從教材內(nèi)容的疑點(diǎn)處挖掘核心素養(yǎng)的生長點(diǎn)*—以“橢圓的定義”為例

廣東省東莞市教育局教研室(523125) 易文輝

1、問題的提出

新修訂的課程標(biāo)準(zhǔn)要求高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)[1].核心素養(yǎng)為綱的理念如何轉(zhuǎn)化為廣大教師教育教學(xué)的實(shí)際行動(dòng),是目前教學(xué)中研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn).教材是師生教與學(xué)的主要素材,決定了課堂教學(xué)的內(nèi)容,是從“四基”“四能”通向核心素養(yǎng)的主渠道[2].多年來大家已經(jīng)形成的共識(shí)是要“用教材”而不是“教教材”,理解好教材內(nèi)容,把握內(nèi)容本質(zhì),決定了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成度.

專家們?cè)诰帉懡滩臅r(shí),注重整體知識(shí)結(jié)構(gòu)的綜合性、全面性,使教材的科學(xué)性、思想性、時(shí)代性、現(xiàn)實(shí)感以及親和力得到保障[3].但在實(shí)際教學(xué)中,教材只是學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)的一個(gè)中介,還需要教師進(jìn)行“智慧”地處理,才能用好教材.目前,教材中的內(nèi)容編排或者編寫要轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué),仍然存在許多疑點(diǎn),而這些疑點(diǎn)往往就是核心素養(yǎng)培養(yǎng)的生長點(diǎn),是用好教材的一個(gè)抓手,以人教版選修2-1 A版中“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一節(jié)為例,教師要根據(jù)教材中存在的疑點(diǎn),使之成為教學(xué)的有利于學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)生長點(diǎn).

2、教材“橢圓的定義”的疑點(diǎn)分析

疑點(diǎn)1橢圓的畫法是怎么產(chǎn)生的?

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,平面解析幾何的單元學(xué)習(xí)中,要幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)橢圓的幾何特征,教材通過探究,也就是一種畫橢圓的方法,通過畫圖揭示橢圓上的點(diǎn)滿足的條件,從而得到橢圓的定義.教材的這種引入方式,想法是很好的,但是教師非常難處理,不知道這種畫法是怎么產(chǎn)生的,學(xué)生就更加不清楚了,不少老師處理方式是類比畫圓的方法,從一個(gè)定點(diǎn)(圓心),變?yōu)閮蓚€(gè)定點(diǎn),過渡到教材中的實(shí)驗(yàn).然而,經(jīng)過調(diào)查和多年來教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)此是非常疑惑的,為什么定點(diǎn)是2個(gè),而不是3個(gè)?為什么是距離之和,而不是距離之差呢?顯然這些疑惑是不能忽視的,因?yàn)檫@些疑惑正是對(duì)橢圓知識(shí)發(fā)生過程的疑惑.

教材這種處理,突然冒出來個(gè)“橢圓”,是會(huì)“傷害”學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣的,為什么要學(xué)習(xí)橢圓知識(shí)?橢圓從哪里來的?沒有將橢圓的概念建立在學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)或者已有的知識(shí)中,未能感受到學(xué)習(xí)它的必要性,也沒有經(jīng)歷橢圓的形成過程,怎么能不讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)的冷呢.

疑點(diǎn)2畫橢圓過程中那兩個(gè)定點(diǎn)是隨便選的嗎?為什么只關(guān)注長度關(guān)系?

在畫橢圓的探究過程中,將細(xì)繩兩個(gè)端點(diǎn)抽象成兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2,筆尖是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,筆尖拉開的兩段細(xì)繩,是動(dòng)點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)變化時(shí)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離,然后讓學(xué)生觀察到這兩個(gè)距離之和等于一個(gè)常數(shù),不少的老師還通過幾何畫板驗(yàn)證,讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)結(jié)論.然而,實(shí)際上這種目的性非常強(qiáng)的探究是意義不大的,學(xué)生難免會(huì)產(chǎn)生疑問,為什么要觀察這兩條線段之和?不能是差?或者是積或者商?更甚至,幾何中常常通過距離和角度來刻畫相對(duì)位置關(guān)系,那么將這個(gè)實(shí)驗(yàn)抽象為平面內(nèi)點(diǎn)、線關(guān)系之后,動(dòng)點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)變化過程中,不但線段長度發(fā)生了變化,還有角度也發(fā)生了變化,為什么不研究角度之間的關(guān)系呢?要發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),一定不能只關(guān)注結(jié)果性知識(shí),更應(yīng)該關(guān)注過程性知識(shí),只有將知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程嵌入教學(xué)之中,而且教學(xué)過程也要滲透不確定性知識(shí),例如畫橢圓這個(gè)實(shí)驗(yàn)中,除了距離之和等于一個(gè)常數(shù)是確定性知識(shí),還有這個(gè)距離之差、積、商都是不確定的,角度的關(guān)系也存在不確定性關(guān)系,從培養(yǎng)學(xué)生理性思維,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的素養(yǎng)來看,這些不確定性關(guān)系在尋找到確定性關(guān)系的過程中同樣重要.

