù)是固定的，也就是說(shuō)這個(gè)偶函數(shù)的圖像可以完全確定地畫(huà)出來(lái)，此時(shí)我們只需讓常函數(shù)動(dòng)起來(lái)，然后通過(guò)判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)求解參數(shù)a的取值范圍即可，而常函數(shù)的移動(dòng)是學(xué)生比較容易想象的.

2.在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

求解函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)常常可以跟方程的根的個(gè)數(shù)或者兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)聯(lián)系起來(lái)，而在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，我們常常會(huì)碰到的一類問(wèn)題是函數(shù)式的變形并不是唯一的，也就是說(shuō)，會(huì)從多個(gè)不同的角度，利用不同函數(shù)的性質(zhì)和圖像解決問(wèn)題.那么在啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生的過(guò)程中，教師應(yīng)更加注重拓展學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生做出不同的變形并求解.一般來(lái)說(shuō)，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)時(shí)，盡量讓一個(gè)函數(shù)已知另一個(gè)函數(shù)動(dòng)起來(lái)找參數(shù)的取值范圍，那么結(jié)合學(xué)生現(xiàn)在已有的基礎(chǔ)來(lái)看，盡量讓復(fù)雜的圖像固定住，比如二次函數(shù)與一次函數(shù)相交的話，盡量讓二次函數(shù)固定住，如果還有分段函數(shù)的話，也盡量讓分段函數(shù)固定住.下面我們用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明如何培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

例已知函數(shù)f（x）=ax2-|x|+a有四個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解法1：從最直觀的概念入手并觀察出此函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，只需要保證函數(shù)有兩個(gè)正的零點(diǎn)即可，對(duì)應(yīng)的函數(shù)一定會(huì)存在兩個(gè)負(fù)的零點(diǎn)，于是函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)的條件就得以保證.這樣分析的話，不但讓零點(diǎn)個(gè)數(shù)變得簡(jiǎn)單，而且在研究函數(shù)只具有正零點(diǎn)的時(shí)候函數(shù)里的絕對(duì)值可以被去掉，從而得到一個(gè)學(xué)生熟悉的類似于二次函數(shù)的形式，具體解答如下，

首先，a=0顯然不滿足要求，因此a≠0，此時(shí)0不是f（x）的零點(diǎn).注意到f（x）是偶函數(shù)，因此f（x）有四個(gè)零點(diǎn)?f（x）有兩個(gè)正的零點(diǎn)?ax2-x+a=0有兩個(gè)正根?

解法2：本題依舊可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)原題中復(fù)雜的函數(shù)式進(jìn)行變形，將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題，最簡(jiǎn)單的變形即移項(xiàng)，于是得到以下解答.

圖3

f（x）的零點(diǎn)可以視為函數(shù)y1=|x|與y2=a（x2+1）的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中y2的圖像隨a的變化而變化.則f（x）有四個(gè)零點(diǎn)?y1，y2的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn).如圖3所示，a≤0時(shí)，顯然不滿足條件.a＞0時(shí)，要滿足條件，y2圖像的開(kāi)口必須比相切時(shí)候的開(kāi)口要大.而y1，y2圖像相切?ax2-x+a=0有兩個(gè)重根（舍），又根據(jù)二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)知a越小開(kāi)口越大，從而

解法3：在解法2中，兩個(gè)函數(shù)都不是特別簡(jiǎn)潔，而且在討論一個(gè)帶絕對(duì)值的函數(shù)和二次函數(shù)的交點(diǎn)過(guò)程中，是二次函數(shù)的開(kāi)口在發(fā)生變化，這種變化使學(xué)生在定量地尋找參數(shù)關(guān)系時(shí)感覺(jué)比較復(fù)雜，于是我們考慮到另外一種方式，即能否讓二次函數(shù)固定，而線性的絕對(duì)值函數(shù)動(dòng)起來(lái)呢？只需要將參數(shù)移項(xiàng)即可做到，于是得到如下解法，

首先，a=0顯然不滿足要求，因此a≠0.類似解法2，f（x）的零點(diǎn)可以視為函數(shù)y1=與y2=x2+1的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中y1的圖像隨a的變化而變化.則f（x）有四個(gè)零點(diǎn)?y1，y2有四個(gè)不同交點(diǎn).如圖4所示，a＜0時(shí)，顯然不滿足條件.a＞0時(shí)，若要滿足條件，y2的圖像開(kāi)口必須比相切時(shí)的開(kāi)口要大.而y1，y2圖像相切?ax2-x+a=0有兩個(gè)重根?Δ=1-4a2=0?a=（舍），從而

圖4

從這個(gè)例子中可以了解到，具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)有助于學(xué)生發(fā)散性思維、創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)，而且在整個(gè)解決問(wèn)題的過(guò)程中，適當(dāng)?shù)赝貙捔撕瘮?shù)的基本面，也可以隨時(shí)復(fù)習(xí)不同函數(shù)的不同性質(zhì)，讓學(xué)生的思維得到了極大的鍛煉，久而久之，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)便會(huì)在不知不覺(jué)中得到培養(yǎng).W