高職數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的實(shí)踐

班慶梅 甘敏

【摘 要】本文通過高職數(shù)學(xué)融入數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)實(shí)踐，對教學(xué)實(shí)施的方法及效果進(jìn)行探究和總結(jié)，利用建模思想培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力，使學(xué)生終身受益。

【關(guān)鍵詞】高職 數(shù)學(xué)教學(xué) 建模思想

【中圖分類號】G? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）11B-0147-03

高職數(shù)學(xué)是高職院校培養(yǎng)一線高級技術(shù)應(yīng)用型人才的一門公共基礎(chǔ)課和專業(yè)工具課，是學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)知識和終身學(xué)習(xí)的文化基礎(chǔ)。為了適應(yīng)新的要求，必須將以教師為中心，以課堂講授、知識傳授為主的傳統(tǒng)高職數(shù)學(xué)教學(xué)模式，轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)生為中心，以問題為導(dǎo)向，以培養(yǎng)能力為目標(biāo)的教學(xué)模式，以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力。而這也成為當(dāng)下高職數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)探討課題。

一、教學(xué)現(xiàn)狀

高職學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總體薄弱，數(shù)學(xué)教學(xué)課時(shí)較少。為了完成教學(xué)任務(wù)，高職數(shù)學(xué)課仍采用側(cè)重解題運(yùn)算、套用公式反復(fù)演練、機(jī)械模仿或熟記解題技巧等教學(xué)方式，學(xué)生感到比較枯燥和抽象。為此學(xué)生時(shí)常提出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有何用處等問題。雖說這種教法對提高學(xué)生的抽象思維能力、演繹推理能力有幫助，但對高職學(xué)生來說，更應(yīng)該側(cè)重提高他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中要融入數(shù)學(xué)建模思想，從簡單的初等模型開始，逐步提高。通過“學(xué)中做”“做中學(xué)”“學(xué)用合一”的教學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

二、建模思想

數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型的過程，數(shù)學(xué)模型簡單地說，就是用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）現(xiàn)實(shí)事物的存在規(guī)律，也就是說，要對實(shí)際問題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其中的可以用數(shù)學(xué)語言來描述的關(guān)系或規(guī)律，并把這個(gè)實(shí)際問題化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題。求解數(shù)學(xué)模型，除了要用到數(shù)學(xué)推理，通常還要處理大量數(shù)據(jù)，進(jìn)行大量運(yùn)算。計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和迅速發(fā)展，給用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題打開了廣闊道路，也使數(shù)學(xué)在各行業(yè)的應(yīng)用得到了迅猛的發(fā)展。

數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的良好方法，把它滲透高職數(shù)學(xué)的日常教學(xué)中，無疑給高職數(shù)學(xué)教學(xué)注入新的生機(jī)和活力。

三、教學(xué)實(shí)施

在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者堅(jiān)持“立足應(yīng)用，強(qiáng)化能力，融入建模思想，服務(wù)專業(yè)需求”的原則，重視學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)?，F(xiàn)以一元函數(shù)微積分為例，講一講如何以微積分基礎(chǔ)知識的掌握為側(cè)重，削弱解題難度的教學(xué)措施。

（一）問題教學(xué)法

教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)知識點(diǎn)，結(jié)合教材內(nèi)容有機(jī)地將生活中熟悉的事例抽象成數(shù)學(xué)問題，以問題情境的方式展開教學(xué)。例如，在學(xué)習(xí)函數(shù)這一知識點(diǎn)的時(shí)候，將一些關(guān)于股票、利潤，或者，學(xué)校小賣部某物品的月進(jìn)貨量、某同學(xué)的月平均體重等事例引入課堂，并針對不同專業(yè)的學(xué)生進(jìn)行不同問題的教學(xué)設(shè)置。例如，航海、輪機(jī)專業(yè)的航行路程問題、航行經(jīng)緯度問題，水運(yùn)管理專業(yè)的貨物運(yùn)費(fèi)問題，等等，使數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生職業(yè)能力的培養(yǎng)緊密相連，突出數(shù)學(xué)教學(xué)職業(yè)性，使學(xué)生意識到學(xué)有所用，進(jìn)而學(xué)以致用。

（二）在教中讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識與專業(yè)知識之間的關(guān)系

在課堂教學(xué)中，教師要將陶行知先生的“教學(xué)做合一”理論應(yīng)用于教學(xué)，要不斷引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識。教師要讓學(xué)生從解決一些簡單的應(yīng)用問題開始，也就是說，從學(xué)會(huì)建立以初等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的簡單數(shù)學(xué)模型開始，逐步到解決一些較為復(fù)雜的問題，比如，線性規(guī)劃、電力系統(tǒng)、投入產(chǎn)出、運(yùn)輸問題等高等數(shù)學(xué)范疇的數(shù)學(xué)問題，有效地提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

