高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“錯誤”的再認(rèn)識

☉寧夏銀川市第二中學(xué) 邱旭琴

學(xué)生學(xué)習(xí)中的“錯誤”既然在所難免，教師也只有好好探索處理這些“錯誤”的方法并將其變“廢”為“寶”了，將學(xué)生的“錯誤”視作寶貴的教學(xué)資源并好好運用，能夠使學(xué)生在“錯誤”中獲得新的領(lǐng)悟并最終形成正確、清晰而深刻的認(rèn)知.“錯題本”在高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是最常用的一種形式，學(xué)生的查漏補(bǔ)缺與走出思維誤區(qū)往往會在“錯題本”的有效利用中獲得良好的效果.筆者根據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的實際表現(xiàn)進(jìn)行了處理“錯誤資源”的思考與探索，在處理手段和方法上有了一些體會并將其形成于文.

一、從教師的“錯誤”上激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動力

“人無完人”這一古語為大家所熟知，教師在教學(xué)中出現(xiàn)錯誤也在所難免，有經(jīng)驗的教師在教學(xué)設(shè)計中往往會根據(jù)學(xué)生常見的錯誤特意犯錯，或者故意將學(xué)生容易疏漏的知識點設(shè)計到自己的教學(xué)設(shè)計中，在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些錯誤并提出質(zhì)疑，這種“借題發(fā)揮”的方式往往能夠更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)的探究，使學(xué)生在探究正解的過程中充滿熱情與動力并逐漸獲得成功的愉悅體驗，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信也就逐步建立了.

例如，教師在“函數(shù)與不等式”相關(guān)知識的復(fù)習(xí)教學(xué)中就可以故意設(shè)置“破綻”，并給學(xué)生機(jī)會來發(fā)現(xiàn)這些“破綻”，從而有效地促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的動力，使學(xué)生在逐步增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信的過程中越來越投入地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).具體教學(xué)片段如下：

案例1：已知當(dāng)x≥0時，函數(shù)f（x）=x2+1，當(dāng)x＜0時，函數(shù)f（x）=1，若不等式f（1-x2）＞f（2x）成立，則x的取值范圍如何？

圖1

學(xué)生感覺教師的這一解法比較順理成章，因而沒有意見產(chǎn)生，此時教師可以運用一系列問題來啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行再思考.

師：一道題得解之后還應(yīng)該做些什么呢？

生：應(yīng)該回頭檢查所得結(jié)論是否符合要求.

生1：剛才的解題過程好像有問題，x=-2并不能令（f1-x2）＞（f2x）成立??！

教師：很好，生1聯(lián)想到了特殊值檢驗法，并對我們剛才的解題過程進(jìn)行了回顧，那么大家認(rèn)為出錯的地方在哪兒呢？

生2：函數(shù)（fx）的圖像在區(qū)間（-∞，0）上是平行于x軸的線，在區(qū)間［0，+∞）上是上升曲線；函數(shù)（fx）在R上不會單調(diào)遞增，與（f1-x2）＞（f2x）等價的是1-x2＞2x且1-x2＞0，即-1＜x＜-1+.

生1對于教師解題上的質(zhì)疑是學(xué)習(xí)自信、勇于挑戰(zhàn)權(quán)威的表現(xiàn)，能夠打破教師權(quán)威這一定式思想的重要表現(xiàn)對于學(xué)生在數(shù)學(xué)概念的理解上具有重要的意義，不僅如此，學(xué)生還會在提升質(zhì)疑能力的同時產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極情緒.

解析：如圖1，由題意作函數(shù)f（x）的圖像，根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增的性質(zhì)將f（1-x2）＞f（2x）轉(zhuǎn)變成1-x2＞2x，即-1-

二、借助學(xué)生的“錯誤”引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)

很多有經(jīng)驗的教師在教學(xué)中特別注重學(xué)生知識學(xué)習(xí)的“生長點”，事實上，這是值得所有教師重視、珍惜和利用的寶貴資源.學(xué)生在實際學(xué)習(xí)中往往會對同一數(shù)學(xué)知識或問題形成不同的理解和觀點，其中不乏有些“荒謬”的想法，數(shù)學(xué)教師在面對學(xué)生的不同觀點時應(yīng)做到“大肚能容”，允許學(xué)生犯錯并借助學(xué)生的這些“錯誤”引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生在積極發(fā)現(xiàn)、思考、交流、爭論中實現(xiàn)共同糾錯，并最終對數(shù)學(xué)問題有深刻的認(rèn)知和理解，數(shù)學(xué)教師所期待的舉一反三、觸類旁通往往也會在這一過程中實現(xiàn)，學(xué)生認(rèn)知上的不足往往會因此得到有效彌補(bǔ)，學(xué)習(xí)能力的提升自然不再是空談.

