挖掘高考試題,增效高三教學(xué)—基于2018年高考理數(shù)18題的立體幾何復(fù)習(xí)

廣東省東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)(523120) 段偉

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn),是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.作為高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)教學(xué)模塊的立體幾何可以重點(diǎn)提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).立體幾何中的翻折問題由于要發(fā)掘圖形翻折前后的差異與聯(lián)系,尋找定型定量,題型新穎,解法豐富,一直是立體幾何教學(xué)和考查的熱點(diǎn).在2018年高考數(shù)學(xué)全國I卷理科試卷中,立體幾何的解答題就是以翻折問題的形式展現(xiàn).

一、一題多解固基礎(chǔ),多法比較建聯(lián)系

例(2018年高考理科數(shù)學(xué)全國一卷18題)如圖1,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把△DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PF⊥BF.

圖1

(1)證明:平面PEF⊥平面ABFD;

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

證明(1)(略);

(2)解法1如圖2,在平面PEF內(nèi),過點(diǎn)P作PH⊥EF于點(diǎn)H,連接DH,由(1)可得,PH⊥平面ABFD,所以,DH為DP在平面ABFD內(nèi)的射影,∠PDH為DP與平面ABFD所成角.設(shè)正方形的邊長為2,則DP=DC=2.因?yàn)锽F//DE,BF⊥平面PEF,所以DE⊥PE,在Rt△PED中,DP=2,DE=1,則又因?yàn)镻F=1,EF=2,所以PE2+PF2=EF2,所以PE⊥PF,在 Rt△PEF中,,所以,即,DP與平面ABFD所成角的正弦值為.

圖2

解法4如圖3,在平面PEF內(nèi)作PH⊥EF于點(diǎn)H,由(1)得,PH⊥平面ABFD,以H為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閥軸正方向,為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系H?xyz,由(1)得,DE⊥PE,又DP=2,DE=1,所以,又PF=1,EF=2,所以PE2+PF2=EF2,所以PE⊥PF,在Rt△PEF中,PH=,取n=(0,0,1)為平面ABFD的法向量,設(shè)DP與平面ABFD所成角為θ,則,即,DP與平面ABFD所成角的正弦值為.

圖3

解法5如圖3,在平面PEF內(nèi)作PH⊥EF于點(diǎn)H,由(1)得,PH⊥平面ABFD,以H為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閥軸正方向,為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系H?xyz,設(shè)正方形ABCCD的邊長為2,EH=a,PH=b(a>0,b>0),則H(0,0,0),F(0,2?a,0),D(?1,?a,0),P(0,0,b),由題意得,即,1+a2+b2=4,(2?a)2+(?b)2=1,解得,,平面ABFD的法向量為,設(shè)DP與平面ABFD所成角為θ,則,即,DP與平面ABFD所成角的正弦值為.

解法6如圖4,以D為原點(diǎn),為x軸正方向,為y軸正方向,過點(diǎn)D作垂直于平面ABFD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz,如圖所示,設(shè)正方形ABCCD的邊長為2,由(1),可設(shè)P(1,a,b)(a,b>0),則D(0,0,0),F(1,2,0),所以,由題意得,CF=1,即,1+a2+b2=4,(2?a)2+(?b)2=1,解得,,取n=(0,0,1)為平面ABFD的法向量,設(shè)DP與平面ABFD所成角為θ,則,即,DP與平面ABFD所成角的正弦值為.

圖4

知識之間是有聯(lián)系的.通過一題多解,不但可以建立解法之間的聯(lián)系,優(yōu)化方法,洞察問題的深層結(jié)構(gòu),而且多種解法的呈現(xiàn)也可以滿足不同學(xué)生對同一問題的不同認(rèn)知.解法1、2、3是綜合法,解法 4、5、6是向量法.在此題的解答中,綜合法的關(guān)鍵是利用定義找到所求線面角,向量法的關(guān)鍵在于恰當(dāng)建立坐標(biāo)系,但是兩種方法的難點(diǎn)都在于與P點(diǎn)相關(guān)的長度或者坐標(biāo)的確定.解法1是由因?qū)Ч木C合法的完整體現(xiàn),需要比較強(qiáng)的數(shù)據(jù)分析能力以確定△PEF是直角三角形,從而突破PH長度的求解障礙;解法2利用方程求解PH的長度;解法3利用等體積法求解PH.解法1、2都是將立體幾何問題降維后在三角形中解決的,解法3利用了等體積法,突出了避作而求的推理方式.解法4是解法1的向量法體現(xiàn);解法5、6是解法2的向量法體現(xiàn),不同之處在于建系的方式不同.通過以上方法的比較不難發(fā)現(xiàn),綜合法需要添加輔助線才能把相關(guān)幾何元素聯(lián)系起來,而這常常成為制約學(xué)生分析問題的障礙.向量法已經(jīng)利用直線的方向向量和平面的法向量將線面角的關(guān)系模型化,將線面角的求解方法公式化,避免了尋找線面角這個(gè)難點(diǎn).這體現(xiàn)出向量法在立體幾何問題中定量分析的優(yōu)勢,也可以說,向量法是立體幾何中定量分析的更加優(yōu)化的方法.所以,對于幾何中嚴(yán)密的論證和計(jì)算,一方面我們要提高學(xué)生利用綜合法解決問題的能力,進(jìn)一步發(fā)展和完善學(xué)生的推理能力;另一方面要強(qiáng)化向量法,利用坐標(biāo)中向量之間的性質(zhì)解決問題.

