中學數(shù)學中復合函數(shù)相關(guān)問題分析

重慶大學應(yīng)用技術(shù)學院(400044) 張悅

引言 函數(shù)是數(shù)學學科中關(guān)鍵的組成部分之一,無論是對學生還是教師而言都具有一定的挑戰(zhàn)性.在高中數(shù)學中我們學習了函數(shù)的幾類基本性質(zhì)(如:單調(diào)性、奇偶性、周期性等)以及常見的幾類基本初等函數(shù)(如:指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等).在本文中結(jié)合函數(shù)這些類別和性質(zhì)來歸納復合函數(shù)相關(guān)問題,并提出相應(yīng)的分析思路與方式,進而將復合函數(shù)條理化,確保教學更加合理.

在高中數(shù)學的知識體系中,函數(shù)可謂是最為核心的知識之一.在教學過程中,除了教授學生幾類初等函數(shù)(如:指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及三角函數(shù)等)的定義與性質(zhì),對于一般的函數(shù)而言,我們也給予學生一定的處理與解決方式,那么,復合函數(shù)就是我們考察函數(shù)應(yīng)用最常見的一種類型,處理關(guān)于復合函數(shù)的問題也是我們在教學過程和學生學習過程中的重難點之一,為此將復合函數(shù)在無論是高考選拔或是實際應(yīng)用中出現(xiàn)的各類形式進行歸納分析,并給予通過自身教學經(jīng)歷和參考文獻中的啟示對日后教學中處理復合函數(shù)問題,做以教學分析與教學方式的分享.

一、復合函數(shù)與定義域、解析式問題

函數(shù)在最初學習的時候,除了基本的概念,最基礎(chǔ)的還有構(gòu)成函數(shù)的三要素(即為:定義域、值域和對應(yīng)法則),因此,在復合函數(shù)的教學過程中,定義域是首要不可忽略的要點之一,其次,涉及了對應(yīng)法則,那么解析式的考察也是必然出現(xiàn)的一點.

(一)復合函數(shù)與定義域

1.典型例題

(1)(抽象)已知f(x)的定義域為[2,3],求f(x2+2)的定義域;

2.類型分析與教學歸納

分析針對(1)中,抽象函數(shù),在沒有給定具體函數(shù)的表達式下,給定自變量的取值范圍(即定義域),求解一類常見復合形式f(g(x))的定義域.針對這類型問題,我們要結(jié)合函數(shù)的定義與性質(zhì),在教學過程中,授予學生局部與整體的數(shù)學概念,以(1)為例,針對題設(shè)條件f(x)的定義域為[2,3],在實際問題中表示即為“x2+2”這個整體所在的范圍.而又結(jié)合定義域的概念表示是對應(yīng)自變量的取值范圍,那么針對f(g(x))中的自變量,就能化成求解2 6x2+2 6 3的二次不等式,從而求解出其對應(yīng)復合函數(shù)的定義域[?1,1].

針對(2)中具體函數(shù),與抽象復合函數(shù)的差異在于給出了具體表達式,其形式也是我們常見的f(g(m(x)))的套用復合形式,這類問題我們需考慮的即有三點:根式限定條件,指數(shù)限定條件,二次函數(shù)限定條件.綜合考慮,由于指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)對此復合函數(shù)的限定并沒有表現(xiàn)出大的影響.主要的限定在于根式限定,由此可得,2x2+2ax?a?1>0,進一步可得出2x2+2ax?a>1,結(jié)合底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)特點可知:由2x2+2ax?a>20可得x2+2ax?a>0,即最終轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的問題,即該題目等價地轉(zhuǎn)化為?x∈R,x2+2ax?a>0,此時,利用二次不等式與二次函數(shù)的性質(zhì)特點可得出滿足不等式成立即對應(yīng)一元二次方程x2+2ax?a=0至多有一個實根(兩個相同的實根),即?=4a2+4a6 0,從而求解出a的取值范圍為?1 6a6 0.