疑點(diǎn)3確定一個(gè)橢圓之后,兩個(gè)焦點(diǎn)能找出來嗎?

在畫橢圓的試驗(yàn)中,先定好了兩個(gè)定點(diǎn),然后拉直繩子才能畫出橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)就是橢圓的焦點(diǎn),意味著只有橢圓的焦點(diǎn)定了才能有橢圓,學(xué)生難免會(huì)疑惑,是否所有橢圓都能有焦點(diǎn)呢?如果有,是否可以有辦法找出兩個(gè)焦點(diǎn)?這兩個(gè)定點(diǎn)究竟在平面內(nèi)是什么位置?要培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的精神,就不能用“以后你就知道了”去搪塞學(xué)生,而是要盡可能理清知識(shí)的來龍去脈,幫助學(xué)生理解知識(shí)的本質(zhì).

3、改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì),挖掘數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生長點(diǎn)

要解釋這么多疑點(diǎn),顯然不是單純的簡答題,根本在于教學(xué)觀、教材觀的問題.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的本源是知識(shí)[4],也就是說數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就在知識(shí)的來龍去脈、知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程中生成,而“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一節(jié)中,教材上的處理突兀、生硬,需要教師進(jìn)行“再加工”,搞明白橢圓是怎么來的?為什么要研究橢圓?是怎么研究橢圓問題的?等.

歷史上,古希臘人先是從圓柱或圓錐被平面截得的截口上發(fā)現(xiàn)橢圓;公元前3世紀(jì),阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中采用了截線定義,并導(dǎo)出了“橢圓的焦半徑之和等于常數(shù)”這一性質(zhì);公元6世紀(jì),拜占庭數(shù)學(xué)家安替繆斯利用該性質(zhì)給出的“兩釘一線”畫法;17世紀(jì),法國數(shù)學(xué)家拉伊爾將橢圓定義,為平面上到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡;直到1822年,比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林利用圓錐的兩個(gè)內(nèi)切球,導(dǎo)出橢圓焦半徑性質(zhì),從而使截線定義和軌跡定義統(tǒng)一起來[5].縱觀數(shù)學(xué)史,橢圓的發(fā)展有以下重要環(huán)節(jié)橢圓的發(fā)現(xiàn)、截線定義的形成、基本性質(zhì)的推導(dǎo)、焦半徑性質(zhì)的獲得、機(jī)械作圖的產(chǎn)生、軌跡定義的確立、橢圓方程的推導(dǎo).教材上只呈現(xiàn)了后面三個(gè)環(huán)節(jié),雖然簡練,但是將橢圓最核心的發(fā)生發(fā)展過程給割裂了,不利于學(xué)生學(xué)習(xí),更不利于學(xué)生核心素養(yǎng)的生成.

由于內(nèi)容容量大,建議教學(xué)中“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”分成兩個(gè)課時(shí),第一節(jié)課主要是橢圓的定義,第二節(jié)課推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.根據(jù)以上分析,建議改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì),改變教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式,可以通過生活中的橢圓入手,重構(gòu)歷史,讓學(xué)生經(jīng)歷從截線定義到軌跡定義的知識(shí)發(fā)生過程,幫助學(xué)生厘清橢圓的來龍去脈,橢圓定義教學(xué)過程主要環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì):

學(xué)生活動(dòng):觀察生活中與橢圓有關(guān)的情境.

圖1

圖2

圖3

圖4

問題1對(duì)于第四張圖中,當(dāng)平行光照射籃球時(shí),影子輪廓的形狀有什么變化?輪廓上的點(diǎn)到籃球與地面切點(diǎn)的距離有什么變化?

設(shè)計(jì)意圖由學(xué)生熟悉的情境引發(fā)思考,當(dāng)光線在籃球正上方發(fā)時(shí),影子輪廓是一個(gè)圓,此時(shí)圓心是球與地面的切點(diǎn),影子輪廓上的點(diǎn)到切點(diǎn)的距離等于一個(gè)常數(shù);當(dāng)光線斜照時(shí),影子輪廓是形成的是橢圓,顯然影子輪廓上的點(diǎn)到切點(diǎn)的距離會(huì)隨點(diǎn)的位置變化而變化.

問題2將平行的光線看成是與球面相切的圓柱面,橢圓與圓柱面有什么關(guān)系?

設(shè)計(jì)意圖由光線斜照籃球在地面形成的輪廓,將籃球抽象成球,與球面相切平行光線抽象成為圓柱面,地面抽象成為一個(gè)與球相切的平面,這時(shí)橢圓就是圓柱面與平面的交線,如圖5所示.