二、收集錯(cuò)誤顯問題,反思教法促教學(xué)

對于第2問的解答,學(xué)生多采用向量法,而在平常的教學(xué)過程中,對于角度、距離類定量分析的問題,學(xué)生也偏好向量法,這與立體幾何改革的基本方向一致.當(dāng)然,不論是綜合法還是向量法,能夠準(zhǔn)確運(yùn)用并解決問題就是好方法,然而,對于這道看似并不困難的問題,答卷情況卻不容樂觀,出現(xiàn)比較多的知識方法錯(cuò)誤有以下三點(diǎn):

(1)綜合法中找不到線面角;

(2)建系正確,但點(diǎn)P的坐標(biāo)錯(cuò)誤;

錯(cuò)誤(1)的根源主要在于定義的理解不透徹,想象及推理能力欠缺,導(dǎo)致在具體的圖形中,不能熟練洞察線面關(guān)系以確定線面角;錯(cuò)誤(2)的原因在于對于題目中與點(diǎn)P相關(guān)的數(shù)量關(guān)系,不能準(zhǔn)確的挖掘翻譯并建立與問題的聯(lián)系;錯(cuò)誤(3)的源由在于學(xué)生平常的學(xué)習(xí)只是機(jī)械式的記憶公式,沒有建立圖形與數(shù)量、公式的聯(lián)系,更沒有真正理解線面角與向量角的區(qū)別和聯(lián)系.

針對以上3個(gè)常見錯(cuò)誤,在立體幾何的教學(xué)中,應(yīng)當(dāng)注重以下策略和方法上的調(diào)整:

1.理清基本線索

從數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯上看,立體幾何的基本線索是①從定性到定量②從綜合法到向量法,教材中立體幾何的內(nèi)容安排設(shè)置也是以此為據(jù)的.那么,在立體幾何的教學(xué),特別是高三復(fù)習(xí)中,也應(yīng)當(dāng)遵從這條線索,讓學(xué)生對立體幾何認(rèn)知符合規(guī)律;在每個(gè)立體幾何問題的分析過程中,也應(yīng)當(dāng)先理清點(diǎn)線面關(guān)系,再建立數(shù)量或向量關(guān)系,讓學(xué)生對每個(gè)問題的理解循序漸進(jìn).

2.強(qiáng)調(diào)基本圖形

亦如平面幾何中強(qiáng)調(diào)三角形,立體幾何中也有基本圖形,例如長方形,四面體,這些基本圖形隨手可得,結(jié)構(gòu)簡單,但是卻蘊(yùn)含了所有的點(diǎn)、線、面關(guān)系.在立體幾何的教學(xué)中,都應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)在基本圖形中理解基本幾何元素關(guān)系,理解基本定理,理解基本公式方法,那么在復(fù)雜的圖形中,學(xué)生才可以舉一反三,觸類旁通.

3.歸納基本圖例

圖5

圖6

三、一題多變提能力,滲透素養(yǎng)增效力

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué),立體幾何尤為如此.所以在立體幾何的教學(xué)中,不論是定性分析還是定量分析,不管是綜合法還是向量法,都要緊抓圖形分析數(shù)據(jù),而且可以發(fā)揮立體幾何中數(shù)量與圖形緊密聯(lián)系的特點(diǎn),設(shè)置連續(xù)而有邏輯關(guān)聯(lián)的變式問題,并在這些問題的解決過程中,進(jìn)一步強(qiáng)化訓(xùn)練推理論證的技能.

例題變式1-4如圖1,四邊形ABCD為正方形,邊長為2,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把△DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PF⊥BF.

變式1求點(diǎn)E到平面DPF的距離d.

變式2求二面角P?DF?E的余弦值.

思路分析在圖3中求得平面DPF的法向量,平面DEF的法向量n=(0,0,1),利用空間向量二面角余弦值的計(jì)算公式得到二面角P?DF?E的余弦值;也可以利用二面角定義,如圖7,過點(diǎn)H作DF的垂線,垂足為Q,可證DF⊥平面PQH,那么∠PQH即為二面角P?DF?E的平面角.在Rt△PHQ中,即為所求.

圖7

變式3求三棱錐P?DEF的外接球半徑R.

變式4求三棱錐P?DEF的內(nèi)接球半徑r.

思路分析由于S△DEF=S△DPF=1,,可以利用等體積法,得到(S△DEF+S△DPF+S△DEP+S△PEF)=VP?DEF,解得.