(二)復合函數(shù)與解析式

解析式,是將函數(shù)三要素聯(lián)系在一起的重要表現(xiàn)形式,和求定義域分類似的定義復合函數(shù)的解析式而言,在中學數(shù)學教學過程中,注重給學生強調(diào),在解決相關(guān)復合函數(shù)解析式時的數(shù)學思想,簡單地來講,同求定義域相同,這一部分也是要注意“局部與整體”的轉(zhuǎn)換,從而會出現(xiàn)常見的兩種解決方式——換元法和代入法.

1.典型例題

(1)已知函數(shù)f(x)滿足,f(x)=8x2?2x?1,則

(2)若函數(shù)f(x)滿足f(3x+2)=9x?8,則f(x)=___.

2.類型分析與教學歸納

分析針對(1)中問題給出條件,我們知道f(x)=8x2?2x?1在為已知條件下,給定的問題中的整體地位相當于原有條件中x的地位,因此,解決此問題,我們應(yīng)用的即為直接代入法,將整體代入,原題設(shè)條件f(x)的解析式中,那么從而求解出對應(yīng)的的解析式,即:

教學歸納在教學過程中,復合函數(shù)解析式的講解大體上與定義域的講解方式相同,基本上涉及的思想就是著重強調(diào)的“整體與局部”的分析角度來對一次解決相關(guān)問題,其次在解析式這部分教學中,我們要注重學生對函數(shù)的有關(guān)基本概念的掌握情況及換元法的活學活用,引導學生理解函數(shù)本質(zhì)上的應(yīng)用,從而使復合函數(shù)在這部分基本問題解決上更易讓學生理解.

二、復合函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)、零點(方程)問題

對于復合函數(shù)在基本函數(shù)三要素上的應(yīng)用后,我們過行了函數(shù)有關(guān)性質(zhì)上的教學,當然在復合函數(shù)的考查過程中,函數(shù)性質(zhì)的基本考查及應(yīng)用也是不能忽視的一大重點,特別地,在函數(shù)性質(zhì)中,我們著重強調(diào)了單調(diào)性,奇偶性及周期性這三個大點,因此在復合函數(shù)針對函數(shù)性質(zhì)方面的考查也是這三類為核心考查方向.其次,除了性質(zhì)外,圖象與方程也是函數(shù)不可分割的一部分,針對中學數(shù)學教學過程中,我們一向注重數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,使得在復合函數(shù)考查過程中利用方程(零點)或是圖像考查這一思想也成為了一大熱點.

(一)復合函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)性質(zhì),是研究函數(shù)的重要組成部分之一,靈活的利用函數(shù)的性質(zhì)特點,可以很好地將函數(shù)分析透徹,在中學數(shù)學教學內(nèi)容中,單調(diào)性、奇偶性、周期性可謂函數(shù)性質(zhì)的“三大江山”,因此,在復合函數(shù)針對函數(shù)性質(zhì)方面的考查,這三大性質(zhì)即為考查的重點方向.

1.典型例題

(1)若函數(shù)y=loga(x2?ax+3)在區(qū)間(?∞,1]上為減函數(shù),則a的取值范圍;

2.類型分析與教學歸納

教學歸納根據(jù)上述針對(1)(2)(3)這三個問題的分析,這三類問題都具體體現(xiàn)我們中學數(shù)學對單調(diào)性、奇偶性及周期性在復合函數(shù)中出現(xiàn)的考查形式,在我們教學過程中,將這三類函數(shù)基本性質(zhì)引導學生理解后,在復合函數(shù)部分講解有關(guān)問題時,我們要注意引導學生針對這三類性質(zhì)在復合函數(shù)中出現(xiàn)的特點進行觀察與分析,諸如在涉及單調(diào)性考查時,往往以f(g(x))形式出現(xiàn)居多,其次在分析單調(diào)區(qū)間時,我們需要構(gòu)建橋梁,將原本的復合形式,分解成為兩個初等基本函數(shù),聯(lián)系著分析;涉及奇偶性,我們要讓學生學會利用在學習基本概念性質(zhì)時所掌握的判斷方法來對給出的復合函數(shù)奇,構(gòu)建出有效的條件限定,其次,利用已知的其它條件,繼續(xù)分析,學會進行進一步的處理;涉及周期性,我們要讓學生通過周期性中基本的f(x)=f(x+T)的本質(zhì)性原則,分析有關(guān)條件中如何處理后可以得到有效的結(jié)論,從而使學生通過這些有效的分析方式,更快的解決有關(guān)復合函數(shù)針對函數(shù)性質(zhì)性問題.