圖5

問題3如圖6,假設(shè)球與平面相切于F,橢圓上一點(diǎn)P,過點(diǎn)P的母線與球相切于Q,則P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)候,PF與PQ的變化有什么關(guān)系?

圖6

問題4根據(jù)對(duì)稱性,圖6中的橢圓還可以怎么得到?你能發(fā)現(xiàn)橢圓上點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中,有什么樣的不變的長度關(guān)系?

設(shè)計(jì)意圖根據(jù)對(duì)稱性,讓學(xué)生經(jīng)歷由圖7到圖8的變化,將圓柱在平面下方部分補(bǔ)完整,也可以看成另一邊也有一個(gè)同樣大小的球,與平面相切,設(shè)切點(diǎn)為E,過點(diǎn)E的母線與球交于點(diǎn)M,則有PE=PM,PF=PQ,而PM+PQ=MQ(定長),從而得到PE+PF=定長,學(xué)生能夠體會(huì)到“橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)間的距離是一個(gè)常數(shù)”,是自然的,而不是“變戲法”一樣突然冒出兩個(gè)定點(diǎn).

圖7

圖8

問題5用一個(gè)不平行于底面的平面截圓柱得到的圖形是什么?在該截面內(nèi)是否依然存在兩個(gè)定點(diǎn),使得所得圖形上任意一個(gè)點(diǎn)到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離都是一個(gè)常數(shù)?

設(shè)計(jì)意圖從一般的角度思考橢圓的特征.學(xué)生容易直觀得到用不平行于底面的平面截圓柱所得的圖形就是一個(gè)橢圓(截線定義),通過截面上下補(bǔ)回兩個(gè)大小一樣球,使得球與截面都相切,切點(diǎn)就是索要找的兩個(gè)定點(diǎn),至此,將球和圓柱去掉,抽象出橢圓上點(diǎn)的本質(zhì)特征,橢圓的定義形成就水到渠成了,師生共同總結(jié)、提煉:我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

關(guān)于焦點(diǎn)的名稱可以簡單向?qū)W生介紹,橢圓有非常重要的光學(xué)性質(zhì)應(yīng)用到實(shí)踐中,例如放電影的燈泡的反射鏡面就是橢圓面,由橢圓的兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2,任意個(gè)定點(diǎn)發(fā)出的光線,都活聚焦到另一個(gè)定點(diǎn),因此我們把這兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2,稱為橢圓的焦點(diǎn)這樣既能激發(fā)學(xué)生興趣,又能直觀感受到數(shù)學(xué)是“自然”、“講道理”的.

以上環(huán)節(jié)通過生活中的橢圓,抽象成數(shù)學(xué)中的橢圓,從基于對(duì)應(yīng)的抽象,根據(jù)球的切線性質(zhì),過渡到基于內(nèi)涵的抽象,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng),體會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活中光照籃球的現(xiàn)象,用數(shù)學(xué)的思維思考球、截面、圓柱之間的關(guān)系,用數(shù)學(xué)的語言描述橢圓的特征,這本身就是完整的一個(gè)抽象、推理、模型的過程,就是核心素養(yǎng)培養(yǎng)的過程.

4、結(jié)束語

培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的就是要“教好數(shù)學(xué)”,前提就是教師要理解好數(shù)學(xué),理解數(shù)學(xué)內(nèi)容從何而來,本質(zhì)是什么,以及將來的發(fā)展方向,在教材編寫過程中,專家們既要考慮教材的科學(xué)性、可讀性,還要考慮教材的邏輯結(jié)構(gòu)體系,對(duì)數(shù)學(xué)的理解也未必就符合學(xué)生的心理規(guī)律,教材也不能方方面面兼顧,難免會(huì)有交待不清楚或者沒法交待清楚的情況,比如橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程中,除了橢圓的定義之外,后面內(nèi)容中,比如為什么要設(shè)|MF1|+|MF2|=2a?為什么橢圓方程√還要化簡?為什么要選擇通過移項(xiàng)兩邊平方的方式化簡方程?為什么叫標(biāo)準(zhǔn)方程?標(biāo)準(zhǔn)的含義是什么等,這些都是需要教師去搞清楚的,然后才能讓學(xué)生明白,從而更加理解數(shù)學(xué)本質(zhì).

作為教師用教材的前提就是要吃透教材,多研究幾個(gè)“為什么”,真正把數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈搞清楚,在教材的“疑點(diǎn)”處多去挖掘,教知識(shí)的同時(shí),有機(jī)融入數(shù)學(xué)文化,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的來龍去脈;注重知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程,體驗(yàn)數(shù)學(xué)從抽象研究對(duì)象,到建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的全過程;注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)的同時(shí),又要能夠和學(xué)生的生活、實(shí)踐聯(lián)系起來,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界;既要注重證實(shí)也要注重證偽的教學(xué),讓學(xué)生體會(huì)“直覺思維”在形成確定性結(jié)論過程中的重要性,才能在教學(xué)中真正培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).