例如，以下是一道高一的函數(shù)問題，筆者在講評此題時故意將學(xué)生的錯誤進(jìn)行了“暴露”，這一做法旨在引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識，事實上，學(xué)生在激烈的思辨中確實獲得了更多更好的體驗與認(rèn)知，具體教學(xué)片段如下：

師：大家覺得這一解法是否正確？

生1：這個解法跟我答卷時的解法差不多，我感覺沒有錯，但我的解題被扣了3分，應(yīng)該是有問題的吧.

生3：對，有漏洞，應(yīng)該補(bǔ)充說明x=0也是方程（fx）=x的唯一解（a≠0，b=1，Δ=0，ax+b≠0），這樣才完全正確.

師：綜合大家的發(fā)言，該題是不是完全解決且沒有問題了呢？

生4：由（fx）=x有唯一解可得Δ=（b-1）2=0的結(jié)論并不唯一，還有一種可能Δ=（b-1）2＞0（b≠1），則方程ax2+（b-1）x=0（a≠0）的兩個根為x=1（實根），x=0（增根），則2ax+b=b=0.

引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)錯誤并因此對問題展開新的審視往往能夠促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的深層次理解，學(xué)生在深層次理解問題的過程中也會更好地提升自身的能力，并從“錯誤”中得到更多的啟發(fā)，學(xué)生也會因此積累更加豐富的解題經(jīng)驗.不僅如此，教師根據(jù)學(xué)生的“錯誤”所作出的針對性教學(xué)也能更好地改進(jìn)其教學(xué)的手段和方法，在對學(xué)生所作出的科學(xué)引導(dǎo)和剖析給學(xué)生帶來深入思考和感悟的同時，教師與學(xué)生在針對性的教與學(xué)中均獲得了自身成長.

三、挖掘?qū)W生的“錯誤”根源并追溯教學(xué)的薄弱點

很多教師在某個章節(jié)的教學(xué)結(jié)束之后往往會詢問學(xué)生是否都已掌握，學(xué)生在教師的這一問題下往往會選擇肯定的答案，其中的原因自然是多種多樣的，教師面對學(xué)生的肯定態(tài)度之時往往也不會深究學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題，教師的這一疏忽自然會令一些學(xué)生在具體解題時犯錯，事實上，教師的這一忽視正是其實際教學(xué)中存在的薄弱點.學(xué)生因為對概念理解的淺薄、對知識的負(fù)遷移、不良習(xí)慣及過分依賴直覺思維等多種因素會在解題中出錯，教師在實際教學(xué)中應(yīng)對學(xué)生的錯誤進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生積極結(jié)合直覺思維、發(fā)散思維、合情推理與邏輯對實際問題進(jìn)行分析，學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性往往會在教師的有意培養(yǎng)中得以提升.例如，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的計算錯誤這些往往都是思維習(xí)慣或負(fù)遷移導(dǎo)致的錯誤，教師在實際教學(xué)中應(yīng)結(jié)合具體案例進(jìn)行糾正，一帶而過的教學(xué)往往無法令學(xué)生的知識負(fù)遷移及思維習(xí)慣得到改善.

還有的學(xué)生會在不等價變形與推理中產(chǎn)生解題錯誤，教師在這些糾錯教學(xué)中應(yīng)結(jié)合具體的案例進(jìn)行辨析，將自己教學(xué)中可能存在的缺陷和不足進(jìn)行反復(fù)的思考并令學(xué)生獲得真正且深刻的認(rèn)知和理解.例如，零點判定問題中，函數(shù)（fx）在［a，b］上有零點的充分條件為（fa）·（fb）＜0；若（fa）·（fb）＜0不成立，也不能說明（fx）在［a，b］內(nèi)沒有零點.導(dǎo)數(shù)性質(zhì)中，函數(shù)（fx）單調(diào)遞增的充分條件為f（′x）＞0，函數(shù)（fx）存在極值的必要條件為f（′x）=0.運用反例進(jìn)行實際教學(xué)的案例比較少見，很多教師也將這些知識點留到復(fù)習(xí)教學(xué)中重點講解，這種教學(xué)方式往往會導(dǎo)致“夾生飯”的形成.

由此可見，解題中的有些錯誤并不能完全歸咎于學(xué)生本身，教師在實際教學(xué)中的設(shè)計與落實也往往會存在問題，因此，教師在實際教學(xué)中應(yīng)能客觀分析學(xué)生錯誤的根源并進(jìn)行教學(xué)手段與方式的調(diào)整與改進(jìn)，使學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)知識和規(guī)律，這種反思教學(xué)欠缺的行為對教學(xué)質(zhì)量和效益的提升來說具有積極的意義.

總之，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出錯是非常普遍的，教師在實際教學(xué)過程中應(yīng)充分重視“錯誤”資源的價值并對其進(jìn)行有效研究，在幫助學(xué)生糾錯、提升的同時反思教學(xué)上的缺陷，思考教學(xué)方法與策略的改進(jìn)，并因此促成教師與學(xué)生在教與學(xué)中的共同進(jìn)步.W