(二)復合函數(shù)與零點(方程)

函數(shù)零點一直以來是考查函數(shù)知識一大熱門話題,它的出現(xiàn)既體現(xiàn)了函數(shù)本質(zhì)性問題,又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,在代數(shù)學的角度上,零點問題就是我們常說的方程問題,在幾何學角度上來說,就是函數(shù)圖象的交點問題,其中,在交點問題中,保持原有函數(shù)形式不改變即為第一類與坐標軸(x軸)的交點問題;若可將原形式轉(zhuǎn)化在為初等函數(shù)相關(guān)變形等式即為函數(shù)圖像的交點問題.

1.典型例題

(1)(零點取值)已知f(x)=4x?3×2x+1+8的零點為____.

2.類型分析與教學歸納

分析針對(1)中,以題目條件中可以看出,這是一個指數(shù)函數(shù)形式的復合,在解決這一問題的時候,從題目而言最直接的就是去解方程,然而,我們在處理方程之前,要將原有形式進行變形,已知f(x)=4x?3×2x+1+8,其中有y=4x和y=2x兩個指數(shù)函數(shù),但是仔細觀察可知:y=4x=(2x)2,那么,原式變形為f(x)=(2x)2?6×2x+8;這時,我們?nèi)デ蠼饬泓c,即轉(zhuǎn)化成為了一個關(guān)于2x的一元二次方程的問題,從而零點,即變?yōu)榍蠼?2x)2?6×2x+8=0的根,為了減少計算中會出現(xiàn)錯誤,通常情況下,我們會采取換元的形式,令t=2x(t>0),則,轉(zhuǎn)化為先求解t2?6t+8=0的一元二次方程,運用初中所學習的一元二次方程求解,則有x=1或x=2.

如圖2.2.1-1所示:

教學歸納在教學過程中,復合函數(shù)與零點有關(guān)的問題,我們需要在一個較長的教學時間中進行,通過這3道典例中我們不難發(fā)現(xiàn),在零點問題上,它涉及了我們前面定義域、解析式,即函數(shù)性質(zhì)中的一些綜合性的知識或數(shù)學思想方面的考查,嚴格來講,與我們后續(xù)的不等式中也有著密切的聯(lián)系,因此,在我們教學過程中,零點問題除了它本身的重要性外,在整個復合函數(shù)教學中有著承上啟下的作用.作為銜接的內(nèi)容,我們需要帶領(lǐng)學生,更好的去學習,分析關(guān)于零點有關(guān)問題的處理方法,消化有關(guān)零點的求解,個數(shù)的求解,如何巧妙的應(yīng)用將方程與圖像相互轉(zhuǎn)換的思維方式,做到更有效、更準確的解決這類問題是我們這部分數(shù)學的關(guān)鍵.

三、復合函數(shù)與導數(shù)、不等式問題

導數(shù)問題及不等式問題一直以來是整個高中數(shù)學知識、代數(shù)體系部分難點,也是熱點之一,一般地在解答問題中頻率是特別高的,利用導數(shù)來判斷函數(shù)單調(diào)性,求出其對應(yīng)極值問題,最值其是最為常見的考察方式,而最為突出的即,以復合函數(shù)的形式出現(xiàn),因此,導數(shù)不單單是最為熱門的知識點,也是綜合前篇知識(單調(diào)性、最值問題)考察綜合問題的重點方式之一;再者,不等式是由先前接觸到一般地一元二次不等式(即一元一次不等式)到后來的基本不等式(由幾類平均數(shù)間關(guān)系構(gòu)成)再到現(xiàn)在的復合函數(shù)與不等式,或是將不等式有關(guān)問題結(jié)合數(shù)列、導數(shù)來考查.