設(shè)計(jì)意圖例題變式1-4在高考原題的基礎(chǔ)上展開,意在通過學(xué)生熟悉的題干和圖形對距離、二面角、內(nèi)切球和外接球等常規(guī)概念、問題及涉及的方法進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求學(xué)生能夠在熟悉的情境中建立數(shù)量與圖形的聯(lián)系并進(jìn)行抽象和表達(dá)論證.在平常的立體幾何教學(xué)中,可以啟發(fā)學(xué)生在同一個(gè)立體幾何背景中尋找不同的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系并進(jìn)行自主變式教學(xué),多角度的理解圖形并認(rèn)知問題.

例題變式5-10如圖1,四邊形ABCD為正方形,邊長為2,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把△DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,

變式5當(dāng)平面DPF⊥平面DEF時(shí),求直線PE和平面DEF所成角的正弦值.

圖8

變式6當(dāng)平面DPF⊥平面DEF時(shí),求三棱錐P?DEF的外接球體積;并探究,當(dāng)△DPF繞DF翻折的過程中,三棱錐P?DEF的外接球體積有沒有變化?

圖9

設(shè)計(jì)意圖變式5、6將高考原題中的條件“PF⊥BF”換為“平面DPF⊥平面DEF”,變式5的問題和原題相同,變式6與變式4的問題類似但有所推廣.兩個(gè)問題意在通過與原問題關(guān)聯(lián)或者相似的情景,幫助學(xué)生能夠理解和建構(gòu)相關(guān)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系,從而進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)概念,辨析邏輯關(guān)系,提煉數(shù)學(xué)方法.

變式7當(dāng)△DPF繞DF翻折的過程中,是否存在某個(gè)位置使得DE⊥PF.

思路分析如果DE⊥PF,又DE⊥EF,PF∩EF=F,那么DE⊥平面PEF,所以DE⊥PE,而PD>DE,所以以PD為斜邊的直角三角形是存在的.那么,當(dāng)△DPF繞DF翻折的過程中,存在某個(gè)位置使得DE⊥PF.

變式8當(dāng)△DPF繞DF翻折的過程中,是否存在某個(gè)位置使得DP⊥EF.

思路分析如果DP⊥EF,又DP⊥PF,PF∩EF=F,那么DP⊥平面PEF,所以DP⊥PE,而DP=DC>DE,所以不存在以DE為斜邊的直角三角形.那么,當(dāng)△DPF繞DF翻折的過程中,DP與EF始終不垂直.

變式9當(dāng)△DPF繞DF翻折的過程中,是否存在某個(gè)位置使得DF⊥PE.

思路分析如圖10,在矩形DCEF中,過點(diǎn)C作CT⊥DF,垂足為T,過點(diǎn)E作ES⊥DF,垂足為S,因?yàn)镈CCF,所以T與S不重合;如果DF⊥PE,又DF⊥PT,PE∩PT=P,那么DF⊥平面PET,所以DF⊥ET,這與T與S不重合矛盾,所以,當(dāng)△DPF繞DF翻折的過程中,DF與PE始終不垂直.

圖10

圖11

設(shè)計(jì)意圖變式7-9刪除了高考原題中的條件“PF⊥BF”,那么圖形就不是靜態(tài)的圖形,是在翻折變化的動(dòng)態(tài)過程中設(shè)置問題,學(xué)生也只能在動(dòng)態(tài)過程中思考三組異面直線的位置關(guān)系.3個(gè)題目都以推理論證能力培養(yǎng)為目標(biāo),在思考解答的過程中考察培養(yǎng)了舉正例,舉反例,綜合分析,反證分析等能力.3個(gè)問題意在通過綜合化的一般情境,理解數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)和結(jié)論的一般性,期望學(xué)生能夠?qū)^為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題探索論證途經(jīng)并用數(shù)學(xué)語言合理準(zhǔn)確的進(jìn)行表達(dá).

變式10當(dāng)△DPF繞DF翻折的過程中,三棱錐P?DEF的表面積和體積是否有最大值;如果有,求出最大值;如果沒有,說明理由.

設(shè)計(jì)意圖該問題依然在翻折過程中設(shè)置,屬于開放探究性問題,變量的引入和問題的解決途經(jīng)均具有偶然性和自主性,可以鼓勵(lì)學(xué)生通過操作觀察,形成猜想,證明結(jié)論.經(jīng)歷這樣的探究過程,有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,分類討論,作圖表達(dá),推理論證的能力,在具體情境中提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng),積累探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

四、結(jié)語

由于高考題目不但依據(jù)課標(biāo),緊貼教材,有一般訓(xùn)練題目不可比擬的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性;而且高考題目經(jīng)過了全國學(xué)生的實(shí)踐檢驗(yàn)及老師的深入研討,科學(xué)性強(qiáng),解題思路明朗,解題書寫規(guī)范,評分細(xì)則標(biāo)準(zhǔn),所以高考真題既有利于全面覆蓋,又有利于突出重點(diǎn).在高三的教學(xué)中,教師如果能發(fā)揮高考真題的真優(yōu)勢,讓真題的分析是真知灼見,讓問題的診斷有真憑實(shí)據(jù),讓解法的優(yōu)化能返璞歸真,讓教法的改善可去偽存真,那么,學(xué)生必定可以獲取真才實(shí)學(xué).