解析幾何誕生的意義

摘 要：17世紀(jì)笛卡兒和費(fèi)馬通過把坐標(biāo)系引入幾何中，將幾何的“形”與代數(shù)的“數(shù)”對(duì)應(yīng)起來，從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。解析幾何學(xué)的誕生在數(shù)學(xué)史上具有非常重要的意義，它為微積分奠定了基礎(chǔ)，使一些命題證明變得簡(jiǎn)單，同時(shí)，它還促進(jìn)了幾何圖形在生活中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：解析幾何；數(shù)學(xué)發(fā)展；定理證明；圖形應(yīng)用

一、 引言

解析幾何誕生于17世紀(jì)的法國(guó)，數(shù)學(xué)家笛卡兒和費(fèi)馬通過把坐標(biāo)系引入幾何中，將幾何的基本元素——點(diǎn)，與代數(shù)的基本研究對(duì)象——數(shù)對(duì)應(yīng)起來，從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。解析幾何學(xué)的產(chǎn)生可以說是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次飛躍。它為17世紀(jì)數(shù)學(xué)最重要的成就之一——微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)；解析幾何把變量引入數(shù)學(xué)，因此完成或者簡(jiǎn)化了其他學(xué)科中一些定理的證明；同時(shí)，通過對(duì)圖形方程的建立和研究將幾何圖形更好的應(yīng)用到我們的生活中。

二、 解析幾何學(xué)的誕生是數(shù)學(xué)發(fā)展的需要

公元前146年，羅馬人征服了希臘本土。公元前47年，凱撒縱火焚毀停泊在亞歷山大港的埃及船隊(duì)，大火延及該城，并無情地將圖書館兩個(gè)半世紀(jì)以來收集的藏書毀于一炬。羅馬統(tǒng)治者推崇的基督教的傳播，迅速地以強(qiáng)烈的宗教狂熱淹沒了豐富的科學(xué)想象，使希臘數(shù)學(xué)蒙受了更大的災(zāi)難。查封學(xué)園，禁止學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)，使歐洲數(shù)學(xué)進(jìn)入了漫長(zhǎng)的黑暗時(shí)期。15世紀(jì)，隨著拜占庭帝國(guó)的瓦解，難民們帶著包括古希臘文化在內(nèi)的財(cái)富逃亡到意大利，從15世紀(jì)中期到16世紀(jì)末，這段時(shí)期在歐洲稱為文藝復(fù)興時(shí)期。在這一時(shí)期，歐洲開始出現(xiàn)了思想大解放、生產(chǎn)大發(fā)展、社會(huì)大進(jìn)步，包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的科學(xué)文化開始復(fù)蘇并繁榮起來。到17世紀(jì)，從封建社會(huì)內(nèi)部產(chǎn)生出來的資本主義生產(chǎn)關(guān)系，處于它的上升時(shí)期，促進(jìn)了社會(huì)生產(chǎn)力的迅速發(fā)展，遠(yuǎn)洋航行、礦山開采、機(jī)械制造以及資本的對(duì)外擴(kuò)張，向自然科學(xué)提出了大量的問題，例如天體運(yùn)行、鐘表擺動(dòng)、炮彈彈道、透鏡形狀等，所有這些，都已超出歐幾里得幾何學(xué)的范圍。費(fèi)馬和笛卡兒創(chuàng)立的解析幾何學(xué)解決了以上問題，解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，通過把坐標(biāo)系引入幾何中，將幾何的“形”與代數(shù)的“數(shù)”對(duì)應(yīng)起來，從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，它把變量引入數(shù)學(xué)，使得人們借助數(shù)學(xué)對(duì)運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律進(jìn)行定量分析成為可能。美國(guó)著名數(shù)學(xué)史家莫里斯·克萊茵指出：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄。但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就相互吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善。”17世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)積累了微積分的大量知識(shí)和方法，解析幾何的出現(xiàn)為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)。正如恩格斯所說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)；有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了?！?/p>

