數(shù)列極限中部分性質(zhì)和定理的推廣與拓展

楊一琦

【摘要】極限是當(dāng)代數(shù)學(xué)理論中的一個(gè)基本概念，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石之一，而其中數(shù)列極限又是極限理論的基礎(chǔ)。數(shù)列極限具有諸多的性質(zhì)，從整體上把握和厘清這些性質(zhì)對(duì)理解數(shù)列極限的含義有著至關(guān)重要的作用。本文從數(shù)列極限幾個(gè)常見(jiàn)的性質(zhì)和定理出發(fā)，研究了這些性質(zhì)和定理的條件，并對(duì)這些性質(zhì)和定理的推廣和拓展進(jìn)行了討論。

【關(guān)鍵詞】極限 數(shù)列 收斂準(zhǔn)則

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）07-0135-02

1.引言

極限的思想從古就有，比如中國(guó)古代大數(shù)學(xué)家劉徽就這樣描述他的割圓術(shù)：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣[1]。如今，經(jīng)歷了上百年的發(fā)展，極限的概念和思想業(yè)已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)大廈的基石，理解好極限的概念對(duì)學(xué)習(xí)微積分、概率論等課程至關(guān)重要。無(wú)論是要在數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行相關(guān)研究，還是只需使用數(shù)學(xué)工具解決各類問(wèn)題，極限的概念都是首先需要掌握的。本文從數(shù)列極限的性質(zhì)和收斂判別準(zhǔn)則出發(fā)，研究了這些性質(zhì)和定理的條件，并在此基礎(chǔ)上給出了其中部分性質(zhì)和定理的推廣。

2.數(shù)列極限及其基本性質(zhì)

2.1數(shù)列極限的定義

我們首先給出數(shù)列極限的定義。

定理5把閉區(qū)間套換成了滿足端點(diǎn)嚴(yán)格單調(diào)性的任意一簇區(qū)間。這簇區(qū)間可以包含任意種類的區(qū)間，且不要求它們都是同一類區(qū)間。這從一定程度上減弱了定理2的條件要求，是定理2的推廣。

3.3數(shù)列及其子列的收斂性

定理8有如下的一個(gè)推論：

推論2 一個(gè)數(shù)列收斂到常數(shù)A當(dāng)且僅當(dāng)其奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的子列均收斂到常數(shù)A。

定理8和推論2在證明數(shù)列收斂時(shí)很有用。例如根據(jù)推論2，我們只需證明一個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都收斂，且收斂到同一個(gè)極限，就可以證明原數(shù)列的收斂性。這比使用一個(gè)數(shù)列收斂當(dāng)且僅當(dāng)其任意子列收斂這一結(jié)論證明收斂性要方便得多。

4.結(jié)語(yǔ)

本文總結(jié)了數(shù)列極限的一些常用性質(zhì)和定理，并在此基礎(chǔ)上給出了部分性質(zhì)和定理的推廣與擴(kuò)展。推廣的結(jié)論不僅對(duì)理解極限的定義至關(guān)重要，也進(jìn)一步豐富了極限的相關(guān)理論，具有一定的理論和應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析-第2版[M].高等教育出版社，2004.

[2]唐海波.數(shù)列極限與函數(shù)極限的統(tǒng)一[J].河池學(xué)院學(xué)報(bào)，2017（5）：70-75.