(一)復合函數(shù)與不等式

不等式,在我們高中數(shù)學體系中占著十分重要的地位,與函數(shù)更是有著非常密切的聯(lián)系,針對函數(shù)值域、定義域,最值或單調(diào)性的問題,不等式常常起著十分重要的作用.一般地,針對復合函數(shù)中不等式涉及最多的部分即為對參數(shù)的分類討論,其次在前篇的函數(shù)與方程的思想中加以應(yīng)用.

1.典型例題

(1)(復合函數(shù)與方程、參數(shù)范圍)若函數(shù)y=x2?2x+log(2xa2?a)有兩個零點,且一正、一負,則實數(shù)a的取值范圍;

(2)(復合函數(shù)與基本不等式、參數(shù)范圍)函數(shù)f(x)=loga(x2+3)?1(a>01)在x<0部分的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上,其中mn>0,則的最小值為___.

2.類型分析與教學歸納

教學歸納通過上述的兩類涉及不等式的復合函數(shù)問題,在講授此節(jié)內(nèi)容時,除了針對函數(shù)上的定義域、值域等內(nèi)容上做以強調(diào),其次,基本不等式的內(nèi)容也要注意強調(diào).在教學過程中,應(yīng)用基本不等式的復合函數(shù)問題,我們需要按特點分類歸納的形式來引導學生.提醒學生要注意處理方式、方法,原因在于一般情況下可能會有關(guān)函數(shù)變形結(jié)合因式分解來處理問題,畢竟考察有關(guān)不等式的內(nèi)容在結(jié)合函數(shù)之后,綜合性是函數(shù)不等式較為突出的特點.

(二)復合函數(shù)與導數(shù)問題

導數(shù),是解決較為復雜函數(shù)單調(diào)性、極值問題、最值問題的重要工具,也是高中數(shù)學與大學高等數(shù)學知識聯(lián)系的關(guān)鍵點,通過極限對應(yīng)了導數(shù)的概念,利用導數(shù)的性質(zhì),我們也更好的研究了函數(shù),因此,對于復合函數(shù)性質(zhì)的分析與研究利用導數(shù)也是最佳的方式,針對求解曲線切線方程單調(diào)性可是十分便捷的工具.

1.典型例題

①當k6 0時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

②若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點,求k的取值范圍.

2.類型分析與教學歸納

教學歸納通過上述的兩個例題我們發(fā)現(xiàn),在復合函數(shù)部分出現(xiàn)與導數(shù)有關(guān)的問題,共有的特點是綜合性強,其次對不等式有關(guān)的運算關(guān)系十分緊密,在此部分的教學過程中,首要的一點基本的導數(shù)概念、運算法則是一定要為學生分析并且講解透徹.其次,基本函數(shù)導數(shù)公式要足夠熟悉,針對對應(yīng)的類型,要給予學生歸納,特別地,在講解這些較為繁瑣的復合函數(shù)形式時,更需要給學生強調(diào)方式,盡量減少在計算上的錯誤,另外一方面,極值與單調(diào)性應(yīng)用、利用極值求解參數(shù)范圍是復合函數(shù)綜合類問題中必定考察的要點,在進行完復合函數(shù)導數(shù)部分的教學內(nèi)容后,要提醒學生在涉及單調(diào)性有關(guān)問題時,除了原有學習的方式外,導數(shù)是可以直接去解決的.

四、結(jié)論

從基本的函數(shù)定義到函數(shù)三要素(定義域、值域、對應(yīng)法則),再由函數(shù)基本性質(zhì)(單調(diào)、奇偶、周期)到結(jié)合不等式的應(yīng)用,這些基本要點與復合函數(shù)問題層層緊扣,從每一個小的函數(shù)知識點都可以在復合函數(shù)問題研究上體現(xiàn)出來, 在本篇論文中出現(xiàn)的問題和分析僅是對在中學階段的實際應(yīng)用和教學分析, 對于純粹的復合函數(shù)更高層次上的研究還需更高角度的分析, 并且利用更完善、更嚴謹?shù)暮瘮?shù)分析學上的資源.