同時(shí)，教師要多與專業(yè)課教師交流，了解相關(guān)專業(yè)知識，特別要關(guān)注專業(yè)課程中與數(shù)學(xué)知識關(guān)聯(lián)之處。例如：

（1）在講解微分、積分內(nèi)容時(shí)，可以讓輪機(jī)專業(yè)的學(xué)生知道，在船舶機(jī)艙中，自動(dòng)化儀器表的應(yīng)用相當(dāng)廣泛。自動(dòng)化儀表不僅能在反饋控制系統(tǒng)中對運(yùn)行參數(shù)進(jìn)行自動(dòng)控制，而且能對運(yùn)行參數(shù)進(jìn)行測量和顯示。自動(dòng)化調(diào)節(jié)器儀表分有比例積分調(diào)節(jié)器和比例微分調(diào)節(jié)器，調(diào)節(jié)器的數(shù)據(jù)顯示是通過微積分知識計(jì)算出來的。比如，各種 P、PI、PD、PID 調(diào)節(jié)器特性，有下面的規(guī)律：

比例調(diào)節(jié)規(guī)律 P：P=KP·e，其中，P—— 調(diào)節(jié)器輸出，e—— 調(diào)節(jié)器的偏差輸入，KP—— 調(diào)節(jié)器的比例系數(shù)。

比例積分調(diào)節(jié)規(guī)律 PI：，Ti—— 積分時(shí)間。

比例微分調(diào)節(jié)規(guī)律 PD：

，Td—— 微分時(shí)間。

比例積分微分調(diào)節(jié)規(guī)律 PID：

。

這些知識的認(rèn)識對學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)知識有較好的啟發(fā)作用。

（2）對于機(jī)電類專業(yè)的學(xué)生，可以講解電流的大小用電流強(qiáng)度描述，其定義式：，是電荷量 q 對時(shí)間 t 的導(dǎo)數(shù)。對線性電容元件而言，任一瞬時(shí) t，其電壓 u、電流 i 的關(guān)系也是微分（或積分）的動(dòng)態(tài)關(guān)系，即 。

（3）對經(jīng)管類專業(yè)，學(xué)生要了解彈性問題，知道需求彈性的計(jì)算公式：。當(dāng)價(jià)格 p 上漲（或下降）1 個(gè)百分點(diǎn)時(shí)，需求 Q 下降（或上升）個(gè)百分點(diǎn)。例如，某產(chǎn)品的需求函數(shù) ，需求彈性函數(shù)為 ，EQ∣p=2=-1，即當(dāng)價(jià)格 p=2 時(shí)，提價(jià) 1 個(gè)百分點(diǎn)，需求量減少 1 個(gè)百分點(diǎn)。這表明需求量與價(jià)格變化的幅度相同，此時(shí)價(jià)格最優(yōu)，可獲得最大收入。而 EQ∣p=4=-2，當(dāng)價(jià)格 p=4 時(shí)，提價(jià) 1 個(gè)百分點(diǎn)，需求量減少了 2 個(gè)百分點(diǎn)。

教師講授微分知識時(shí)，將其融入專業(yè)學(xué)習(xí)中，既有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，又能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

（三）讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中結(jié)合專業(yè)知識加強(qiáng)練習(xí)

教學(xué)中，教師要注重學(xué)生練習(xí)，設(shè)置問題給學(xué)生思考。從簡單的專業(yè)運(yùn)算題開始，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模方法，然后逐步過度到較復(fù)雜的專業(yè)問題，學(xué)會(huì)運(yùn)用微積分知識建立簡單的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行求解，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。例如：

（1）某輪船由（36°50′N，120°25′W）航行至（25°40′N，140°50′W），求兩地間緯差和經(jīng)差。解答如下：

兩地間南緯差11°10′，西經(jīng)差20°25′。

（2）某輪船真航向 215.5°，測得兩物標(biāo)舷角分別為 QA=030°50′、QB=160°，求 A、B 兩物標(biāo)的真方位。解答如下：

A 物標(biāo)的真方位 TBA=TC+QA=215.5°+030°50′=246°20′;

B 物標(biāo)的真方位 TBB=TC+QB=215.5°+160°=375.5°，即? 015°30′。

航海輪機(jī)專業(yè)的學(xué)生在實(shí)際工作中，要學(xué)會(huì)計(jì)算船舶的船位。

（3）某航程共同海損的損失總額為 10 萬元，共損分?jǐn)們r(jià)值總額為 100 萬元，其中，船舶的分?jǐn)們r(jià)值為 60 萬元，貨物的分?jǐn)們r(jià)值為 35 萬元，運(yùn)費(fèi)的分?jǐn)們r(jià)值為 5 萬元，求各方共同海損的分?jǐn)偨痤~ 。解答如下：