三、 向量運(yùn)算簡(jiǎn)化了定理的證明

在解析幾何中，我們可以通過構(gòu)造向量完成一些定理的證明，或者簡(jiǎn)化一些定理證明過程。

利用空間解析幾何中的數(shù)量積、向量積以及混合積運(yùn)算，對(duì)一個(gè)向量與三個(gè)不共面向量的分解式進(jìn)行混合積運(yùn)算，之后在空間右手直角坐標(biāo)系下應(yīng)用混合積的坐標(biāo)表示，代入四個(gè)向量的坐標(biāo)以后可以證明線性代數(shù)中解線性方程組的重要定理——克萊姆法則。

通過數(shù)量積的定義和空間直角坐標(biāo)系下數(shù)量積的坐標(biāo)表示式可以證明數(shù)學(xué)分析中的重要不等式——柯西—施瓦茨不等式；還可以利用雙重向量積的計(jì)算公式證明數(shù)學(xué)分析中的兩個(gè)重要等式——拉格朗日恒等式和雅可比恒等式。

在三角形中構(gòu)造向量以后，可以運(yùn)用數(shù)量積的定義和運(yùn)算律證明三角學(xué)中的余弦定理，還可以利用向量積模的定義證明三角學(xué)中的另一定理——正弦定理。

通過構(gòu)造向量還可以證明歐式幾何的一些重要定理，例如三角形中位線定理、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形、平行四邊形對(duì)角線平方和等于它各邊的平方和……

四、 方程的建立促進(jìn)了幾何圖形的應(yīng)用

幾何圖形在生活中有著廣泛應(yīng)用，很多的幾何圖形都被用在建筑中。解析幾何通過引進(jìn)坐標(biāo)系，建立方程與圖形的關(guān)系，對(duì)于方程，可以根據(jù)滿足方程的點(diǎn)的特征性質(zhì)作出圖形；對(duì)于幾何圖形，可以根據(jù)圖形上點(diǎn)的特征性質(zhì)構(gòu)建方程，再通過方程進(jìn)一步討論圖形的其他性質(zhì)，最終將圖形用到我們的生活尤其是一些建筑中。例如位于廣東省廣州市越秀區(qū)二沙島的星海音樂廳（圖1），它是以人民音樂家冼星海的名字命名的，其屋頂設(shè)計(jì)采用的是解析幾何中的雙曲拋物面（馬鞍面）。在空間解析幾何中雙曲拋物面是由所在平面互相垂直，有公共頂點(diǎn)和軸，開口方向相反的兩條拋物線，其中的一條拋物線平行于自己且使頂點(diǎn)在另一條拋物線上滑動(dòng)生成的，空間解析幾何討論了雙曲拋物面的方程及其構(gòu)成，還討論了它的直母線，由此知道雙曲拋物面是由直線構(gòu)成的，因此可以將其運(yùn)用到建筑中。

還有位于中國(guó)廣州市海珠區(qū)（藝洲島）赤崗塔附近的廣州電視塔（昵稱小蠻腰），該圖形在解析幾何上被叫做單葉雙曲面，由空間解析幾何中對(duì)單葉雙曲面方程的探討知道單葉雙曲面同樣存在直母線，它也可以看成是由直線構(gòu)成的。

類似這樣的幾何圖形在建筑中的應(yīng)用還有很多，它們中的絕大多數(shù)都是通過解析幾何中對(duì)方程的探討，了解其構(gòu)成以后才能進(jìn)一步運(yùn)用到建筑中的。

五、 結(jié)束語

解析幾何的誕生在數(shù)學(xué)史上具有重要意義，它使得代數(shù)與幾何結(jié)合在一起，加快了數(shù)學(xué)發(fā)展的步伐，使我們的近代數(shù)學(xué)越來越完善，同時(shí)也促進(jìn)了數(shù)學(xué)在生活的廣泛應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱家生.數(shù)學(xué)史（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011（5）：99.

[2]呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006（5）.

作者簡(jiǎn)介：江獻(xiàn)，云南省曲靖市，曲靖師范學(xué)院教師教育學(xué)院。