共損分?jǐn)偮蕿?10÷100×100%=10%，各方分?jǐn)偨痤~為：

船舶共同海損分?jǐn)偨痤~：60×10%=6（萬元）;

貨物共同海損分?jǐn)偨痤~：35×10%=3.5（萬元）;

運(yùn)費(fèi)共同海損分?jǐn)偨痤~：5×10%=0.5（萬元）。

以上各方分?jǐn)偟慕痤~之和為 10 萬元，即共同海損的損失總額。這類問題要求水運(yùn)港口管理專業(yè)學(xué)生能完成。

（4）某公司有 50 套公寓出租，當(dāng)租金為每月 180 元時(shí)會(huì)全部租出;當(dāng)租金每月增加 10 元時(shí)，就有一套公寓租不出去;租出去的房子每月需花費(fèi) 20 元整修維護(hù)費(fèi)。請建立總收入與租金之間的數(shù)學(xué)模型，當(dāng)租金定多少可獲得最大利潤。

對于此題來說，教師要引導(dǎo)學(xué)生從模型假設(shè)開始，用 R 表示總收入，L 表示利潤。設(shè)每月租金增加 x 個(gè) 10 元，那么其數(shù)學(xué)模型為 R=（180+10x）（50-x），L=（180+10x-20）（50-x）=（160+10x）（50-x）。讓學(xué)生用所學(xué)微分知識求解，得 L′=340-20x;由 L′=0 可得 x=17，即租金定為 180+10×17=350 元時(shí)，獲得最大利潤。

此類問題的建模求解激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在解題過程中的獲得感遞增，參與度增大。

（5）有三個(gè)村莊，由于條件所限，打算合建一所學(xué)校，并且共同修筑從小學(xué)到各村的道路，小學(xué)應(yīng)該怎么選址，才能使修筑的道路總長度最短。這類建立初等函數(shù)模型的問題可留給學(xué)生當(dāng)課后作業(yè)，讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)小組合作完成。

學(xué)生在做題中真正體會(huì)到數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛，懂得數(shù)學(xué)在工程、生物、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境、能源等各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。這對學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)合作、學(xué)會(huì)利用網(wǎng)絡(luò)和所學(xué)知識去解決實(shí)際問題有極大的促進(jìn)作用。

四、實(shí)施效果

筆者對不同專業(yè)班級的 300 多名學(xué)生的實(shí)施效果進(jìn)行問卷調(diào)查，結(jié)果是，有 90% 的學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該適當(dāng)做些與專業(yè)有關(guān)的應(yīng)用題;有 80% 的學(xué)生覺得通過建模思想的融入，提高了對數(shù)學(xué)課程的興趣;有 85% 的學(xué)生認(rèn)為按小組互助學(xué)習(xí)模式來輔助學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是可行有效的。

在教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)建模思想，使學(xué)生通過建模的學(xué)習(xí)與實(shí)踐，提高數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并從中找到了為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的答案。專業(yè)課老師反映，在與數(shù)學(xué)相關(guān)的專業(yè)知識教學(xué)中，學(xué)生變得容易領(lǐng)會(huì)了。通過小組互助學(xué)習(xí)模式，增進(jìn)了學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。這對學(xué)生來說，將會(huì)終身受益。

將專業(yè)相關(guān)知識融入高職數(shù)學(xué)中，要求教師不斷提出與專業(yè)課程有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題;要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)建模，以逐漸提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。因此，數(shù)學(xué)老師除了要提高本專業(yè)的知識水平，還要不斷了解相關(guān)高職專業(yè)課程，挖掘更多有專業(yè)背景的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題。為此，對部分有數(shù)學(xué)特長或?qū)?shù)學(xué)建模感興趣的學(xué)生，可以通過開設(shè)數(shù)學(xué)建模選修課、數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)和數(shù)學(xué)社團(tuán)等，為這些學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提高提供平臺;也可以選出（下轉(zhuǎn)第164頁）（上接第148頁）優(yōu)秀生參加數(shù)學(xué)建模競賽，從而多渠道、多方位培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

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【基金項(xiàng)目】廣西教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題《中高職銜接數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的探究與實(shí)踐》（立項(xiàng)編號：2017C335）。

【作者簡介】班慶梅，女，高級講師，現(xiàn)任教于廣西交通運(yùn)輸學(xué)校，主要從事中職和高職數(shù)學(xué)教學(xué)與教學(xué)研究。

（責(zé)編 盧建龍）